2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编

A B C D E F 2008-2018 江苏高考数学立体几何真题汇编 （2008 年第 16 题） 在四面体 ABCD 中， CBCD ，ADBD，且 E、F 分别是 AB、BD 的中点， 求证：（1）直线 EF平面 ACD （2）平面 EFC平面 BCD 证明：（1） 直线 EF平面 ACD (E，F分别为AB，BD的中点EF AD 且AD 平面ACD ，EF平面ACD （2）直线 BD平面 EFC 又 BD平面 BCD， 所以平面 EFC平面 BCD （2009 年第 16 题） A B C D E F C B A 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，E，F 分别是 A1B，A1C 的中点，点 D 在 B1C1上， A1DB1C . 求证：（1）EF平面 ABC （2）平面 A1FD平面 BB1C1C 证明：（1）由 E，F 分别是 A1B，A1C 的中点知 EFBC， 因为 EF平面 ABC，BC平面 ABC，所以 EF平面 ABC （2）由三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱知 CC1平面 A1B1C1， 又 A1D平面 A1B1C1，故 CC1A1D， 又因为 A1DB1C，CC1B1CC， CC1、B1C平面 BB1C1C 故 A1D平面 BB1C1C，又 A1D平面 A1FD， 故平面 A1FD平面 BB1C1C （2010 年第 16 题） P A B C D D P A B C F E 如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，PDDCBC1，AB2，ABDC， BCD90 （1）求证：PCBC； （2）求点 A 到平面 PBC 的距离 证明：（1）因为 PD平面 ABCD， BC平面 ABCD，所以 PDBC 由BCD90，得 CDBC， 又 PDDCD，PD、DC平面 PCD， 所以 BC平面 PCD 因为 PC平面 PCD，故 PCBC 解：（2） （方法一）分别取 AB、PC 的中点 E、F，连 DE、DF，则： 易证 DECB，DE平面 PBC，点 D、E 到平面 PBC 的距离相等 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍 由（1）知：BC平面 PCD，所以平面 PBC平面 PCD 于 PC， 因为 PDDC，PFFC，所以 DFPC，所以 DF平面 PBC 于 F 易知 DF，故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 （方法二）等体积法：连接 AC设点 A 到平面 PBC 的距离为 h 因为 ABDC，BCD90，所以ABC90 从而 AB2，BC1，得ABC 的面积 SABC1 由 PD平面 ABCD 及 PD1，得三棱锥 PABC 的体积 V SABCPD 1 3 1 3 因为 PD平面 ABCD，DC平面 ABCD，所以 PDDC 又 PDDC1，所以 PC PD2 2DC2 2 2 由 PCBC，BC1，得PBC 的面积 SPBC 由 VAPBCVPABC， SPBChV ，得 h， 1 3 1 3 2 故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 （2011 年第 16 题） 如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ABAD，BAD60， E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证：（1）直线 EF平面 PCD； （2）平面 BEF平面 PAD 证明：（1）在PAD 中，E，F 分别为 AP，AD 的中点，BCAB， 又EF 平面 PCD，PD平面 PCD，直线 EF平面 PCD （2）连接 BD. ABAD，BAD60，PAD 为正三角形 F 是 AD 的中点，BFAD， 平面 PAD平面 ABCD，BF平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD， BF平面 PAD 又BF平面 BEF， 平面 BEF平面 PAD （2012 年第 16 题） 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D、E 分别是棱 BC、CC1上的点（点 D 不同于点 C） ，且 ADDE，F 为 B1C1的中点 求证：（1）平面 ADE平面 BCC1B1 ； （2）直线 A1F平面 ADE 证明：（1）是 ABCA1B1C1直三棱柱，CC1平面 ABC 又AD平面 ABC，CC1AD 又ADDE，CC1，DE平面 ADE，CC1DEE 平面 ADE平面 BCC1B1 （2）A1B1A1C1，F 为 B1C1的中点，A1FB1C1 CC1平面 A1B1C1，且 A1F平面 A1B1C1 CC1A1F 又CC1，B1C1平面 BCC1B1，CC1B1C1C1 A1F平面 BCC1B1， 由（1）知 AD平面 BCC1B1，A1FAD 又AD平面 ADE，A1F 平面 ADE， A1F平面 ADE S G A B C E F （2013 年第 16 题） 如图，在三棱锥 SABC 中，平面平面 SAB平面 SBC，ABBC，ABAS，过 A 作 AFSB，垂足为 F，点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点 