高考理科数学必会知识点总结(PDF版)

1 高考理科数学必会知识点总结高考理科数学必会知识点总结 1 集合与简易逻辑 一、集合间的关系及其运算一、集合间的关系及其运算 （1）符号“,”是表示元素与集合之间关系的，如立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ； 符号“,”或“，”或“”等是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直 线(面)的关系 。 （2）AB=；AB=； U C A=. （3） 交、 并、 补的运算性质： 对于任意集合 A、 B，();() UUUUUU CABC AC B CABC AC B 切记：ABABA ABABB. （4）集合中元素的个数的计算： 若集合 A 中有n个元素，则集合 A 的所有不同的子集个数为2n，所有真子集的个数是(2n1)，所 有非空真子集的个数是(2n2)。 二、常用逻辑用语：二、常用逻辑用语： 1、四种命题： 原命题：若 p 则 q；逆命题：若 q 则 p；否命题：若p 则q；逆否命题：若q 则p 注：1、原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。判断命题真假时注意转化。 2、注意命题的否定与否命题的区别：命题pq否定形式是pq ；否命题是pq .命题“p 或q”的否定是“p且q” ； “p且q”的否定是“p或q”. 3、逻辑联结词： 且(and) ：命题形式 pq；pqpqpqp 或（or） ： 命题形式 pq；真真真真假 非（not） ：命题形式p .真假假真假 假真假真真 假假假假真 “或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假” ； “且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真” ； “非命题”的真假特点是“一真一假” 4、充要条件 由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。 5、全称命题与特称命题： 短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。含有全体量词 的命题，叫做全称命题。 短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在 量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。 全称命题 p：)(,xpMx；全称命题 p 的否定p：)(,xpMx。 特称命题 p：)(,xpMx；特称命题 p 的否定p：)(,xpMx； 2 函数和导数 一、函数的性质一、函数的性质 1定义域（自然定义域、分段函数的定义域、应用题中的定义域等） ； 2 2值域（求值域：分析法、图象法、单调性法、基本不等式法、换元法、判别式法等） ； 3奇偶性（在整个定义域内考虑） ，判断方法： . 定 义 法 步 骤 ： 求 出 定 义 域 并 判 断 定 义 域 是 否 关 于 原 点 对 称 ； 求)( xf ； 比较)()(xfxf与或)()(xfxf与的关系；.图象法； 常用的结论 已知：)()()(xgxfxH 若非零函数)(),(xgxf的奇偶性相同，则在公共定义域内)(xH为偶函数； 若非零函数)(),(xgxf的奇偶性相反，则在公共定义域内)(xH为奇函数； 若)(xf是奇函数，且定义域0，则(0)0f. 4单调性（在定义域的某一个子集内考虑） ，证明函数单调性的方法： （1）.定义法步骤：设 2121, xxAxx且；作差)()( 21 xfxf（一般结果要分解为若干个 因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出） ；判断正负号。 另解：设 2121 ,xxbaxx那么 1212 ()()()0 xxf xf x 12 12 ()() 0( ), f xf x f xa b xx 在上是增函数； 1212 ()()()0 xxf xf x 12 12 ()() 0( ), f xf x f xa b xx 在上是减函数. （2）.（多项式函数）用导数证明： 若)(xf在某个区间 A 内有导数，则 ( )0fx xA)(xf在 A 内为增函数；( )0fx xA)(xf在 A 内为减函数. （3）求单调区间的方法：a.定义法：b.导数法：c.图象法： d.复合函数)(xgfy 在公共定义域上的单调性：若 f 与 g 的单调性相同，则)(xgf为增函数； 若 f 与 g 的单调性相反，则)(xgf为减函数。