2014考研数学二真题

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1一、选择题:18 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题 目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题 目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. 指定位置上. (1) 当0 x 时， 若ln(12)x ， 1 (1cos)x 均是比x高阶的无穷小， 则的取值范围是( ) (A) (2,) (B) (1, 2) (C) 1 (,1) 2 (D) 1 (0,) 2 (2) 下列曲线中有渐近线的是 ( ) (A) sinyxx (B) 2 sinyxx (C) 1 sinyx x (D) 2 1 sinyx x (3) 设函数()fx具有 2 阶导数，()(0)(1)(1)g xfxfx， 则在区间0,1上 （ ） (A) 当()0fx时，()()fxg x (B) 当()0fx时，()()fxg x (C) 当()0fx时，()()fxg x (D) 当()0fx时，()()fxg x (4) 曲线 2 2 7 41 xt ytt 上对应于1t 的点处的曲率半径是 （ ） (A) 10 50 (B) 10 100 (C)1010 (D)510 (5) 设函数()arctanfxx， 若()()fx xf ， 则 2 2 0 l i m x x （ ） (A)1 (B) 2 3 (C) 1 2 (D) 1 3 (6) 设函数( ,)u x y在有界闭区域D上连续， 在D的内部具有 2 阶连续偏导数， 且满足 2 0 u x y 及 22 22 0 uu xy ， 则 （ ） (A)( ,)u x y的最大值和最小值都在D的边界上取得 (B) ( ,)u x y的最大值和最小值都在D的内部上取得 研途考研VIP (C) ( ,)u x y的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得 (D) ( ,)u x y的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得 (7) 行列式 00 00 00 00 ab ab cd cd （ ） (A) 2 ()adbc (B) 2 ()adbc (C) 2222 a db c (D) 2222 b ca d (8) 设 123 ,均为 3 维向量，则对任意常数,k l，向量组 1323 ,kl线性无关是向量组 123 ,线性无关的 （ ） (A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 二、填空题：9二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 指定位置上. 指定位置上. (9) 1 2 1 25 dx xx _. (10) 设()fx是周期为4的可导奇函数， 且()fx2(1),x0, 2x ， 则( 7 )f _. (11) 设( ,)zz x y是由方程 22 7 4 yz exyz确定的函数，则 1 1 (,) 2 2 dz_. (12) 曲线()rr的极坐标方程是r ， 则L在点( ,)(,) 22 r 处的切线的直角坐标方程是 _. (13) 一根长为1的细棒位于x轴的区间0,1上,若其线密度 2 21xxx ,则该细棒的质 心坐标x _. (14) 设二次型 22 123121323 ,24fxxxxxax xx x的负惯性指数为 1，则a的取值范围为 _. 三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 指定位置上.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 研途考研VIP 求极限 1 2 1 2 1 lim. 1 ln1 x t x tetdt x x (16)(本题满分 10 分) 已知函数 yyx 满足微分方程 22 1xyyy，且 20y ，求 yx 的极大值与极小 值. (17)(本题满分 10 分) 设平面区域 22 ,14,0,0 ,Dx yxyxy计算 22 sin D xxy dxdy xy . (18)(本题满分 10 分) 设函数()fu具有二阶连续导数，(e cosy) x zf满足 22 2 22 (4ecos) e xx zz zy xy ，若 ( 0 )0 ,( 0 )0ff，求()fu的表达式. (19)(本题满分 10 分) 设函数(),()fxg x的区间a, b上连续，且()fx单调增加，0()1g x.