第三章-多维随机变量及其分布.ppt

第3章多维随机变量及其分布,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,2,第3章多维随机变量及其分布,3.1二维随机变量及其分布3.2边缘分布3.3条件分布3.4随机变量的独立性3.5二维随机变量函数的分布,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,3,第3章多维随机变量及其分布,引例:1.研究某地区学龄前儿童的发育情况，可取儿童的身高X和体重Y来描述；2.飞机在空中的位置（重心）可以由三个随机变量（三个坐标）X、Y和Z来确定.特点:随机现象需要用两个或两个以上的随机变量才能描述.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,4,3.1二维随机变量及其分布,定义1设E是一个随机试验，=，X=X()和Y=Y()是定义在上的2个随机变量，则称向量组(X,Y)为二维随机向量或二维随机变量.,3.1.1二维随机变量及其分布函数,注一般地将n个随机变量的整体（X1,X2,，Xn）称为n维随机变量或n维随机向量.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,5,定义2设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y,称二元函数F(x,y)=P(Xx)(Yy)=PXx,Yy为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。,1.几何意义F(x,y)表示随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点，且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,6,2.概率计算对于任意的x1x2，y1y2，有Px1Xx2，y1Yy2F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1),欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,7,3.二维分布函数F(x,y)的基本性质,0F(x,y)1；(2)F(x,y)关于变量x和y均单调非减，且右连续；(3)对于任意固定的y，F(-,y)=0;对于任意固定的x，F(x,-)=0;F(-,-)=0，F(+,+)=1对于任意的x1x2,y1y2恒有:Px1Xx2,y1Yy2=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)0,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,8,3.1.2二维离散型随机变量(X,Y)及其分布,定义3如果二维随机变量(X,Y)可能的取值为有限或可列个实数对时，则称(X,Y)为二维离散型随机变量,1.(X,Y)的概率分布列若二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取值为(xi,yj),i,j=1,2,，则称概率函数pij=PX=xi,Y=yj,(i,j=1,2,)，为(X,Y)的概率分布或X与Y的联合概率分布，也称为(X,Y)的分布(列)或X与Y的联合分布(列),欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,9,2.(X,Y)的概率分布律pij的性质：（1）pij0；i,j=1,2,;（2）,3.(X,Y)的分布表或X与Y的联合分布表,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,10,4.(X,Y)的分布函数,其中和式是对一切满足xix,yjy的i,j来求和的。,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,11,11,例1设随机变量X.随机地在1，2，3，4四个整数中取一个值，另一个随机变量随机地在等可能取一个整数值，试求的概率分布律.,解,(X,Y)的概率分布表为：,当,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,12,3.1.3二维连续型随机变量(X,Y)及其分布,定义4设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，如果存在非负可积的二元函数f(x,y)，使得对于任意实数x,y有,则称（X,Y）为二维连续型随机变量，称函数f(x,y)为二维随机变量（X,Y）的概率密度函数或随机变量X和Y的联合密度函数.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,13,概率密度函数f(x,y)的性质,（1）非负性：f（x,y）0,（3）点(X,Y)落在xOy的平面区域D内的概率为:,（4）若f(x,y)在（x,y）处连续则有f(x,y)=,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,14,例2设连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为,求(1)常数k;(2)(X,Y)的分布函数F(x,y);(3)PX1,Y1,Yx或x1时,故,同理可得,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,28,解令,可见XN(1,12),YN(2,22).,例6设(X，Y)服从N(1,12；2,22；),求边缘密度.,类似地有,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,29,注上述结果表明,二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布,且都不依赖于参数，对于给定的不同的对应不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.因此,由关于X和关于Y的边缘分布,一般来说是不能确定二维随机变量(X,Y)的联合分布.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,30,3.3*条件分布（略讲）,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,31,定义12设两个随机变量X,Y,若对任意的实数x,y有,F(x，y)=FX(x)FY(y),PXx,Yy=PXxPYy,则称随机变量X与Y是相互独立的。,即,3.4随机变量的独立性,注若随机变量X和Y相互独立，则联合分布可由边缘分布唯一确定.