注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集 . （4）一些有用的结论： 奇函数在其对称区间上的单调性相同； 偶函数在其对称区间上的单调性相反； 在公共定义域内： F（x） （增）=)(xf（增）+)(xg（增） ；F（x） （减）=)(xf（减）+)(xg（减） ； F（x） （增）=)(xf（增）)(xg（减） ； F（x） （减）=)(xf（减）)(xg（增） ； 一个重要的函数：函数)0, 0(ba x b axy在 , b a b a 或 上单调递增；在 b a b a ，或00, 上是单调递减. 5函数的周期性 （1）定义：若 T 为非零常数，对于定义域内的任一 x，使)()(xfTxf恒成立，则( )f x叫做周 期函数，T 叫做这个函数( )f x的一个周期. T 的整数倍都是( )f x的周期。 二、函数的图象二、函数的图象 1基本函数的图象： （1）一次函数、 （2）二次函数、 （3）反比例函数、 （4）指数函数、 （5）对数函数、 3 （6）三角函数、 （7）函数)0, 0(ba x b axy. 2图象的变换 （1）平移变换 函数()(0)yf xa a的图象是把函数( )yf x的图象沿x轴向左平移a个单位得到的；函数 ()(0)yf xa a的图象是把函数( )yf x的图象沿x轴向右平移a个单位得到的； 函数( )(0)yf xa a的图象是把函数( )yf x的图象沿y轴向上平移a个单位得到的；函数 ( )(0)yf xa a的图象是把函数( )yf x的图象沿y轴向下平移a个单位得到的； （2）对称变换 函数)(xfy 与函数)( xfy的图象关于直线 x=0 对称； 函数)(xfy 与函数)(xfy的图象关于直线 y=0 对称； 函数)(xfy 与函数)( xfy的图象关于坐标原点对称； 如果函数)(xfy 对于一切,Rx都有()f ax()f ax，那么)(xfy 的图象关于直线 ax 对称；如果函数)(xfy 对于一切,Rx都有()()2f axf axb，那么)(xfy 的图象 关于点( , )a b对称。 函数)(xafy与函数)(xafy的图象关于直线ax 对称。 )( 1 xfy 与)(xfy 关于直xy 对称。 （3）伸缩变换（主要在三角函数的图象变换中） 三、函数的反函数：三、函数的反函数： 1求反函数的步骤： （1）求原函数)(xfy )(Ax的值域 B （2）把)(xfy 看作方程，解出)(yx（注意开平方时的符号取舍） ； （3）互换 x、y，得)(xfy 的反函数为)( 1 xfy )(Bx. 2定理： （1）bafabf )()( 1 ，即点( , )a b在原函数图象上点( , )b a在反函数图象上； （2）原函数与反函数的图象关于直线yx对称. 3有用的结论：原函数)(xfy 在区间,aa上单调的，则一定存在反函数，且反函数)( 1 xfy 也 单调的，且单调性相同；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。 四、函数、方程与不等式四、函数、方程与不等式 1 “实系数一元二次方程0 2 cbxax有实数解”转化为“04 2 acb” ，你是否注意到必 须0a；当a=0 时， “方程有解”不能转化为04 2 acb。若原题中没有指出是“二次”方程、 函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？ 2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。 设 21,x x为方程)0( , 0)(axf的两个实根。 若, 21 mxmx则0)(mf； 当在区间),(nm内有且只有一个实根，时， 考虑端点，验证端点。)2( 0)()() 1 (nfmf 4 当在区间),(nm内有且只有两个实根时，若qxpnxm 21 时 注意：根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。 注意端点，验证端点。 五、指数函数与对数函数五、指数函数与对数函数 1指数式与对数式： 0,1,0 log aab R Nb a aNNb 对数的三个性质：0N ；log 10 a ；log1 aa 对数恒等式： logaN aN ； log log log m a m N N a ；loglogm n a a n MM m 对数运算性质：log() loglog aaa M NMN；loglog n aa MnM； logloglog aaa M MN N .(0.1,0,0)aaMN 指数运算性质： rsr s a aa () rsrs aa r rr aba b0,0, ,abr sQ 2指数函数与对数函数 （1）特征图象与性质归纳（列表） 指数函数 y=ax(a0,a1)对数函数 y=logax (a0,a1) 特征图 象 0a100 时， 0y1 xo时， 01 01 时，y0 0x0 （2）有用的结论 函数 x ya与logayx（0a 且0a ） 图象关于直线yx对称； 函数 x ya与 x ya（0a 且1a ）图象关于y轴对称；函数 1 log a yx与logayx（0a 且0a ）图象关于x轴对称. 