2015-2016学年河南省南阳市高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1复数的虚部是（）AiBiC1D12如果命题p（n）对n=k成立（nN*），则它对n=k+2也成立，若p（n）对n=2成立，则下列结论正确的是（）Ap（n）对一切正整数n都成立Bp（n）对任何正偶数n都成立Cp（n）对任何正奇数n都成立Dp（n）对所有大于1的正整数n都成立3已知函数f（x）=+1，则的值为（）ABCD04直线与曲线相切，则b的值为（）A2B1CD15已知复数z的模为2，则|zi|的最大值为（）A1B2CD36曲线y=ex在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）AB1C2D37用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个奇数”正确的反设为（）Aa、b、c都是奇数Ba、b、c都是偶数Ca、b、c中至少有两个奇数Da、b、c中至少有两个奇数或都是偶数8已知函数f（x）=x33x+c有两个不同零点，且有一个零点恰为f（x）的极大值点，则c的值为（）A0B2C2D2或29已知ba，下列值： f（x）dx， |f（x）|dx，|的大小关系为（）A|f（x）|dxf（x）dxB |f（x）|dx|f（x）dx|f（x）dxC |f（x）|dx=|f（x）dx|=f（x）dxD |f（x）|dx=|f（x）dx|f（x）dx10设f（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）ABCD11设函数f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且有2f（x）+xf（x）x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）4f（2）0的解集为（）A（，2012）B（2012，0）C（，2016）D（2016，0）12已知函数f（x）=，若函数y=f（x）kx有3个零点，则实数k的取值范围为（）ABC（1，+）D二.填空题，本大题共4小题每小题5分，共20分.13（x+x2+sinx）dx=14若f（n）=12+22+32+（2n）2，则f（k+1）与f（k）的递推关系式是15已知函数f（x）的导函数f（x）=a（x+1）（xa），若f（x）在x=a处取到极小值，则实数a的取值范围是16先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方法：令=x，则有=x，从而解得x=（负值已舍去）”；运用类比的方法，计算： =三.解答题，本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知复数，若|z|2+az+b=1i（）求；（）求实数a，b的值18已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间m，m+1上单调递增，求m的取值范围19设x0，y0，z0，（）比较与的大小；（）利用（）的结论，证明：20是否存在常数a，b，使等式对于一切nN*都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？21设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3x23（I）如果存在x1、x20，2，使得g（x1）g（x2）M成立，求满足上述条件的最大整数M；（II）如果对于任意的s、t，2，都有f（s）g（t）成立，求实数a的取值范围.22已知函数（I）当a=1时，求f（x）在x1，+）最小值；（）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（）求证：（nN*）2015-2016学年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1复数的虚部是（）AiBiC1D1【考点】复数的基本概念【分析】根据复数的基本运算化简复数即可【解答】解： =，则复数的虚部是1，故选：C2如果命题p（n）对n=k成立（nN*），则它对n=k+2也成立，若p（n）对n=2成立，则下列结论正确的是（）Ap（n）对一切正整数n都成立Bp（n）对任何正偶数n都成立Cp（n）对任何正奇数n都成立Dp（n）对所有大于1的正整数n都成立【考点】数学归纳法【分析】根据题意可得，当命题P（2）成立，可推出 P（4）、P（6）、P（8）、P（10）、P（12）均成立【解答】解：由于若命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+2也成立 又已知命题P（2）成立，可推出P（4）、P（6）、P（8）、P（10）、P（12）均成立，即p（n）对所有正偶数n都成立故选：B3已知函数f（x）=+1，则的值为（）ABCD0【考点】极限及其运算【分析】利用导数的定义和运算法则即可得出【解答】解：函数f（x）=+1，f（x）=1=f（1）=故选：A4直线与曲线相切，则b的值为（）A2B1CD1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标，再根据切点既在直线的图象上又在曲线上，即可求出b的值【解答】解：设切点坐标为（m，n）y|x=m=解得 m=1切点（1，n）在曲线的图象上，n=，切点（1，）又在直线上，b=1故答案为：B5已知复数z的模为2，则|zi|的最大值为（）A1B2CD3【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】根据复数的几何意义，知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点半径为2的圆，|zi|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，其最大值为圆上点（0，2）到点（0，1）的距离【解答】解：|z|=2，则复数z对应的轨迹是以圆心在原点，半径为2的圆，而|zi|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，其最大值为圆上点（0，2）到点（0，1）的距离，最大的距离为3故选D6曲线y=ex在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）AB1C2D3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】