证明： (I)0( ), x a g t dtxa xa b , (II) ( ) () d() g() b a agt dtb aa fxxfxx dx . (20)(本题满分 11 分) 设函数(x),0,1 1 x fx x ，定义函数列 121 ()(),()(),fxfxfxffx, 1 ()(), nn fxffx ，记 n S是由曲线() n yfx，直线1x 及x轴所围成平面图形的面积，求 极限lim n n nS . (21)(本题满分 11 分) 已知函数( ,)fx y满足2(1) f y y ，且 2 (,)(1)(2)ln,fy yyyy求曲线( ,)0fx y 所围成的图形绕直线1y 旋转所成的旋转体的体积. 研途考研VIP (22)(本题满分 11 分) 设矩阵 1234 0111 1203 A ，E为三阶单位矩阵. (I)求方程组0Ax 的一个基础解系； (II)求满足ABE的所有矩阵. (23)(本题满分 11 分) 证明n阶矩阵 111 111 111 与 001 002 00n 相似. 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案 一、选择题:1一、选择题:18 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题 目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题 目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. 指定位置上. (1) 当0 x 时， 若ln(12)x ， 1 (1cos)x 均是比x高阶的无穷小， 则的取值范围是( ) (A) (2,) (B) (1, 2) (C) 1 (,1) 2 (D) 1 (0,) 2 【答案】B 【解析】由定义 1 000 ln(12)(2) limlimlim 20 xxx xx x xx 所以10，故1. 研途考研VIP 当0 x 时， 2 1 1 (1cos) 2 x x 是比x的高阶无穷小，所以 2 10 ，即2. 故选 B (2) 下列曲线中有渐近线的是 ( ) (A) sinyxx (B) 2 sinyxx (C) 1 sinyx x (D) 2 1 sinyx x 【答案】C 【解析】关于 C 选项： 11 sinsin limlim 1lim101 xxx x xx xx . 11 limsinlim sin0 xx xx xx ，所以 1 sinyx x 存在斜渐近线yx. 故选 C (3) 设函数()fx具有 2 阶导数，()(0)(1)(1)g xfxfx， 则在区间0,1上 （ ） (A) 当()0fx时，()()fxg x (B) 当()0fx时，()()fxg x (C) 当()0fx时，()()fxg x (D) 当()0fx时，()()fxg x 【答案】D 【解析】令()()()(0)(1)(1)()Fxg xfxfxfxfx，则 (0)(1)0FF, ( )(0)(1)( )Fxfffx ,( )( )Fxfx . 若()0fx，则()0Fx，()Fx在0,1上为凸的. 又(0)(1)0FF，所以当0,1x 时，()0Fx，从而()()g xfx. 故选 D. (4) 曲线 2 2 7 41 xt ytt 上对应于1t 的点处的曲率半径是 （ ） (A) 10 50 (B) 10 100 (C)1010 (D)510 【答案】C 研途考研VIP 【解析】 1 1 1 2 2 11 2 24 3 2 2 1 2 t t t tt dyt dxt dydy t dxdxt 33 2 22 11 ,1010 1 1 y kR k q y 故选 C (5) 设函数()arctanfxx， 若( )( )f xx f， 则 2 2 0 l i m x x （ ） (A)1 (B) 2 3 (C) 1 2 (D) 1 3 【答案】D 【解析】因为 2 ()1 () 1 fx f x ，所以 2 () () xfx fx 2 2 2222 0000 1 1 ()arctan1 1 limlimlimlim ()arctan33 xxxx xfxxx x xxfxxxx 故选 D. (6) 设函数( ,)u x y在有界闭区域D上连续， 在D的内部具有 2 阶连续偏导数， 且满足 2 0 u x y 及 22 22 0 uu xy ， 则 （ ） (A)( ,)u x y的最大值和最小值都在D的边界上取得 (B) ( ,)u x y的最大值和最小值都在D的内部上取得 (C) ( ,)u x y的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得 (D) ( ,)u x y的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得 研途考研VIP 【答案】A 【解析】记 222 22 ,0, uuu ABCBA C xx yy 相 反 数 则 2 =AC -B0,所以(x, y)u在D内无极值，则极值在边界处取得. 