记住两个指数（对数）函数的图象如何区别？ 六六、导数：、导数： 1几种常见函数的导数 (1)0C（C 为常数） (2) 1 ()() n n xnxnQ (3)xxcos)(sin(4)xxsin)(cos (5) x x 1 )(ln（6） e a x x alog 1 )(log(7) xx ee ) (（8）aaa xx ln)( 0)( 0)( 2 0 nf mf n a b m ( )0 ( )0 ( )0 ( )0 f m f n f p f q 5 2导数的运算法则 （1） ()uvuv（2） ()uvuvuv（3） 2 ( )(0) uuvuv v vv . 3复合函数的求导法则 设函数( )ux在点x处有导数 ( ) x ux，函数)(ufy 在点x处的对应点 U 处有导数 ( ) u yf u，则复合函数( ( )yfx在点x处有导数，且 xux yyu，或写作 ( ( )( )( ) x fxf ux. 4导数的几何物理意义： （1）几何意义：kf /(x 0)表示曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0)的切线的斜率。 曲线在点 P(x0,f(x0)处的切线方程为： / 000 ()()()yf xfxxx （2）Vs /(t)表示即时速度，a=v/(t) 表示加速度。 5单调区间的求解过程：已知)(xfy 分析)(xfy 的定义域； 求导数)(xfy； 解不等式0)( x f，解集在定义域内的部分为增区间；解不等式0)( x f，解集在定义域内的部 分为减区间。 （或用列表法，见课本） 6求极大、极小值：已知)(xfy 分析)(xfy 的定义域； 求导数)(xfy； 求解方程( )0fx（设有根 12 , n x xx） ； 列表判断1n个区间内导数的符号，判断 12 (),(),() n f xf xf x是否为极值 ，如果是，是极大还 是极小值。 注：判别)( 0 xf是极大（小）值的方法 当函数)(xf在点 0 x处连续时， （1）如果在 0 x附近的左侧0)( x f，右侧0)( x f，则)( 0 xf是极大值； （2）如果在 0 x附近的左侧0)( x f，右侧0)( x f，则)( 0 xf是极小值. 注意：f /(x 0)0 不能得到当 x=x0时，函数有极值；但是，当 x=x0时，函数有极值 f /(x 0)0 7求函数在某闭区间a,b上的最大、最小值： 同上；比较( )f a、 12 (),(),() n f xf xf x、( )f b，最大的为 max ( )f x，最小的为 min ( )f x. 注意：极值最值；最值问题一般仅在闭区间上研究（实际应用题除外，即应用题中有开区间问题）. 3 数列 一、数列的定义和基本问题一、数列的定义和基本问题 1通项公式：)(nfan（用函数的观念理解和研究数列，特别注意其定义域的特殊性） ； 2前 n 项和： 12nn Saaa=； 3通项公式与前 n 项和的关系（是数列的基本问题也是考试的热点） ： 1 1 ,1 ,2 n nn Sn a SSn 二、等差数列：二、等差数列： 1定义和等价定义： 1 (2) nnn aad na 是等差数列； 2通项公式：BAndnaan) 1( 1 ；推广：dmnaa mn )( ； 6 3前 n 项和公式：BnAnd nn nan aa S n n 2 1 1 2 ) 1( 2 ； 4重要性质举例：a与b的等差中项 2 ab A ； 若mnpq，则 mnpq aaaa；特别地：若2mnp，则2 mnp aaa； 奇数项 135 ,a a a，成等差数列，公差为2d；偶数项 246 ,a a a，成等差数列，公差为2d. 若有奇数项21n项， 则 21 (21) n Sna 中；中偶奇 aSS， 中奇 a 2 1n S ， 中偶 a 2 1n S ， （ n 1 a =a 中 ） ； 若有偶数项 2n 项, 则d 2 n S 奇偶 S，其中 d 为公差； 设 n A=S， 2nn B=S -S， 3n2n C=S -S， 则有CAB2； 当 1 0,0ad时， n S有最大值；当 1 0,0ad时， n S有最小值. 