第七章-非平稳时间序列模型.ppt

引言：前面我们讨论的是平稳时间序列的建模和预测方法，即所讨论的时间序列都是宽平稳的。一个宽平稳的时间序列的均值和方差都是常数，并且它的协方差有时间上的不变性。但是许多经济领域产生的时间序列都是非平稳的。对协方差过程，非平稳时间序列会出现各种情形，如它们具有非常数的均值t，或非常数的二阶矩，如非常方差t2，或同时具有这两种情形的非平稳序列。,第七章非平稳时间序列模型,第七章非平稳时间序列模型,第一节非平稳时间序列模型的种类第二节非平稳性的检验第三节求和自回归滑动平均模型(ARIMA),第一节非平稳时间序列模型的种类,一、均值非平稳过程二、方差和自协方差非平稳过程,返回本节首页,下一页,上一页,一、均值非平稳过程,均值非平稳过程指随机过程的均值随均值函数的变化而变化。我们可以引进两种非常有用的均值非平稳过程：确定趋势模型和随机趋势模型。,返回本节首页,下一页,上一页,（一）确定趋势模型当非平稳过程均值函数可由一个特定的时间趋势表示时，一个标准的回归模型曲线可用来描述这种现象。,此外，均值函数还可能是指数函数、正弦余弦波函数等，这些模型都可以通过标准的回归分析处理。处理方法是先拟合出t的具体形式，然后对残差序列yt=xtt按平稳过程进行分析和建模。,（二）随机趋势模型随机趋势模型又称齐次非平稳ARMA模型。为理解齐次非平稳ARMA模型，可先对ARMA模型的性质作一回顾。,可见我们所能分析处理的仅是一些特殊的非平稳序列，即齐次非平稳序列。,由于齐次非平稳序列模型恰有d个特征根在单位圆上，即有d个单位根，因此齐次非平稳序列又称单位根过程。,二、方差和自协方差非平稳过程,一个均值平稳过程不一定是方差和自协方差平稳过程，同时一个均值非平稳过程也可能是方差和自协方差非平稳过程。不是所有的非平稳问题都可以用差分方法解决，还有期望平稳和方差非平稳序列，为了克服这个问题，我们需要适当进行方差平稳化变换。,返回本节首页,下一页,上一页,这个变换最早由BOX和COX于1964年提出，因此称作BOXCOX变换。其中为变换参数。,第二节非平稳性的检验,一、通过时间序列的趋势图来判断二、通过自相关函数(ACF)判断三、特征根检验法四、用非参数检验方法判断序列的平稳性五、随机游走的单位根检验,返回本节首页,下一页,上一页,一、通过时间序列的趋势图来判断,这种方法通过观察时间序列的趋势图来判断时间序列是否存在趋势性或周期性。优点：简便、直观。对于那些明显为非平稳的时间序列，可以采用这种方法。缺点：对于一般的时间序列是否平稳，不易用这种方法判断出来。,返回本节首页,下一页,上一页,二、通过自相关函数(ACF)判断,平稳时间序列的自相关函数(ACF)要么是截尾的，要么是拖尾的。因此我们可以根据这个特性来判断时间序列是否为平稳序列。若时间序列具有上升或下降的趋势，那么对于所有短时滞来说，自相关系数大且为正，而且随着时滞k的增加而缓慢地下降。,返回本节首页,下一页,上一页,若序列无趋势，但是具有季节性，那末对于按月采集的数据，时滞12，24，36的自相关系数达到最大(如果数据是按季度采集，则最大自相关系数出现在4，8，12，)，并且随着时滞的增加变得较小。若序列是有趋势的，且具有季节性，其自相关函数特性类似于有趋势序列，但它们是摆动的，对于按月数据，在时滞12，24，36，等处具有峰态；如果时间序列数据是按季节的，则峰出现在时滞4，8，12，等处。,三、特征根检验法（P146）,返回本节首页,下一页,上一页,根据拟合出的时序模型参数检验(P146),基本思想：时间序列模型的平稳性条件不仅可以用特征根来表示，也可以用模型的自回归参数表示，因此要检验一个序列是否平稳，可以先拟合适应的模型，然后再根据求出的自回归参数来检验序列是否平稳。检验方法：参见课本146,四、用非参数检验方法判断序列的平稳性,（一）什么是参数检验和非参数检验？参数检验：参数检验是这样一种检验，它的模型对抽出研究样本的总体的分布作了限制性假定。如果对总体的分布不知道或了解很少，则参数检验方法就不可靠，甚至会发生较大偏差。,返回本节首页,下一页,上一页,非参数检验：非参数检验是一种不依赖于总体分布知识的检验方法。由于非参数检验不对总体分布加以限制性假定，所以它也称为自由分布检验。,非参数检验与参数检验相比有如下优点：a.检验条件比较宽松，适应性强。b.参数检验对样本容量的要求极低。c.检验方法灵活，用途更广泛。非参数检验主要用顺序统计量进行检验，因此它既可检验定距数据和定比数据，又可以检验定类数据和定序数据；而参数检验只能处理定距数据和定比数据。因为这些优点，非参数检验比参数检验应用更广泛。d.