故选 A (7) 行列式 00 00 00 00 ab ab cd cd ( ) (A) 2 ()adbc (B) 2 ()adbc (C) 2222 a db c (D) 2222 b ca d 【答案】B 【解析】由行列式的展开定理展开第一列 00 00 00 000 00 000 00 ab abab ab a cdcb cd dcd cd ()()ad adbcbc adbc 2 ()adbc . (8) 设 123 ,aaa均为三维向量，则对任意常数,k l,向量组 13 aka, 23 ala线性无关是向量组 123 ,aaa线性无关的 ( ) (A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 1323123 10 01kl kl . ) 记 1323 Akl， 123 B ， 10 01 kl C. 若 123 ,线性无 研途考研VIP 关，则()()()2r Ar BCr C，故 1323 ,kl线性无关. ) 举反例. 令 3 0，则 12 ,线性无关，但此时 123 ,却线性相关. 综上所述，对任意常数,k l，向量 1323 ,kl线性无关是向量 123 ,线性无关的必 要非充分条件. 故选 A 二、填空题：9二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 指定位置上. 指定位置上. (9) 1 2 1 25 dx xx _. 【答案】 3 8 【解析】 11 1 22 1111 arctan 2522 14 13 2428 x dxdx xx x (10) 设()fx是周期为4的可导奇函数， 且()fx2(1),x0, 2x ， 则( 7 )f _. 【答案】1 【解析】 210, 2fxxx，且为偶函数 则 212,0fxxx ， 又 2 2fxxxc 且为奇函数，故=0c 2 22,0fxxxx ， 又fx的周期为 4， 711ff (11) 设( ,)zz x y是由方程 22 7 4 yz exyz确定的函数，则 1 1 (,) 2 2 dz_. 【答案】 1 () 2 dxdy 【解析】对 22 7 4 yz exyz方程两边同时对,x y求偏导 研途考研VIP 2 2 210 (22)20 yz yz zz ey xx zz ezyy yy 当 11 , 22 xy时,0z 故 1 11 1 (,)(,) 2 22 2 11 , 22 zz xy 故 1 1 (,) 2 2 111 ()() 222 dzdxdydxdy (12) 曲线lim n n nS 的极坐标方程是r ，则L在点( ,)(,) 22 r 处的切线的直角坐标方程是 _. 【答案】 2 2 yx 【解析】由直角坐标和极坐标的关系 coscos sinsin xr yr ， 于是, 22 r 对应于,0, 2 x y 切线斜率 cossin cossin dy dy d dx dx d 0 , 2 2dy dx 所以切线方程为 2 0 2 yx 即 2 = 2 yx (13) 一根长为1的细棒位于x轴的区间0,1上,若其线密度 2 21xxx ,则该细棒的质 心坐标x _. 【答案】 11 20 研途考研VIP 【解析】质心横坐标 1 0 1 0 xxdx x xdx 3 11 221 0 00 42 11 231 0 00 5 =21 33 211 =21 43212 x xdxxxdxxx xx xxdxxxxdxx 11 11 12 = 5 20 3 x (13) 设二次型 22 123121323 ,24fxxxxxax xx x的负惯性指数是 1，则a的取值范围 _. 【答案】 2, 2 【解析】配方法： 22 222 123133233 ,24fxxxxaxa xxxx 由于二次型负惯性指数为 1，所以 2 40a，故22a. 三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 指定位置上.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 求极限 1 2 1 2 1 lim. 1 ln1 x t x tetdt x x 【解析】 11 22 11 22 dd (e1)(e1) limlim 11 ln(1) xx tt xx tt tttt xx xx 1 2 lim (e1) x x xx 1 2 000 e1e11 limlimlim 222 t tt x ttt tt ttt . (16)(本题满分 10 分) 研途考研VIP 已知函数 yyx 满足微分方程 22 1xyyy，且 20y ，求 yx 的极大值与极小 值. 