复变函数-工科复变1-2

1,1-2 复平面上曲线和区域,一、复平面上曲线方程的各种表示二、简单曲线与光滑曲线三、平面点集与区域,2,一、复平面上曲线方程的各种表示,复平面上曲线方程有两种表示方式,直角坐标方程参数方程,3,1.复平面上曲线 C 的直角坐标方程,4,例 试用复数表示圆的方程 其中 A,B,C,D是实常数（ ）,5,如果A=0,B及C不全为0，这是直线方程,即为复平面上，直线方程的一般形式。,6,(1) 用复数的实部或虚部的等式表示,Re(z-z0)=a是XOY平面上的直线 x=a+Re(z0),Im(z-z0)=b是XOY平面上的直线y=b+Im(z0),7,(2)用复数模的等式表示,|z-z0|表示动点z到定点z0的距离,|z-z0|a表示以z0为中心，以a为半径的圆周,|z-z1| |z-z2|表示到定点z1和z2等距离点的轨迹，即线段z1z2的垂直平分线,|z-z1| |z-z2|2a(|z1-z2|2|a|)表示以z1和z2为焦点，以a为实半轴的双曲线，其中正号代表离焦点z2近的分支，负号代表另一分支。,9,(3)用含复数辐角的不等式表示,从点z0出发，与实轴夹角0的射线,P16,10(4),10,2.曲线的参数表示法,复平面上曲线 C上的动点z(t)=x(t)+iy(t)参数t在a,b上,11,设复平面上曲线 C 的参数方程,那么，复平面上曲线 C上的动点z(t),依赖于参数t.,12,例 指出方程表示什么曲线,从点z0出发，与实轴夹角0的射线,解：因为 等价于X=t,y=t+,消去t得y=x+(x0),13,2 Jordan曲线与连通区域,（1） 连续曲线,平面曲线的复数表示:,14,（2） Jordan曲线,除起点与终点外无重点的连续曲线C 称为简单曲线.,起点与终点重合的曲线C 称为闭曲线.,简单闭曲线称为Jordan(若当)曲线.,15,Jordan曲线的性质,任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.,内部,外部,边界,16,课堂练习,判断下列曲线是否为简单曲线?,答案,简单闭,简单不闭,不简单闭,不简单不闭,17,（3） 光滑曲线,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为逐(分)段光滑曲线.,18,（1） 邻域,注意,三、平面点集与区域,19,(2) 去心邻域,注意：,20,(3) 内点,(4) 开集,如果G 内每一点都是它的内点,那末称G 为开集.,21,(5) 区域,连通的开集称为区域, 即：如果平面点集 D 满足以下两个条件,则称它为一个区域.,D是一个开集；,D是连通的, 就是说D 中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连结起来.,(6) 区域的边界点、边界,边界点：,22,注意1： 区域的边界可能是由几条曲线和一些 孤立的点所组成的.,注意2： 区域D与它的边界一起构成闭区域,D的所有边界点组成D的边界.,进一步地，设 D是一个平面区域, 点 P 不属于D, 但 P 的任一邻域内总有D的点,则称 P为区域 D 的边界点.,23,以上基本概念的图示,区域,邻域,边界点,边界,(7) 有界区域和无界区域,24,(1) 圆环域:,课堂练习,判断下列区域是否有界?,(2) 上半平面:,(3) 角形域:,(4) 带形域:,答案,(1)有界; (2) (3) (4)无界.,25,例 设点集,则点,是,的内点；,是,的边界点；,是,的外点；,是开集且为有界集；,，,是闭集且为有界集,即,常称为单位圆,这里的,26,任意一条简单闭曲线 必将复平面唯一地分成 三个点集，使它们满足：（1）彼此不相交；（2） 是有界区域（称为曲线 的内部）；（3） 是无界区域（称为曲线 的外部）； （4）C 既是 的边界又是 的边界；,外部,(8) 单连通域与多连通域的定义,27,复平面上的一个区域G, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于G, 就称为单连通区域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通区域.,单连通域,多连通域,28,例设 ，,29,3 例题,例 1,指出下列不等式所确定的点集, 是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.,解,无界的单连通域(如图).,30,是角形域,无界的单连通域(如图).,无界的多连通域.,31,表示到1, 1的距离之和为定值 4 的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.,32,有界集.,但不是区域.,33,例 2,解,满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域?,是一条平行于实轴的直线,不是区域.,单连通域.,34,是多连通域.,不是区域.,35,1-3 复变函数与整线性映射,36,一 、复变函数的概念,复变函数这门课程研究的对象是解析函数，而解析函数是一种特殊的复变函数，因此，在讨论了复数集后，我们还需要讨论复变函数的有关概念，进而为研究解析函数作好准备,37,定义：设在复平面上已给点集D，如果存在一个法 则 使得对于每点z=x+yi D,都有确定的复数 w=u+vi与之对应,则称在D 上确定一个复变函数， 记作: 若依 对于z D 只有一个确定的w与之对应，则称 为单值函数否则，称 为多值函数,38,例如， 为单值函数， 为多值函数,若无特殊声明，则我们讨论的函数均为单值函数,39,同实变函数一样，在上述定义中，我们称集合 为函数的定义域，称C的子集 为函数的值域，z 与 w 分别称为函数的自变量与因变量,40,函数f也称为映射。 集合E所在的复平面称为Z平面,把函数值所在的复平面称为W平面.,二、复映射,复变函数 的定义类似于数学分析中实函数 的定义，不同的是前者是复平面到复平面的映射，着重刻划点与点之间的对应关系，所以无法给出它的图形。而函数则着重刻划数与数之间的对应关系,41,设有函数 ， 为区域，若对 ，当 时， 则 为 上的单叶函数，而称 为 的单叶性区域,例如 是复平面上的单叶函数，复平面是该函数的单叶性区域,42,例如 求直线y=x在映射w=iz下的象,将 y=x 代入 w=iz 得,43,44,三、整线性映射及其保圆性,整线性映射是指 ： 其中 为复常数. 令 ， 则 1.平移 2.旋转 3.伸缩,45,因此整线性映射 w=az+b也具有保圆性。,46,1-4 复变函数的极限和连续,47,注意:,一、 复变函数的极限,48,定理1 定理2 设 ， ， ， ，则有,49,定理3 设 ，则有1）2）3）当 时，,50,证明,51,二、函数的连续性,52,举例说明如下：,53,54,(1) 多项式,(2) 有理分式函数,在复平面内使分母不为零的点也是连续的.,55,例 2,证,56,例 3,证,57,与数学分析中的连续函数一样，我们可类似地证得以下定理定理5 函数 在简单曲线 （包括两端点）或者有界闭区域 上连续，则 在 或者 为连续； 在它上能取到最大值与最小值； 在它上一致连续，即对任意的 ,存在 ，使当 或者 且 时，有,58,复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在一点的极限来讨论，即,59,复数,平面表示法,定义表示法,三角表示法,曲线与区域,球面表示法,复数表示法,指数表示法,复数的运算,共轭运算,代数运算,乘幂与方根,本章主要内容,向量表示法,60,复数运算和各种表示法,复数方程表示曲线以及不等式表示区域,本章注意两点,61,1707.4.15生于瑞士，巴塞尔1783.9.18卒于俄罗斯，彼得堡,L. Euler(欧拉)简介,Euler是18世纪的数学巨星；是那个时代的巨人，科学界的代表人物。历史上几乎可与Archimedes、Newton、Gauss齐名。,他在微积分、几何、数论