2014年江苏高考数学试卷及答案

数 学 玉 试 题 参考公式: (第 3 题)摇 摇 圆柱的侧面积公式: S圆柱侧=cl, 其中 c 是圆柱底面的周长, l 为母线长. 圆柱的体积公式: V圆柱=Sh, 其中 S 是圆柱的底面积, h 为高. 一、填空题:本大题共14 小题, 每小题5 分, 共计70 分. 请把答案填写在 答题卡相应位置上 踿踿踿踿踿踿踿踿. 1. 已知集合 A=-2, -1, 3, 4, B=-1, 2, 3, 则 A疑B=摇 银摇 . 2. 已知复数 z=(5 + 2i)2(i 为虚数单位), 则 z 的实部为摇 银摇 . 3. 右图是一个算法流程图, 则输出的 n 的值是摇 银摇 . 4. 从 1, 2, 3, 6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数, 则所取 2 个数的 乘积为 6 的概率是摇 银摇 . 5. 已知函数 y=cosx 与 y=sin(2x + 渍)(0臆渍 0)的左、右焦点, 顶点 B 的坐标为 0,()b , 连结 BF2并延长交椭圆于点 A, 过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另 一点 C, 连结 F1C. (1)若点 C 的坐标为 4 3 , 1 3 , 且 BF2= 2, 求椭圆的方程; (2)若 F1C彝AB, 求椭圆离心率 e 的值. 18. (本小题满分 16 分) 如图, 为保护河上古桥 OA, 规划建一座新桥 BC, 同时设立一个圆形保护区. 规划要求: 新桥 BC 与河岸 AB 垂直; 保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆, 且古桥 两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m. 经测量, 点 A 位于点 O 正北方向 60 m 处, 点 C 位于点 O 正东方向170 m 处(OC 为河岸), tan蚁BCO= 4 3 . (1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时, 圆形保护区的面积最大? 19. (本小题满分 16 分) 已知函数 ( )f x =ex+ e- x, 其中 e 是自然对数的底数. (1)证明: ( )f x 是 R 上的偶函数; (2)若关于 x 的不等式( )m f x 臆e- x+ m - 1 在 0, + () 上恒成立, 求实数 m 的取值范围; (3) 已知正数 a 满足:存在 x0沂1, +), 使得 f x() 0 1, 所以 m臆- t - 1 t2- t + 1 =- 1 t - 1 + 1 t - 1 + 1 对任意 t1 成立. 因为 t - 1 + 1 t - 1 + 1逸2 t ( )- 1 1 t - 1 + 1=3, 所以 - 1 t - 1 + 1 t - 1 + 1 逸 - 1 3 , 当且仅当 t=2, 即 x=ln 2 时等号成立. 因此实数 m 的取值范围是 - , - 1 3 . (3)解:令函数( )g x =ex+ 1 ex - a - x3+ 3()x , 则( )g忆 x =ex- 1 ex + 3a x2()- 1 . 当 x逸1 时, ex- 1 ex 0, x2- 1逸0, 又 a0, 故( )g忆 x 0. 所以( )g x 是1, + )上的单调 增函数, 因此( )g x 在1, + )上的最小值是 g( )1 =e + e- 1- 2a. 由于存在 x0沂1, + ), 使 ex0+ e-x0- a - x3 0+ 3x () 0 0 成立, 当且仅当最小值 g(1)0. 故 e + e- 1- 2ae + e - 1 2 . 02 令函数( )h x =x()-e - 1 lnx - 1, 则( )h忆 x =1 - e - 1 x . 令( )h忆 x =0, 得 x=e - 1. 当 x沂(0, e - 1)时,( )h忆 x 0, 故( )h x 是(e - 1, + )上的单调增函数. 所以( )h x 在 0, +() 上的最小值是 h()e - 1 . 注意到 h( )1 =h( )e =0, 所以当 x沂(1, e - 1)哿(0, e - 1)时, h( )e - 1 臆 ( )h x h( )1 =0; 当 x沂(e-1, e)哿(e-1, + )时,( )h x h( )e =0. 所以( )h x 0 对任意的 x沂 1,()e 成立. 淤 当 a沂 e + e- 1 2 , e 哿 1,()e 时,( )h a 0, 即 a ()- 1e-1 lna, 故 ea-1 ae-1. 综上所述, 当 a沂 e + e- 1 2 , e 时, ea-1 ae-1. 20. 本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识, 考查探究能力及推理论证能力. 满分 16 分. (1)证明:由已知, 当 n逸1 时, an+1=Sn+1- Sn=2n+1- 2n=2n. 于是对任意的正整数 n, 总存 在正整数 m=n + 1, 使得 Sn=2n=am. 所以an是“H 数列冶. (2)解:由已知, 得 S2=2a1+ d=2 + d. 因为an是“H 数列冶, 所以存在正整数 m, 使得 S2=am, 即 2 + d=1 + (m - 1)d, 于是(m - 2)d=1. 因为 d 0, 证明:(1 + x + y2)(1 + x2+ y)逸9xy. 揖必做题铱 第 22 题、第 23 题, 每题 10 分, 共计 20 分. 