非参数检验计算相对简单，易于理解。,非参数检验的缺点：如果参数统计模型的所有假设在数据中事实上都能满足，而且测量达到了所要求的水平(定距数据或定比数据)，那么用非参数检验就浪费了数据中的信息。也就是说此时非参数检验的功效不如参数检验高。,(二)非参数检验方法在检验序列平稳性中的应用,1.游程检验方法(1)什么是游程一个游程定义为一个具有相同符号的连续串，在它前后相接的是与其不同的符号或完全无符号。例如，观察的结果用加、减标志表示，得到一组这样的记录顺序：+-+-+-+这个样本的观察结果共有7个游程。,（2）用游程检验方法检验时间序列平稳性的基本思想,如果符号序列是随机的，那么“+”和“-”将随机出现，因此它的游程数既不会太多，又不会太少；反过来说如果符号序列的游程总数太少或太多，我们就可以认为时间序列存在某种趋势性或周期性。,(3)检验方法a.小样本情况零假设：H0：加号和减号以随机的方式出现检验方法：取显著性水平(一般取0.05),查单样本游程检验表，得出抽样分布的临界值rL、rU判定：若rLrL或rrU则拒绝零假设，序列是非平稳的。,b.大样本情况零假设：H0：加号和减号以随机的方式出现检验方法：给定显著性水平(一般取0.05)查标准正态分布表，得出抽样分布的临界值-z,+z。并计算统计量:,判定：若-zz+z,则不能拒绝零假设，即不能拒绝序列是平稳的;否则拒绝零假设，序列是非平稳的。（例见P151例6.5）,非参数检验可以很方便的通过SPSS软件进行，游程检验可见操作。实例：用游程检验S打开Runs对话框。3.在源变量对话框中选择“stpoor”进入“TestVariablelist”栏内4.选中“cutpoint”栏中“mean”选项5.单击“OK”按纽，开始进行统计分析。,输出结果分析：因为P值（sig.）极小，所以拒绝零假设，故原序列是非平稳的。,也可以通过其它的非参数检验方法来判断序列是否平稳，如Spearman等级相关系数，Kendall相关系数等。,五、随机游走的单位根检验(Unitroottest),在第三章我们已经讲过，随机游走是一种非平稳过程，其实随机游走一种特殊的齐次非平稳过程。检验序列是否为随机游走，通常利用DavidDickey和WayneFuller的单位根检验。单位根的含义和检验原理如下：,返回本节首页,下一页,上一页,检验时：如果所计算的统计量的绝对值(即|)大于DF分布表中临界值的绝对值，则拒绝=0的假设，原序列是平稳的；否则，如果它小于临界值，则时间序列是非平稳的。,注：Eviews输出结果中直接计算出了统计量及其临界值。（所列出的是麦金农MacKinnon对DF分布表扩充后的临界值）,用Eviews进行单位根检验时给出了上述选项。,1.单位根检验例可见操作。,2.补充利用Eviews对ARMA模型向多期预测内容。见Eviews操作。,在前几章中，我们介绍了非平稳时间序列模型，但是在前面的讨论中，对于时间序列的特性分析，以及模型的统计分析都集中于平稳时间序列问题上。本章将介绍几个非平稳时间序列的建模方法，并且分析不同的非平稳时间序列模型的动态性质。,第三节求和自回归滑动平均模型(ARIMA),对于d阶齐次非平稳序列xt，经过d阶差分之后的序列(1-B)dxt变为平稳序列，设其适合ARMA(p,q)模型，则有：(B)(1B)dxt=0+(B)at其中(B)和(B)之间无公共因子。则称此模型为求和自回归滑动平均模型，简记为ARIMA(p,d,q),返回本节首页,下一页,上一页,概念简介：,在ARIMA(p,dq)模型中，若p=0，则该模型也称为求和阶数为(d,q)的滑动平均模型，简记为IMA(d,q)；若q=0，则该模型也称为求和阶数为(p,d)的滑动平均模型，简记为ARI(p,d)。,在ARIMA(p,d,q)模型的一般形式中，还包含了一个0项，它在当d=0和d0时所起的作用是非常不同的。当d=0时，原过程是平稳的，此时:0=(1-1B-2B2-pBp)当d1时，0被称为确定趋势项。在一般的讨论中，除非真的需要，常将0项略去。,3.1ARIMA模型的分析方法,3.1ARIMA模型的结构具有如下结构的模型称为求和自回归移动平均(AutoregressiveIntegratedMovingAverage)，简记为ARIMA(p,d,q)模型：(3.1)式中：,式(3.1)可以简记为：式中，为零均值白噪声序列。由式(3.2)显而易见，ARIMA模型的实质就是差分运算与ARMA模型的组合。这一关系意义重大，这说明任何非平稳序列只要通过适当阶数的差分运算实现差分后平稳，就可以对差分后序列进行ARMA模型拟合了。