求证：（1）平面 EFG平面 ABC ； （2）BCSA 证：（1）SAAB 且 AFSB， F 为 SB 的中点 又E，G 分别为 SA，SC 的中点， EFAB，EGAC 又ABACA，AB面 SBC，AC面 ABC， 平面 EFG平面 ABC （2）平面 SAB平面 SBC，平面 SAB平面 SBCBC， AF平面 ASB，AFSB AF平面 SBC 又BC平面 SBC， AFBC 又ABBC，AFABA， BC平面 SAB 又SA平面 SAB， BCSA （2014 年第 16 题） 如图，在三棱锥 PABC 中，D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点 已知 PAAC，PA6，BC8，DF5 求证：（1）直线 PA平面 DEF； （2）平面 BDE平面 ABC 证明： （1）D,E 为 PC,AC 中点 DEPA PA 平面 DEF，DE平面 DEF PA平面 DEF （2）D,E 为 PC,AC 中点 DE3 PA 2 E,F 为 AC,AB 中点 EF4 BC 2 DE2EF2DF2 DEF90，DEEF DEPA ，PAAC DEAC ACEFE DE平面 ABC DE平面 BDE， 平面 BDE平面 ABC A B C1 1 DE A1 1 B1 1 C （2015 年第 16 题） 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ACBC，BCCC1，设 AB1的中点为 D， B1CBC1E 求证：（1）DE平面 A A1CC1 (2) BC1AB1 证明：（1）由题意知，E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB1的中点，因此 DEAC. 又因为 DE 平面 A A1C1C，AC平面 A A1C1C，所以 DE平面 A A1C1C （2）因为三棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱，所以 CC1平面 ABC 因为 AC平面 ABC，所以 ACCC1， 又因为 ACBC，CC1平面 BCC1B1，BC平面 BCC1B1，BCCC1C， 所以 AC平面 BCC1B1， 又因为 BC1平面 BCC1B1，所以 BC1AC 因为 BCCC1，所以矩形 BCC1B1是正方形，因此 BC1B1C 因为 AC，B1C平面 B1AC，ACB1CC，所以 BC1平面 B1AC， 又因为 AB1 平面 B1AC，所以 BC1A B1 A1 B1 C1 D E F A B C （2016 年第 16 题） 如图，在直三棱柱 ABCA1 1B1 1C1 1中，D、E 分别为 AB、BC 的中点，点 F 在侧棱 B1 1B 上， 且 B1 1DA1 1F，A1 1C1 1A1 1B1 1 求证： （1）直线 DE平面 A1 1C1 1F； （2）平面 B1 1DE平面 A1 1C1 1F 证明：（1）在直三棱柱 ABCA1 1B1 1C1 1中，A1 1C1 1AC 在ABC 中，因为 D、E 分别为 AB，BC 的中点， DEAC，于是 DEA1 1C1 1 又DE 平面 A1 1C1 1F，A1 1C1 1平面 A1 1C1 1F， 直线 DE平面 A1 1C1 1F （2）在直三棱柱 ABCA1 1B1 1C1 1中，A1 1A平面 A1 1B1 1C1 1， A1 1C1 1平面 A1 1B1 1C1 1， A1 1AA1 1C1 1 又A1 1C1 1A1 1B1 1，A1 1A平面 ABB1 1A1 1，A1 1B1 1平面 ABB1 1A1 1，A1 1AA1 1B1 1A1 1， A1 1C1 1平面 ABB1 1A1 1 B1 1D平面 ABB1 1A1 1， A1 1C1 1B1 1D 又B1 1DA1 1F，A1 1C1 1平面 A1 1C1 1F，A1 1F平面 A1 1C1 1F，A1 1C1 1A1 1FA1 1， B1 1D平面 A1 1C1 1F B1 1D平面 B1 1DE 平面 B1 1DE平面 A1 1C1 1F A B C D E F （2017 年第 15 题） 如图，在三棱锥 ABCD 中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点 E、F（E 与 A、D 不重合）分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD . 求证：（1）EF平面 ABC； （2）ADAC 证明：（1）在平面内，ABAD，EFAD EFAB 又EF 平面 ABC，AB平面 ABC EF平面 ABC （2）平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD BC平面 BCD，BCBD BC平面 ABD AD平面 ABD BCAD 又ABAD，BCABB ，AB平面 ABC，BC平面 ABC AD平面 ABC 又AC平面 ABC， ADAC D1 C1 B1 A1 D C B A （2018 年第 15 题） 在平行六面体 ABCDA1 1B1 1C1 1 D1 1中，AA1 1AB，AB1 1B1 1C1 1. 求证：（1）AB平面 A1 1B1 1C； （2）平面 ABB1 1 A1 1平面 A1 1BC 证明：（1）平行六面体 ABCDA1 1B1 1C1 1 D1 1中，ABA1 1B1 1 AB平面 A1 1B1 1C ( AB A1 1B1 1 A1 1B1 1 平面A1 1B1 1C AB平面A1 1B1 1C （2） 四边形 A1 1B1 1BA 为菱形AB1 1A1 1B (平行六面体ABC