请在答题卡指定区域 踿踿踿踿踿踿踿内作答, 解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 盒中共有 9 个球, 其中有 4 个红球、 3 个黄球和 2 个绿球, 这些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出 2 个球, 求取出的 2 个球颜色相同的概率 P; (2)从盒中一次随机取出 4 个球, 其中红球、 黄球、 绿球的个数分别记为 x1, x2, x3, 随机 变量 X 表示 x1, x2, x3中的最大数. 求 X 的概率分布和数学期望 E(X). 23. (本小题满分 10 分) 已知函数 f0(x)= sinx x (x 0), 设 fn(x)为 fn-1(x)的导数, n沂N*. (1) 求 2 f1 仔 2 + 仔 2 f2 仔 2 的值; (2) 证明:对任意的 n沂N*, 等式n fn-1 仔 4 + 仔 4 fn 仔 4 = 2 2 都成立. 数学域(附加题)参考答案 21. 揖选做题铱 A. 选修 4-1:几何证明选讲 本小题主要考查圆的基本性质, 考查推理论证能力. 满分 10 分. 证明:因为 B, C 是圆 O 上的两点, 所以 OB=OC. 故蚁OCB=蚁B. (第 21-A 题) 又因为 C, D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点, 故蚁B, 蚁D 为同弧所对的两个圆周角, 所以蚁B=蚁D. 因此蚁OCB =蚁D . B. 选修 4-2:矩阵与变换 本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识, 考查运算求解能力. 满分 10 分. 摇 解:由已知, 得 住琢= -12 1 x 2 y = -2 + 2y 2 + xy , 注琢= 11 2-1 2 y = 2 + y 4 - y . 因为 住琢=注琢, 所以 - 2 + 2y 2 + xy = 2 + y 4 - y . 故 -2 + 2y=2 + y, 2 + xy=4 - y. 解得 x=- 1 2 , y=4 . 所以 x + y= 7 2 . C. 选修 4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识, 考查运算求解能力. 满分 10 分. 解:将直线 l 的参数方程 x=1 - 2 2 t, y=2 + 2 2 t 代入抛物线方程 y2=4x, 22 得 2 + 2 2 t 2 =4 1 - 2 2 t . 解得 t1=0, t2=-8 2. 所以 AB= t1- t2=8 2. D. 选修 4-5:不等式选讲 本小题主要考查算术-几何平均不等式, 考查推理论证能力. 满分 10 分. 证明:因为 x0, y0, 所以1 + x + y2逸3 3 xy20, 1 + x2+ y逸3 3 x2y0, 故(1 + x + y2)(1 + x2+ y)逸3 3 xy23 3 x2y =9xy. 摇 22. 揖必做题铱本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识, 考查运算求解 能力. 满分 10 分. 解:(1)取到的 2 个颜色相同的球可能是 2 个红球、 2 个黄球或 2 个绿球, 所以 P= C2 4+ C 2 3+ C 2 2 C2 9 =6 + 3 + 1 36 = 5 18. 摇 (2)随机变量 X 所有可能的取值为 2, 3, 4. X=4表示的随机事件是“取到的 4 个球是 4 个红球冶, 故 P(X=4)= C4 4 C4 9 = 1 126; X=3表示的随机事件是“取到的 4 个球是 3 个红球和 1 个其他颜色的球,或 3 个 黄球和 1 个其他颜色的球冶,故 P(X=3)= C3 4C 1 5+ C 3 3C 1 6 C4 9 =20 + 6 126 =13 63; 于是 P(X=2)= 1 - P(X=3) - P(X=4)= 1 - 13 63 - 1 126 =11 14. 所以随机变量 X 的概率分布如下表: X234 P 11 14 13 63 1 126 因此随机变量 X 的数学期望 ()E X =2伊11 14 + 3伊13 63 + 4伊 1 126 =20 9 . 23. 揖必做题铱本题主要考查简单的复合函数的导数, 考查探究能力及运用数学归纳法的推理 论证能力. 满分 10 分. (1)解:由已知, 得 f1( )x =f 忆 0( ) x = sinx x 忆 =cosx x - sinx x2 , 于是 f2( )x =f 忆 1( ) x = cosx x 忆-sinx x 2 忆 =- sinx x - 2cosx x2 + 2sinx x3 , 所以 f1 仔 2 =- 4 仔2, f2 仔 2 =- 2 仔 + 16 仔3 . 故 2 f1 仔 2 + 仔 2 f2 仔 2 =-1. (2)证明:由已知, 得 x f0( )x =sinx, 等式两边分别对 x 求导, 得 f0( )x+ x f 忆 0( ) x =cosx, 即f0( )x+ x f1( )x =cosx=sin x + 仔 2 , 类似可得摇 2 f1( )x+ x f2( )x =-sinx=sin x +()仔 , 摇 3 f2( )x+ x f3( )x =-cosx=sin x + 3仔 2 , 4 f3( )x+ x f4( )x =sinx=sin x + 2()仔 . 摇 下面用数学归纳法证明等式 n fn-1( )x+ x fn( )x =sin x + n仔 2 对所有的 n沂N*都成立. 32 (i) 当 n=1 时, 由上可知等式成立. (ii) 假设当 n=k 时等式成立, 即 k fk - 1( )x+ x fk( )x =sin x + k仔 2 . 因为k fk-1(x) + x fk(x)忆=k f 忆 k-1(x) + fk(x) + x f 忆k(x)= (k+1) fk(x) + x fk+1(x), sin x + k仔 2 忆 =cos x + k仔 2 x + k仔 2 忆 =sin x + (k + 1)仔