用一次函数理解等差数列的通项公式；用二次函数理解等差数列的前 n 项和公式. （8）若等差数列 n a的前12 n项的和为 12 n S，等差数列 n b的前12 n项的和为 12 n S，则 12 12 n n n n S S b a 三、等比数列：三、等比数列： 1定义： 1 (2,0,0) n nn n a q naqa a 成等比数列； 2通项公式： 1 1 n n qaa；推广 n m nm aa q ； 3前 n 项和 1 11 (1) (1) (1) 11 n n n naq S aa qaq q qq ； （注意对公比的讨论注意对公比的讨论） 4重要性质举例a与b的等比中项 G 2 GabGab （, a b同号） ； 若mnpq，则 mnpq aaaa；特别地：若2mnp，则 2 mnp aaa； 设 n A=S， 2nn B=S -S， 3n2n C=S -S， 则有 2 BA C； 用指数函数理解等比数列（当 1 0,0,1aqq时）的通项公式. 四、等差数列与等比数列的关系举例四、等差数列与等比数列的关系举例 1 n a成等差数列 n a b 成等比数列；2 n a成等比数列 0 log n a bn a 成等差数列. 五、数列求和方法五、数列求和方法 ： 1等差数列与等比数列； 2几种特殊的求和方法 （1）裂项相消法；) 11 ( 1 )( 1 CAnBAnBCCAnBAn an （2）错位相减法： nnn cba, 其中 n b是等差数列， n c是等比数列 7 记 nnnnn cbcbcbcbS 112211 ；则 1 211nnnnn qSbcbcb c ， （3）通项分解法： nnn cba 六、递推数列与数列思想六、递推数列与数列思想 1递推数列 （1）能根据递推公式写出数列的前几项； （2）常见题型：由(,)0 nn f Sa，求, nn a S.解题思路：利用)2( , 1 nSSa nnn 2数学思想 （1）迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法）若 1 ( ),(2) nn aaf nn ，则； （2）迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法）若 1 ( )(2) n n a g n n a ，则； （3）逆序相加（等差数列求和公式的推导方法） ； （4）错位相减（等比数列求和公式的推导方法）. 4 三角函数 一、三角函数的基本概念一、三角函数的基本概念 1终边相同的角的表示方法（终边在x轴上；终边在y轴上；终边在直线yx上；终边在第一象限 等），理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算； 2任意角的三角函数的定义（三个三角函数）、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函 数 的关 系 式（ 三个 ： 平方 关 系、 商 数关 系 、倒 数关 系 ） 22 sincos1，tan= cos sin ， 2 2 1 1tan cos 诱导公式（奇变偶不变，符号看象限： 二、两角和与差的三角函数二、两角和与差的三角函数 1和（差）角公式 （1）sin()=； （2）sin()=. （3）cos()=； （4）cos()=. （5）tan()=； （6）tan()=. 2二倍角公式： （1）sin2=； （2）cos2=； （3）tan2=. 3有用的公式 （1）升（降）幂公式： 2 1 cos2 sin 2 、 2 1 cos2 cos 2 ； 1 sincossin2 2 ； （2）辅助角公式： 22 sincossin()abab（由, a b具体的值确定） ； （3）正切公式的变形：tantantan()(1tantan) tantan tantan1 tan() 4有用的解题思路 （1） “变角找思路，范围保运算” ； （2） “降幂辅助角公式正弦型函数” ； （3）巧用sincos与sincos的关系； （4）巧用三角函数线数形结合. 三、三角函数的图象与性质三、三角函数的图象与性质 1列表综合三个三角函数sinyx，cosyx，tanyx的图象与性质，并挖掘： 8 （1）最值的情况； （2）三函数的周期公式： 函数sin()yAx，xR 及函数cos()yAx，xR(A,为常数，且 A0，0)的周期 2 T ；若未说明大于 0,则 2 | T ；函数tan()yx，, 2 xkkZ (A,为常数， 且 A0，0)的周期T . （3）会从图象归纳单调性、对称轴和对称中心； sinyx的单调递增区间为2,2 22 kkkZ 单调递减区间为 3 2,2 22 kkkZ ，对称轴为() 2 xkkZ ,对称中心为,0k()kZ cosyx的单调递增区间为2,2kkkZ单调递减区间为2,2kkkZ， 对称轴为()xkkZ,对称中心为,0 2 k ()kZ tanyx的单调递增区间为, 22 kkkZ ，对称中心为(,0)() 2 k kZ 2 了解正弦、 余弦、 正切函数的图象的画法， 会用 “五点法” 画正弦、 余弦函数和函数sin()yAx 的简图，并能由图象写出解析式 （1）“五点法”作图的列表方式； （2）求解析式sin()yAx时初相的确定方法：代（最高、低）点法、公式 1 x . 