而ARMA模型的分析方法非常成熟，这意味着对差分平稳序列的分析也将是非常简单、非常可靠的了。,(3.2),例如，设ARIMA(1,1,1)模型图3.1是给出的ARIMA(1,1,1)模型一个模拟数据，样本容量为200，可以看出时间趋势是非常明显的。图3.2是经过一阶差分得到的数据。经过一阶差分我们看到下降的时间趋势被去掉，新的序列看起来是平稳的。,图3.1ARIMA(1,1,1)模型一个模拟数据图3.2模拟数据的一阶差分数据,求和自回归移动平均模型这个名字的由来是因为阶差分后序列可以表示为：式中，即差分后序列等于原序列的若干序列值的加权和，而对它又可以拟合自回归移动平均(ARMA)模型，所以称它为求和自回归移动平均模型。,特别地，当d=0时，ARIMA(p,d,q)模型实际上就是ARMA(p,q)模型；当p=0时，ARIMA(o,d,q)模型可以简记为IAM(d,q)模型；当q=0时，ARIMA(p,d,0)模型可以简记为ARI(p,d)模型.当d=1,p=q=0时，ARIMA(0,1,0)模型为：(3.3)该模型被称为随机游走(RandomWalk)模型，或醉汉模型。,随机游走模型的产生有一个有趣的典故。它最早于1905年7月由卡尔皮尔逊(KarlPearson)在自然杂志上作为一个问题提出：假如有一个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？考虑到他完全丧失方向感，那么他第步的位置将是他第步的位置再加一个完全随机的位移。用数学模型来描述任意时刻这个醉汉可能的位置，即为一个随即游走模型(3.3)。,1905年8月，雷利爵士(LordRayleigh)对卡尔皮尔逊的这个问题作出了解答。他算出这个醉汉离初始点的距离为至的概率为：且当n很大时，该醉汉离初始点的距离服从零均值正态分布。这意味着，假如有人想去寻找醉汉的话，最好是去初始点附近找他，该地点是醉汉未来位置的无偏估计值。作为一个最简单的ARIMA模型，随机游走模型目前广泛应用于计量经济学领域。传统的经济学家普遍认为投机价格的走势类似于随机游走模型，随机游走模型也是有效市场理论(EfficientMarketTheory)的核心。,3.2ARIMA模型的性质,一、平稳性假如服从ARIMA(p,d,q)模型：式中：记，被称为广义自回归系数多项式。显然ARIMA模型的平稳性完全由的根的性质决定。,因为阶差分后平稳，服从ARMA(p,q)模型，所以不妨设则(3.4)由式(3.4)容易判断，ARIMA(p,d,q)模型的广义自回归系数多项式共有p+d个特征根，其中p个在单位圆内，d个在单位圆上。因为有d个特征根在单位圆上而非单位圆内，所以当时，ARIMA(p,d,q)模型不平稳。,二、方差齐性对于ARIMA(p,d,q)模型，当时，不仅均值非平稳，序列方差也非平稳。以最简单的随机游走模型ARIMA(0,1,0)为例：则这是一个时间的递增函数，随着时间趋向无穷，序列的方差也趋向无穷。但1阶差分之后，差分后序列方差齐性,3.3ARIMA模型建模,在掌握了ARMA模型建模的方法之后，尝试使用ARIMA模型对观察序列建模是一件比较简单的事情。它遵循如下的操作流程，如下图所示：,图3.3ARIMA模型建模流程,3.4ARIMA模型预测,在最小均方误差预测原理下，ARIMA模型的预测和ARMA模型的预测方法非常类似。ARIMA(p,d,q)模型的一般表示方法为：和ARMA模型一样，也可以用历史观测值的线性函数表示它：式中，的值由如下等式确定：,如果把记为广义自相关函数，有容易验证的值满足如下递推公式：式中，那么，的真实值为：,由于的不可获得性，所以的估计值只能为：真实值与预报值之间的均方误差为：要使均方误差最小，当且仅当：,所以，在均方误差最小的原则下，期预报值为：期预报误差为：真实值等于预报值加上预报误差：期预报的方差为：,例3.1对1950年2005年我国进出口贸易总额数据（单位：亿元人民币）序列建立ARIMA模型（数据见附录1.15）1.对原序列（NX）的分析(1)做出1950年2005年我国进出口贸易总额数据（NX）的时序图及自相关图，如图3.4，图3.5。,图3.4图3.5,(2)对该序列做单位根检验，原假设：；备择假设：，检验结果如图3.4。,图3.6根据图3.6的检验结果，我们可以认为这一序列非平稳。,2.对原序列取对数并分析由于这一序列有着非常明显的指数趋势，因此我们对它进行取对数的运算，以消除指数趋势的影响，将取对数后的序列命名为，即。作出序列的时序图与自相关图分别如图3.7，3.8。,图3.7图3.8,依然对序列做单位根检验，检验结果如图3.9。图3.9根据这一检验结果，我们看到这一序列依然没有