要求切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率最后求出切线的方程，从而问题解决【解答】解：依题意得y=ex，因此曲线y=ex在点（0，1）处的切线的斜率等于1，相应的切线方程是y=x+1，当x=0时，y=1；即y=0时，x=1，即有切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：S=11=故选：A7用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个奇数”正确的反设为（）Aa、b、c都是奇数Ba、b、c都是偶数Ca、b、c中至少有两个奇数Da、b、c中至少有两个奇数或都是偶数【考点】反证法与放缩法【分析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，即可得出结论【解答】解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而：“自然数a，b，c中恰有一个奇数”的否定为：“a，b，c中至少有两个奇数或都是奇偶数”，故选D8已知函数f（x）=x33x+c有两个不同零点，且有一个零点恰为f（x）的极大值点，则c的值为（）A0B2C2D2或2【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理【分析】利用导数求出函数的极大值和极小值，要使函数f（x）=x33x+c只有2个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0根据有一个零点恰为f（x）的极大值点，得f（x）的极大值为0，解方程即可【解答】解：f（x）=x33x+c，f（x）=3x23，由f（x）0，得x1或x1，此时函数单调递增，由f（x）0，得1x1，此时函数单调递减即当x=1时，函数f（x）取得极大值，当x=1时，函数f（x）取得极小值要使函数f（x）=x33x+c只有两个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0，有一个零点恰为f（x）的极大值点，必有f（1）=1+3+a=c+2=0，解得c=2；故选：C9已知ba，下列值： f（x）dx， |f（x）|dx，|的大小关系为（）A|f（x）|dxf（x）dxB |f（x）|dx|f（x）dx|f（x）dxC |f（x）|dx=|f（x）dx|=f（x）dxD |f（x）|dx=|f（x）dx|f（x）dx【考点】定积分；不等关系与不等式【分析】根据定积分的几何意义，分别讨论函数y=f（x）及函数y=|f（x）|的图象在x轴上下方的可能情况，然后由微积分基本定理分析三个定积分对应曲边梯形的面积的大小【解答】解：当函数y=f（x）在a，b上的图象在x轴上方，定积分就是求函数f（x）在区间a，b中图线下包围的面积，即由 y=0，x=a，x=b，y=f（x）所围成图形的面积，此时f（x）dx=|f（x）|dx=|；当函数y=f（x）在a，b上的图象在x轴下方，定积分就是求函数f（x）在区间a，b中图线上方包围的面积的负值，即由 y=0，x=a，x=b，y=f（x）所围成图形的面积的负值，此时函数y=|f（x）|的图象在x轴上方，所以=0，0；当函数y=f（x）的图象在a，b上x轴的上下方都有，不防设在a，c）上在x轴上方，在（c，b上在x轴下方，则为上方的面积减去下方的面积，为上方的面积减去下方面积的绝对值，为上方的面积加上下方的面积；若函数y=f（x）的原函数为常数函数y=0，则f（x）dx=|f（x）|dx=|；综上，三者的关系是故选B10设f（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）ABCD【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义【分析】本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数【解答】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D11设函数f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且有2f（x）+xf（x）x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）4f（2）0的解集为（）A（，2012）B（2012，0）C（，2016）D（2016，0）【考点】导数的运算【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：由2f（x）+xf（x）x2，（x0），得：2xf（x）+x2f（x）x3，即x2f（x）x30，令F（x）=x2f（x），则当x0时，得F（x）0，即F（x）在（，0）上是减函数，F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（2）=4f（2），即不等式等价为F（x+2014）F（2）0，F（x）在（，0）是减函数，由F（x+2014）F（2）得，x+20142，即x2016，故选：C12已知函数f（x）=，若函数y=f（x）kx有3个零点，则实数k的取值范围为（）ABC（1，+）D【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】由题意画出图象，利用导数对x分x=0、x0、x0三种情况各有一个零点时的k的取值范围求出来，再求交集即可【解答】解：由题意画出图象：（1）当x=0时，f（0）=ln1=0，k0=0，0是函数f（x）kx的一个零点；（2）由函数的图象和单调性可以看出，当x0和x0时，分别有一个零点当x0时，由x2+x=kx，化为x=k0，解得k；当x0时，只考虑k即可，令g（x）=ln（x+1）kx，则g（x）=k，A当k1时，则g（x）0，即g（x）在（0，+）上单调递减，g（x）g（0）=0，g（x）无零点，应舍去；B当k1时，01，g（x）=，令g（x）=0，解得x=1，列表如下： x g（x）+0 g（x） 单调递增绝对值 单调递减由表格可知：当x=时，g（x）取得极大值，也是最大值，当且仅当g（）0时，g（x）才有零点，g（）=ln（1k）=klnk1下面证明h（k）=klnk10，k（，1）h（k）=1=0，h（k）在（，1）上单调递减，g（）=h（k）h（1）=1ln11=0，因此g（）0在k（，1）时成立综上可知：当且仅当k1时，函数f（x）kx有三个零点故选：B二.