3正弦型函数sin()yAx的图象变换 切记：sinsin()yAxyAx 平移 注意图象变换有时用向量表达，注意两者之间的转译转译. 四、解三角形四、解三角形、 1三个重要结论 （1）正弦定理：2 sinsin abc R AsinBC （2R为三角形 ABC 的外接圆直径）或写成 : :sin:sin:sina b cABC （2）余弦定理：Aabcbacos2 222 ，或写成 ab acb A 2 cos 222 （3）三角形 ABC 面积公式： 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 2在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：ABC 中，sinsinABAB 5 平面向量和空间向量 一、向量的基本概念一、向量的基本概念 向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量. 二、加法与减法运算二、加法与减法运算 1代数运算 (1) nnn AAAAAAAA 113221 (2)若a=（ 11, y x）,b=（ 22, y x）则a b=（ 2121 ,yyxx） 2几何表示：平行四边形法则、三角形法则。 以向量AB=a、AD=b为邻边作平行四边形 ABCD，则两条对角线的向量AC=a+b, , BD= =ba,DB=ab.且有aba ba+b 9 3运算律 向量加法有如下规律：ab=ba(交换律)； a+(b+c )=(a+b)+c （结合律） ；a+0 0=aa(a)=0.0. 三、实数与向量的积三、实数与向量的积 实数与向量a的积是一个向量。1a=a； (1) 当0 时，a与a的方向相同；当0 时，a与a的方向相反；当=0 时，a=0 0 (2)若a=（ 11, y x） ，则a=（ 11, y x） 2两个向量共线的充要条件： (1) 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且仅有一个实数，使得b=a (2) 若a=（ 11, y x）,b=（ 22, y x）则ab0 1221 yxyx 四、平面向量基本定理四、平面向量基本定理 1若 1 e 、 2 e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实 数 1 ， 2 ，使得a= 1 1 e + 2 2 e 2 有用的结论： 若 1 e 、 2 e 是同一平面内的两个不共线向量， 若一对实数 1 ， 2 ， 使得 1 1 e + 2 2 e =0， 则 1 = 2 =0. 五、向量的数量积；五、向量的数量积； 1向量的夹角： 已知两个非零向量a与b ，作OA=a,OB=b ,则AOB=（ 00 1800）叫做向量a与b 的夹 角（两个向量必须有相同的起点 ） 。 2两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b ，它们的夹角为， 则ab =ab cos 其中b cos称为向量b 在a方向上的投影 3向量的数量积的性质：若a=（ 11, y x）,b =（ 22, y x） （1）e a=ae =acos(e 为单位向量)； （2）ab ab =00 2121 yyxx（a，b 为非零向量） ； （3）a= 22 11 a axy ； （4）cos= a b ab = 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx （可用于判定角是锐角还是钝角 ） 4向量的数量积的运算律： ab =b a；(a)b =(ab )=a(b )；(ab )c =ac +b c 六、点六、点 P P 分有向线段分有向线段 21P P所成的比所成的比 1定义：设 P1、P2是直线l上两个点，点 P 是l上不同于 P1、P2的任意一点，则存在一个实数使 PP1= 2 PP，叫做点 P 分有向线段 21P P所成的比。 2位置讨论： （1）当点 P 在线段 21P P上时，0；特别地：点 P 是线段 P1P2的中点是1. （2）当点 P 在线段 21P P或 12P P的延长线上时，0； 3分点坐标公式：若PP1= 2 PP； 21 ,PPP的坐标分别为（ 11, y x）,（yx ,）,（ 22, y x） ；则 1 1 21 21 xx x yy y， （1） ， 中点坐标公式： 2 2 21 21 xx x yy y 10 4.三点共线定理：若OAxOByOC 则 A,B,C 共线的充要条件是 x+y=1 5.点的平移公式 xxhxxh yykyyk OPOPPP (图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形 F上的对应点为 ( ,)P x y，且 PP 的坐标为( , )h k). 七、空间向量七、空间向量 1. 