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,32,（2）若(X,Y)是连续型，且f(x,y)处处连续，则X和Y相互独立的充分必要条件是,定理1,（1）若(X,Y)是离散型，所有可能取值为(xi,yj)(i,j=1,2,),则X与Y相互独立的充分必要条件是对一切i,j=1,2,有,PX=xi，Y=yj=PX=xiPY=yi,关于随机变量的独立性,有下列定理.,f(x,y)=fX(x)fY(y),(证明略),欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,33,Y01P0.50.5,X01P0.70.3,例7,已知(X,Y)的联合分布列为:,问X与Y是否独立？,解:边缘分布列分别为:,因为,所以不独立.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,34,例8,已知(X,Y)的联合密度为,问X与Y是否独立？,所以X与Y独立.,注意：f(x,y)可分离变量.,解:边缘分布密度分别为:,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,35,注意点,(1)(X,Y)服从矩形上的均匀分布，则X与Y独立.,(3)若联合密度f(x,y)可分离变量，即f(x,y)=g(x)h(y)则X与Y独立。,(4)若(X,Y)服从二元正态N()则X与Y独立的充要条件是=0.,(2)联合密度f(x,y)的表达式中，若x的取值与y的取值有关系,则X与Y不独立.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,36,定理2若X1,Xn相互独立,而Y1=g1(X1,Xm),Y2=g2(Xm+1,Xn)则Y1与Y2独立.,(证明略),欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,37,3.5两个随机变量函数的分布,问题：已知二维随机变量(X,Y)的分布，,如何求出Z=g(X,Y)的分布？,在本节中,我们重点讨论两种特殊的函数关系,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,38,上式称为离散型卷积公式.,设离散随机变量X与Y独立，则Z=X+Y的分布列为,3.5.1二维离散型随机变量函数的分布,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,39,例9已知随机变量(X,Y)的联合分布律为,试求Z1=X+Y，Z2=max(X,Y)的分布律.,解Z1的所有可能取值为2,3,4,5,P(Z1=2)=P(X+Y=2)=P(X=1,Y=1)=1/5,P(Z1=3)=P(X+Y=3)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=1/5,P(Z1=4)=P(X+Y=4)=P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=1)=2/5,P(Z1=5)=P(X+Y=5)=P(X=3,Y=2)=1/5,Z1的分布律为,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,40,Z2=max(X,Y)的所有可能取值为1,2,3,P(Z2=1)=P(X=1,Y=1)=1/5,P(Z2=2)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)=1/5+0+1/5=2/5,P(Z2=3)=P(X=3,Y=1)+P(X=3,Y=2)=1/5+1/5=2/5,Z2的分布律为,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,41,例10设随机变量X与Y相互独立，它们分别服从参数为1和2的泊松分布，证明Z=X+Y服从参数为1+2的泊松分布.证,k1=0,1,2,k2=0,1,2,Z=X+Y的所有可能取值为0,1,2,3,XP(1),YP(2),因此ZP(1+2),k=0,1,2,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,42,若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性.,例10说明泊松分布具有可加性，类似二项分布也具有可加性，即：,若XB(n1,p)，YB(n2,p)，,注意：若XiB(1,p)，且独立，则Z=X1+X2+XnB(n,p).,且独立，则,Z=X+YB(n1+n2,p).,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,43,设二维随机变量(X,Y)f(x,y)，z=g(x,y)是连续函数，则随机变量Z=g(X,Y)的分布函数为,即FZ(z)可利用f(x,y)在平面区域：G=(x,y)|g(x,y)z上的二重积分得到.,Z=g(X,Y)的密度函数为,3.5.1二维连续型随机变量函数的分布,分布函数法,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,44,1、和的分布,设(X,Y)f(x,y)，(x,y)R2,Z=X+Y，则Z是连续型随机变量，且Z的概率密度为,此两公式称为卷积公式.,或,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,45,证明对任意的zR，Z=X+Y的分布函数为,Ox,y,z=x+y,固定x,交换积分次序,所以,zR,同理可得,zR,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,46,特别地，当X,Y相互独立时，,或,其中，fX(x)，fY(y)为(X,Y)关于X和Y的边缘密度.,上式也称为fX(z)与fY(z)的卷积，记为fX(z)*fY(z)即X,Y相互独立时，fZ(z)=fX(z)*fY(z),欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,47,例11设X与Y独立，XU(0,1),YExp(1).试求Z=X+Y的密度函数.,解:,被积函数的非零区域为：,00,用卷积公式：,(见下图),欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,48,x,z,1,z=x,因此有,(1)z0时,pZ(z)=0;,(2)0z0，试分别就以上两种联结方式写出L的寿命Z的分布函数与概率密度函数.,解(1)串联时，当L1和L2中有一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y).,由条件可得X,Y的分布函数分别为,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,54,(2)并联时，当且仅当L1和L