填空题，本大题共4小题每小题5分，共20分.13（x+x2+sinx）dx=【考点】定积分【分析】根据定积分的计算法法则计算即可【解答】解：（x+x2+sinx）dx=（cosx）|=（+cos1）（cos1）=，故答案为：14若f（n）=12+22+32+（2n）2，则f（k+1）与f（k）的递推关系式是f（k+1）=f（k）+（2k+1）2+（2k+2）2【考点】数列递推式【分析】分别求得f（k）和f（k+1）两式相减即可求得f（k+1）与f（k）的递推关系式【解答】解：f（k）=12+22+（2k）2，f（k+1）=12+22+（2k）2+（2k+1）2+（2k+2）2，两式相减得f（k+1）f（k）=（2k+1）2+（2k+2）2f（k+1）=f（k）+（2k+1）2+（2k+2）215已知函数f（x）的导函数f（x）=a（x+1）（xa），若f（x）在x=a处取到极小值，则实数a的取值范围是a1或a0【考点】函数在某点取得极值的条件【分析】根据函数导数的定义和性质即可得到结论【解答】解：由f（x）=a（x+1）（xa）=0，解得a=0或x=1或x=a，若a=0，则f（x）=0，此时函数f（x）为常数，没有极值，故a0若a=1，则f（x）=（x+1）20，此时函数f（x）单调递减，没有极值，故a1若a1，由f（x）=a（x+1）（xa）0得ax1此时函数单调递增，由f（x）=a（x+1）（xa）0得xa或x1此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极小值，满足条件若1a0，由f（x）=a（x+1）（xa）0得1xa此时函数单调递增，由f（x）=a（x+1）（xa）0得x1或xa，此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极大值，不满足条件若a0，由f（x）=a（x+1）（xa）0得x1或xa此时函数单调递增，由f（x）=a（x+1）（xa）0得1xa，此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极小值，满足条件综上：a1或a0，故答案为：a1或a016先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方法：令=x，则有=x，从而解得x=（负值已舍去）”；运用类比的方法，计算： =【考点】类比推理【分析】利用类比的方法，设=x，则1+=x，解方程可得结论【解答】解：设=x，则1+=x，2x22x1=0x=，x0，x=，故答案为：三.解答题，本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知复数，若|z|2+az+b=1i（）求；（）求实数a，b的值【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】（I）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出（II）利用复数的运算法则、复数相等即可得出【解答】解：（ I）=1i（ II）把z=1+i代入|z|2+az+b=1i，即|1+i|2+a（1+i）+b=1i，得（a+b+2）+ai=1i，解得实数a，b的值分别为1，218已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间m，m+1上单调递增，求m的取值范围【考点】函数的单调性与导数的关系；导数的几何意义【分析】（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值（2）求出 f（x），令f（x）0，求出函数的单调递增区间，据题意知m，m+1（，20，+），列出端点的大小，求出m的范围【解答】解：（1）f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），a+b=4式 f（x）=3ax2+2bx，则f（1）=3a+2b由条件式由式解得a=1，b=3（2）f（x）=x3+3x2，f（x）=3x2+6x，令f（x）=3x2+6x0得x0或x2，函数f（x）在区间m，m+1上单调递增m，m+1（，20，+）m0或m+12m0或m319设x0，y0，z0，（）比较与的大小；（）利用（）的结论，证明：【考点】综合法与分析法(选修）【分析】（）对两个解析式作差，对差的形式进行化简整理，判断出差的符号，得出两数的大小（）利用（）类比出一个结论，利用综合法证明不等式即可【解答】（），（）由（1）得类似的，又；x2+y2+z2xy+yz+zx（另证：x2+y22xy，y2+z22yz，z2+x22zx，三式相加）=20是否存在常数a，b，使等式对于一切nN*都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？【考点】数学归纳法【分析】假设存在常数a，b，使等式对于一切nN*都成立取n=1，2可得，解得a，b再利用数学归纳法证明即可【解答】解：若存在常数a，b，使等式对于一切nN*都成立取n=1，2可得，解得a=1，b=4则=对于一切nN*都成立下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立（2）假设当n=k（kN*）时，等式成立，即+=则当n=k+1时，+=+=也就是说当n=k+1时，等式也成立综上所述：可知等式对于一切nN*都成立21设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3x23（I）如果存在x1、x20，2，使得g（x1）g（x2）M成立，求满足上述条件的最大整数M；（II）如果对于任意的s、t，2，都有f（s）g（t）成立，求实数a的取值范围.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（I）存在x1、x20，2，使得g（x1）g（x2）M成立等价于g（x）maxg（x）minM；（II）对于任意的s、t，2，都有f（s）g（t）成立等价于f（x）g（x）max，进一步利用分离参数法，即可求得实数a的取值范围【解答】解：（I）存在x1、x20，2，使得g（x1）g（x2）M成立等价于g（x）maxg（x）minMg（x）=x3x23，g（x）在（0，）上单调递减，在（，2）上单调递增g（x）min=g（）=，g（x）max=g（2）=1g（x）maxg（x）min=满足的最大整数M为4；（II）对于任意的s、t，2，都有f（s）g（t）成立等价于f（x）g（x）max由（I）知，在，2上，g（x）max=g（2）=1在，2上，f（x）=+xlnx1恒成立，等价于axx2lnx