空间两个向量的夹角公式 cosa a，b b= 112233 222222 123123 a ba ba b aaabbb （a a 123 (,)a a a，b b 123 ( ,)b b b）. 2.空间两点间的距离公式 若 A 111 (,)xyz，B 222 (,)xyz，则 ,A B d=| |ABAB AB 222 212121 ()()()xxyyzz. 6 不等式 一、不等式的基本性质与定理一、不等式的基本性质与定理 1实数的大小顺序与运算性质之间的关系： 0baba；0baba；0baba. 2不等式的性质： （1）abba或abba（反对称性） （2）cacbba ,或cacbba ,（传递性） ； （3）cbcaba 推论 1：bcacba（移项法则） ；推论 2：dbcadcba ,（同向不等式相加） ； （4）bcaccba0,，bcaccba0, 推论 1：bdacdcba0, 0；推论 2： nn baba0 （5） nn baba0（,2nN n） ； （6） 11 0,abab ab （倒数法则） 3常用的基本不等式和重要的不等式 （1）0, 0, 2 aaRa， 当且仅当0a 取“=”. （2）abbaRba2, 22 则（当且仅当ab时取“=” ） （3） Rba,，则abba2（当且仅当ab时取“=” ） 注： 2 ab 算术平均数，ab几何平均数. （4） 22 2 () 22 abab （当且仅当ab时取“=” ） 4、最值定理：设,0,2x yxyxy由得 （1）如积xyP为定值，则当且仅当xy时xy有最小值2 P； （2）如和xyS为定值，则当且仅当xy时x y有最大值 2 ( ) 2 S . 即：积定和最小，和定积最大. 注：运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等. 5含绝对值的不等式性质：bababa（注意等号成立的情况）. 二、解不等式二、解不等式 1一元一次不等式)0(abax（1） a b xxa, 0； （2） a b xxa, 0. 2 （1）一元二次不等式 2 0(0)axbxc或 2 (0,40)abac ，如果a与 2 axbxc同 11 号，则其解集在两根之外；如果a与 2 axbxc异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外， 异号两根之间. 121212 ()()0()xxxxxxxxx； 121212 ,()()0()xxxxxxxxxx或. （2） 重要结论重要结论： 2 0axbxc(0)a 解集为 R （即0 2 cbxax对Rx恒成立） ， 则0,0a . （注：若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证0a）. 3绝对值不等式： （1）零点分段讨论 0 0 aa aa a， （2） 转化法：)()()()()()(xgxfxgxfxgxf或；)()()()()(xgxfxgxgxf； （3）数形结合 4指数不等式与对数不等式 (1)当1a 时, ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x . (2)当01a时, ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x 5高次不等式、分式不等式序轴标根法（穿针引线法） 步骤：形式： ( ) 0 ( ) P x Q x 或( ) ( )0P x Q x （移项，一边化为 0，不要轻易去分母） ； 因式分解，化为积的形式（x系数符号0标准式） ；序轴标根；写出解集. 注意含参数的不等式的解的讨论 . 四、一个有用的结论四、一个有用的结论 关于函数 x p xy： 10p 时，当0 x 时2 p xp x ；当0 x 时2 p xp x .在0p( ，、,0)p上是减函 数；在p（，、,)p上是增函数. 20p 时，在0，、0 （ ，）上为增函数. 7 直线与圆 一、直线的基本量一、直线的基本量 1两点间距离公式：若)y,x(B),y,x(A 2211 ，则 2 12 2 12 )()(yyxxAB 特别地：x/AB轴，则AB；y/AB轴，则AB. 2直线l：ykxb与圆锥曲线 C：( , )0f x y 相交的弦 AB 长公式 消去 y 得0 2 cbxax（务必注意0 ） ，设 A),(),( 2211 yxByx则： 2222 212112 (1)()(1)()4ABkxxkxxx x 3直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角0, )；当 2 时，直线的斜率tank. （2）常见问题：倾斜角范围与斜率范围的互化右图 4直线在x轴和y轴上的截距： （1）截距非距离； （2） “截距相等”的含义. 