计算机应用基础-偏微分方程求解PPT课件

第六章偏微分方程求解,6.1偏微分方程组求解6.2二阶偏微分方程的数学描述6.3偏微分方程的求解界面应用举例6.4偏微分方程在化工中的应用,一偏微分方程的分类,当A，B，C为常数时，称为拟线性偏微分方程，可分为三类：,椭圆型方程,抛物型方程,双曲型方程,6.1偏微分方程组求解,二偏微分方程边界条件：（1）Dirichlet边界条件hu=r也称为第一类边界条件，对于偏微分方程组，Dirichlet边界条件为,（2）Neumann边界条件,6.1偏微分方程组求解,也称为第三类边界条件；当q=0时，则变为第二类边界条件。对于偏微分方程组，Neumann边界条件为：,其中n为边界外法向单位向量，g,q,h,r为在边界上定义的函数,（3）混合边界条件,6.1偏微分方程组求解,6.1偏微分方程组求解,三偏微分方程数值解法,有限差分法正交配置法MOL法有限元法,6.1偏微分方程组求解,四采用pdepe()函数求解一维偏微分方程,边界条件的函数描述：,6.1偏微分方程组求解,【例6-1】,6.1偏微分方程组求解,6.1偏微分方程组求解,6.1偏微分方程组求解,functionc,f,s=c7mpde(x,t,u,du)c=1;1;y=u(1)-u(2);F=exp(5.73*y)-exp(-11.46*y);s=F*-1;1f=0.024*du(1);0.17*du(2);,偏微分方程求解程序“c7mpde”,6.1偏微分方程组求解,functionpa,qa,pb,qb=c7mpbc(xa,ua,xb,ub,t)pa=0;ua(2);qa=1;0;pb=ub(1)-1;0;qb=0;1;,边界条件程序”c7mbc.m”,functionu0=c7mpic(x)u0=1;0;,x=0:0.05:1;t=0:0.05:2;m=0;sol=pdepe(m,c7mpde,c7mpic,c7mpbc,x,t);surf(x,t,sol(:,:,1),6.1偏微分方程组求解,求解函数：ME_5_1.m,结果如下,6.2二阶偏微分方程的求解,一椭圆型偏微分方程,6.2二阶偏微分方程的求解,adaptmesh和assempde函数用于求解椭圆型偏微分方程的解，调用格式如下：,u,p,e,t=adapmesh(g,b,c,a,f)g:求解几何区域；b:边界条件u:解向量p,e,t:网格数据,6.2二阶偏微分方程的求解,u=assempde(b,p,e,t,c,a,f,u0)U0:初始条件，用于非线性方程求解,例6-2，利用adaptmesh函数求解拉普拉斯方程，其在弧上满足Dirichlet条件：u=sin(2/3*atan2(y,x),6.2二阶偏微分方程的求解,ME_6_3,二抛物线型偏微分方程,6.2二阶偏微分方程的求解,parabolic函数用于求解抛物型偏微分方程的解，调用格式如下：,u1=parabolic(u0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d)b:边界条件u0:初始条件tlist；时间列表u1:对应于tlist的解向量p,e,t:网格数据,6.2二阶偏微分方程的求解,例6-3：求解热传导方程：,6.2二阶偏微分方程的求解,ME_6_2,三双曲型偏微分方程,6.2二阶偏微分方程的求解,6.3偏微分方程求解工具箱,启动偏微分方程求解界面在MATLAB下键入pdetool该界面分为四个部分菜单系统工具栏集合编辑求解区域,菜单栏,工具栏,6.3偏微分方程求解工具箱,6.3偏微分方程求解工具箱,5.3偏微分方程求解工具箱,工具箱求解步骤：1.用options设置应用模式（可选）2.用Draw建立几何模型3.用Boundary菜单设定边界条件4.用PDE定义偏微分方程的类型和系数5.用Mesh菜单进行三角形网格划分及细化6.用Slove进行偏微分方程求解7.用Plot以图形方式显示结果,【例6-3】,6.3偏微分方程求解工具箱,求解椭圆型方程,采用工具箱求解,6.3偏微分方程求解工具箱,利用PDE工具箱命令行求解偏微分方程:,问题定义及参数初始化网格化求解显示结果,6.3偏微分方程求解工具箱,6.3偏微分方程求解工具箱,例6-5求解二维动态热传导方程,ME_6_6.m,6.4偏微分方程在化工中的应用,在一管式催化反应器中进行乙苯的催化脱氢反应，所用原料为乙苯和水蒸汽的气体混合物。动力学方程为：,进入反应器，相当于总质量速率为G=2500kg.h-1.m2。反应管,6.4偏微分方程在化工中的应用,固定床二维反应器模型,Z为反应管轴向距离，r为径向距离，方程系数如下：,6.4偏微分方程在化工中的应用,通过反应计量关系获得各组分的分压：,温度初始边界条件：,6.4偏微分方程在化工中的应用,质量初始边界条件,径向边界条件,6.4偏微分方程在化工中的应用,微分方程组的差分格式离散化,一隐式差分（Crank-Nicholson),M-1,n,M,n+1,M+1,n,M,n,M+1,n+1,M-1,n+1,M,n+1/2,z,r,采用差分代替微分，离散化进行迭代。如图，任一节点的径向与轴向位置可表示为：,6.4偏微分方程在化工中的应用,对于点（M,n+1/2)的各项导数都可以用该处周围六个节点的函数值计算的差商表示，如温度可表示为：,将上三式代入二维模型的物料衡算方程,6.4偏微分方程在化工中的应用,类似的可求得浓度的差分方程,6.4偏微分方程在化工中的应用,上两式中(rA)m,n+1/2是指温度为Tm,n+1/2与浓度cAm,n+1/2条件下的反应速率，有：,6.4偏微分方程在化工中的应用,管中心和管壁处的边值条件也可用差分方程表示。管中心：,6.4偏微分方程在化工中的应用,管壁处：,6.4偏微分方程在化工中的应用,迭代过程：,假设所有节点处浓度和温度的初始值C0Am,n和T0m,n计算出CAm,n1、2和Tm,n1、2，代入动力学方程求得（-rA)m,n+1/2将（-rA)m,n+1/2代入上述方程，得到各节点处浓度和温度的线性方程组，方程的系数矩阵均为对三角矩阵，用追赶法求解浓度方程和温度方程，得到各节点处