【解析】 由 22 1xyyy，得 22 (1)1yyx 此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为 33 11 33 yyxxc 由(2)0y得 2 3 c 又由可得 2 2 1 () 1 x yx y 当()0yx时，1x ，且有： 1,()0 11,()0 1,()0 xyx xyx xyx 所以()y x在1x 处取得极小值，在1x 处取得极大值 (1)0,(1)1yy 即：()y x的极大值为 1，极小值为 0. (17)(本题满分 10 分) 设平面区域 22 ,14,0,0 ,Dx yxyxy计算 22 sin D xxy dxdy xy . 【解析】D 关于yx对称，满足轮换对称性，则： 2222 sin()y sin() DD xxyxy dxdydxdy xyxy 222222 sin()sin()sin()1 2 DD xxyxxyyxy Idxdydxdy xyxyxy 22 1 sin() 2 D xydxdy 研途考研VIP 2 2 01 2 1 1 sin 2 1 ()cos 4 drrdr rdr 2 2 1 1 1 cos|cos 4 rrrdr 2 1 11 21sin| 4 r 3 4 (18)(本题满分 10 分) 设函数()fu具有二阶连续导数，(e cosy) x zf满足 22 2 22 (4ecos) e xx zz zy xy ，若 ( 0 )0 ,( 0 )0ff，求()fu的表达式. 【解析】由 cos, x zfey (cos)cos,(cos)sin xxxx zz feyeyfeyey xy 2 2 (cos)coscos(cos)cos xxxxx z feyeyeyfeyey x ， 2 2 (cos)sinsin(cos)cos xxxxx z feyeyeyfeyey y 由 22 2 22 +4cos xx zz zeye xy ，代入得， 22 cos4coscos xxxxx feyefeyey e 即 cos4coscos xxx feyfeyey， 令cos= , x eyt得 4ftftt 特征方程 2 40,2 得齐次方程通解 22 12 tt yc ec e 研途考研VIP 设特解 * yatb，代入方程得 1 ,0 4 ab ，特解 * 1 4 yt 则原方程通解为 22 12 1 = 4 tt yftc ec et 由 00,00ff，得 12 11 , 1616 cc , 则 22 111 = 16164 uu yfueeu . (19)(本题满分 10 分) 设函数(),()fxg x在区间,a b上连续，且()fx单调增加，0()1g x，证明： （I） 0( ), x a g t dtxa xa b , （II） ( ) () d() g() b a agt dtb aa fxxfxx dx . 【解析】 （I）由积分中值定理 , x a gtdtgxaa x 01gx ， 0gxaxa 0 x a gtdtxa （II）直接由 01gx ，得到 01= xx aa gtdtdtxa （II）令 u a uag t dt aa Fufxgxdxfxdx u a u a Fufugufagtdtgu gufufagtdt 由（I）知 0 u a gtdtua u a aagtd tu 又由于 fx单增，所以 0 u a fufagtdt 0FuFu，单调不减，0FuFa 取ub，得 0Fb，即（II）成立. 研途考研VIP (20)(本题满分 11 分) 设函数 (x),0,1 1 x fx x ，定义函数列 1211 ()(),()(),()(), nn fxfxfxffxfxffx ， 记 n S是由曲线() n yfx， 直线1x 及x轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS . 【解析】 123 (),(),(),(), 112131 n xxxx fxfxfxfx xxxnx 111 000 11 () 11 nn x x nn Sfx dxdxdx nxnx 11 1 0 2 00 11111 1ln(1) 1 dxdxnx nnnxnn 2 11 ln(1)n nn ln(1)ln(1)1 lim1lim1lim1lim 1 n nnxx nx nS nxx 101 (21)(本题满分 11 分) 已 知 函 数( ,)fx y满 足2 (1 ) f y y ， 且 2 (,)(1 )( 2) l n,fyyyyy求 曲 线 (,)0fxy所围成的图形绕直线1y 旋转所成的旋转体的体积. 【解析】因为2(1) f y y ,所以 2 (,)2(),fx yyyx其中()x为待定函数. 又因为 2 (,)(1)2ln,fy yyyy则()12lnyyy，从而 22 ( ,)212ln(1)2lnfx yyyxxy