二、直线的方程：二、直线的方程： 直线方程的五种形式: 12 （1）点斜式 11 ()yyk xx(直线l过点 111 ( ,)P x y，且斜率为k) （2）斜截式ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距). （3）两点式 11 2121 yyxx yyxx ( 12 yy)( 111 ( ,)P x y、 222 (,)P xy( 12 xx). （4）截距式1( , xy a bxy ab 分别为 轴 轴上的截距,且a0,b0) （5）一般式0AxByC(其中 A、B 不同时为 0). 三、两条直线的位置关系：三、两条直线的位置关系： （1）若 111 :lyk xb， 222 :lyk xb 121212 / /,llkk bb； 1212 1llk k . (2)若 1111 :0lAxB yC, 2222 :0lA xB yC, 1212211221 / /00llABA BACA C且； 121212 0llA AB B； 五、点到直线的距离五、点到直线的距离 1点 00 (,)P xy到直线0CByAx的距离： 22 00 BA CByAx d 2平行线间距离：若 1 0AxByC、 2 0AxByC，则 22 21 BA CC d . 注意点：x，y 对应项系数应相等.且 12 CC 六、圆：六、圆：1确定圆需三个独立的条件 （1）标准方程： 222 )()(rbyax， 其中圆心为( , )a b，半径为r. （2）一般方程：0 22 FEyDxyx（)04 22 FED其中圆心为(,) 22 DE ， 半径为 2 4 22 FED r . 2直线0CByAx与圆 222 )()(rbyax的位置关系： 设圆心 C 到直线 l 的距离为 d,则相切d=r，相交dr； 3两圆的位置关系：设两圆的半径分别为 R 和 r，圆心距为 d，则 外离dRr，外切dRr，相交RrdRr，内切dRr，内含dRr； 8 8 圆锥曲线圆锥曲线 一、椭圆一、椭圆，1定义 （1）第一定义：若 F1，F2是两定点，P 为动点，且 2121 2FFaPFPF（a为常数）则 P 点的轨迹是椭圆。 （2）第二定义：若 F1为定点，l为定直线，动点 P 到 F1的距 离与到定直线l的距离之比为常数 e（0e1） ，则动点 P 的轨迹是双曲线。 2标准方程 （1）焦点在x轴上：1 2 2 2 2 b y a x )0, 0(ba； 焦点 在y轴上：1 2 2 2 2 b x a y )0, 0(ba. （2）焦点的位置标准方程形式 3几何性质（以焦点在x轴上为例） （1）范围：xa或xa 、(,)y （2）对称性：实轴长=a2，虚轴长=2b，焦距=2c. （3）离心率 c e a ，准线方程 c a x 2 （4）渐近线方程：0 2 2 2 2 b y a x x a b y. 与此有关的结论：若渐近线方程为x a b y0 b y a x 双曲线可设为 2 2 2 2 b y a x ；若双曲 线与1 2 2 2 2 b y a x 有公共渐近线，可设为 2 2 2 2 b y a x （0，焦点在 x 轴上；0，焦点在 y 轴上） . （5）当 时ba离心率2e两渐近线互相垂直，分别为 y=x， 此时双曲线为等轴双曲线，可设为 22 yx； （ 6 ） 注 意 21F PF中 结 合 定 义aPFPF2 21 与 余 弦 定 理 21 cosPFF，将有关线段 1 PF、 2 PF、 21F F和角结合起来。 三、抛物线三、抛物线 1定义：到定点 F 与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。 即：到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数 e（e=1） 。 2标准方程（以焦点在x轴的正半轴为例） ： 2 2(0)ypx p（其 中p为焦点到准线的距离焦参数） ； 3几何性质 （1）焦点：)0 , 2 ( p ，通径pAB2，准线： 2 p x； （2）焦半径： 0 2 p CFx，过焦点弦长pxx p x p xCD 2121 22 . （3） 几何特征： 焦点到顶点的距离= 2 p ； 焦点到准线的距离=p； 通径长=p2（通径是最短的焦点弦） ， 14 顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 （4）抛物线pxy2 2 上的动点可设为 P), 2 ( 2 y p y 四、直线与圆锥曲线的关系判断四、直线与圆锥曲线的关系判断 1直线与双曲线：当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线仅有一个交点. 2直线与抛物线：当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线仅有一个交点. 9 立体几何 一、直线、平面、简单几何体：一、直线、平面、简单几何体： 1、学会三视图的分析： 2、斜二测画法应注意的地方： （）在已知图形中取互相垂直的轴 Ox、Oy。画直观图时，把它画成对应轴 ox、oy、使xoy=45（或 135 ） ；（）平行于轴的线段长不变，平行于轴的线段长减半 （）直观图中的度原图中 就是度，直观图中的度原图一定不是度 3、表（侧）面积与体积公式： 柱体：表面积：S=S侧+2S底；侧面积：S侧=rh2；体积：V=S底h 锥体：表面积：S=S侧+S底；侧面积：S侧=rl；体积：V= 3 1 S底h： 台体表面积：S=S侧+S上底S下底侧面积：S侧=lrr)( 球体：表面积：S= 2 4R；体积：V= 3 3 4 R 4、位置关系的证明位置关系的证明（主要方法） ：注意立体几何证明的书写 （1）直线与平面平行：线线平行线面平行；面面平行线面平行。 （2）平面与平面平行：线面平行面面平行。 （3）垂直问题：线线垂直线面线面垂直垂直面面垂直。核心是线面线面垂直：垂直平面内的两条相交直线垂直：垂直平面内的两条相交直线 5、求角求角： （步骤（步骤-. .找或作角；找或作角；. .求角）求角） 异面直线所成角的求法：平移法：平移直线，构造三角形； 直线与平面所成的角：直线与射影所成的角 二、主要思想与方法二、主要思想与方法 1计算问题： （1）空间角的计算步骤：一作、二证、三算 异面直线所成的角范围：090方法：平移法；补形法. 直线与平面所成的角范围：090 方法：关键是作垂线，找射影. 二面角方法：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法. 注：二面角的计算也可利用射影面积公式 S=Scos来计算 （2）空间距离：两点之间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、两条平行线间的距离、两条异 面直线间的距离、平面的平行直线与平面之间的距离、两个平行平面之间的距离. 七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系， 有 些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距 离都可转化成点到平面的距离. 在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点. 求点到平面的距离： （1）直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.（2）转移法，转化成求另一点 到该平面的距离.（3）体积法. 2平面图形的翻折，要注意翻折 前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三角形中的角度、 长度不变 3在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想： 利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决. 将空间图形展开（移出）是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法. 补法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形. 利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高. 15 10 复数复数 1.复数的相等,abicdiac bd.（, , ,a b c dR） 2复数的运算法则：设 12 ,.zabi zcdi则 12 ()()()()zzabicdiacbd i 1 2 ()()z zacbdadbd i 22 1 2222 2 (0) zacbdbcad i cd zcdcd 3.复数 12 ,.zabi zcdi的模（或绝对值）|z=|abi= 22 ab.其中,.a bR ;zz 1212 .; z zz z 1 1 2 22 (0); zz z zz ; n n z z 11;zz z 2 2 2 2 .zzzzz z 4复数常用的运算技巧 4 1 n i， 41n ii ， 42 1 n i ， 43n ii ， 44 1 n i ， 123 0() nnnn iiiinZ 2 (1)2ii 1 , 1 i i i 1 1 i i i 11 概率和统计概率和统计 一、一、概率概率 1 1，古典概率古典概率 定义：我们把试验中所有可能出现的基本事件是有限个；每个基本事件出现的可能性相等，具备以 上两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概率。 求法：如果一次试验中的等可能基本