2016级 上海交通大学高数期中考试试卷解答答案

解答 第 1 页 2016 级第一学期高等数学期中试卷解答及评分标准 A A 类：类： 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 数列极限 sin lim sin n nn nn （ D ） （A）不存在； （B）等于1； （C）等于0； （D）等于1。 2. 当0 x 时，x与 2 1cos cos2 x exx是同价无穷小，则 （ A ） （A）1； （B）2； （C）3； （D）5。 3. 已知曲线C由极坐标方程r（02 ）所确定，P是C上对应于 2 的点。那么C在P点处的切线方程为 （ C ） （A） 2 r ； （B）1yx； （C） 2 2 yx ； （D）1 2 yx 。 4. 设( )f x在区间 , a b上具有连续的二阶导函数，且( , )xa b ，满足 ( )( )0fx fx，则( )f x在区间( , )a b上 （ B ） （A）保号； （B）单调； （C）存在极值； （D）存在拐点。 5. 已知函数( )f x在点 0 x的某个邻域内有定义，对于两个命题 （I）( )f x在点 0 x可导当且仅当cos( ( )f x在点 0 x可导； （II）( )f x在点 0 x可导当且仅当arctan( ( )f x在点 0 x可导， 下列选项正确的是 （ B ） （A）仅（I）正确； （B）仅（II）正确； （C） （I）和（II）都正确； （D） （I）和（II）都错误。 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 6. 已知定义在R上的函数( )f x严格单调增加， 1( ) fx 是其反函数。若对于常数 a，方程( )f xxa有解 1 x， 1( ) fxxa 有解 2 x，则 12 xxa。 7. 已知 2 cos ,0 ( ) ln(1),0 xx f x xx ，则( )fx 2 sin ,0 2 0, 1 xx x x x 。 8. 若 2x yx，则dy 2 2(ln1) x xxdx。 9. 已知 2 2 ex x y ，则 (10)( 1) y 1 10!e 5! ，或 51 29! e。 10. 函数 2 1 ( )max, 2(2) x f x xx x 在区间(0,)上的最小值等于 1 3 。 解答 第 2 页 三、 （每小题 8 分，共 16 分） 11. 用极限定义验证： 2 2 2 lim2 34 x x xx 。 证明 0 ， 14 max 8,0X ，x：xX时， （3 分） 2 22 2 682714 2 1 3434 2 xxx xxxxx x ， 所以 2 2 2 lim2 35 x x xx 。 （8 分） 12. 计算极限 2 2 0 1e1 lim x x xx x 。 解 22 222 00 1e11ee ( 11) limlim xx xx xxxx xx 2 2 2 0 1e1 lime 2 x x x x （3 分） 2ln(1) 2 22 0 e11 e lime 2 x x x x 22 2 0 ln(1)1 2e lime 2 x xx x （6 分） 2 3 e 2 。 （8 分） 四、 （每小题 8 分，共 16 分） 13. 已知( )yy x是由方程 223 2xyxy所确定的二阶可导函数，求(1) y 。 解 322 2(1)(1)1( (1)1)(2(1)(1)1)0yyyyy (1)1y， （2 分） 32 2226xyyyxy y (1)0y, （5 分） 22222 1 ( )3 3 6( )3yyyy yy yxy yxy y 1 (1) 2 y。 （8 分） 14. 长度为50米的绳子通过一个定滑轮P将货车A和B（货车高度忽略不计）连 接在一起。滑轮到地面的垂足是点Q，PQ的长度等于12米。在某个时刻 0 t，货 车A在距离Q点5米处以2米/秒的速度远离Q点， 此时货车B的运动速度等于多 少？ 解 设( )s tAQ，( )l tBQ，则 2222 ( )12( )1250s tlt （3 分） 由 0 ( )5,s t 得到 0 ( )35,l t B A P Q 12m 5m 解答 第 3 页 等式关于t求导，并令 0 tt，得到 0000 2222 00 ( ) ( )( ) ( ) 0, ( )12( )12 s t s tl t l t stlt （6 分） 22 000 0 22 00 ( ) ( )( )12523774 ( ) 35 1391 ( )( )12 s t s tlt l t l tst ， 所以货车B的运动速度是 74 91 米/秒，方向是 B 指向Q点的方向。 （8 分） 五、 （第 15 题 8 分，第 16 题 10 分，共 18 分） 15. 已知函数( )cosf xxax（1a ）在区间(0,2 )中存在极小值0，问：( )f x在 (0,2 )中是否存在极大值？若有，求该极大值。 解 ( )1sin0fxax 0 1 arcsin(0,) 2 xx a ， 0 (, ) 2 xx ； （2 分） ( )cosfxax ， 0 ()0fx， 0 ()0fx ， 所以极小值为 0 ()fx，极大值为 0 ()f x。 （5 分） 因为 00000 0()cos()cosfxxaxxax， 所以， 000 ()cosf xxax ，即( )f x在(0,2 )中存在极大值。 （8 分） 16. （1）证明：n Z，k Z，使得 113 !e 11(1)(2) knk nnnn ； （2）求极限lim sin(2!e) n nn 。 证 （1）n Z： 1 2 01 1e e !(2)! x n xkn ix xx in （01） ， （2 分） 0 11e !e! !1(1)(2) n i nn innn 。 取 0 1 ! ! n i kn i Z，则 113 !e 11(1)(2) knk nnnn 。 （5 分） （2）当n充分大时， 226 2!e(2, 2) 11(1)(2) nkk nnnn (2, 2) 2 kk , 故 226 sin()sin(2!e)sin() 11(1)(2) nnnn nnnn ， （8 分） 由于 226 sin(), sin()2 , , 11(1)(2) nnn nnnn 所以lim sin(2! )2 n nn e 。 （10 分） 解答 第 4 页 O y x (1,e) 六、 （本题 12 分） 17. 全面讨论函数 ex y x 的性态，并作出它的图形。 （ 2 (1)exx y x ， 2 3 (22)exxx y x ） 解 定义域为0R，非奇非偶，非周期； 0 1yx ； 0y； 0 lim ( ) x y x 垂直渐近线：0 x ； ()0y 水平渐近线：0y ； 无斜渐近线。 （4 分） 函数性态： x (,0) 0 (0,1) 1 (1,) y y y ， 间断 ， 极小 ， 极小值(1)ey，无拐点； （10 分） 函数简图： （12 分） 七、 （本题 8 分） 18. 已知函数( )f x和( )g u满足 , f Da b， , gf DRc d。又( )f x连续且存在 反函数。证明： (1) ( )f x仅在区间 , a b的端点处取到最值； (2) 若函数( ( )g f x在( , )a b内不存在极大值，则( )g u在( , )c d内也不存在极大值。 证明 (1) 若( )f a既非最大值又非最小值，则存在 12 ,( , x xa b，使得 12 ()( )()f xf af x。 （2 分） 不妨设 12 xx，则 12 ,fC x x，故 312 (,)xx x，使得 3 ()( )f xf a， 这与( )f x存在反函数(单射函数)矛盾，所以( )f a是( )f x的最值。 同理可证，( )f b也是( )f x的最值。 （4 分） 由于( )f x是单射函数，故( ), ( )f af b是最大、最小值 (或最小、最大值)，且 解答 第 5 页 ( , )a b内没有最值点。 (2) 由(1)，不妨设( )min( ) a x b f af x ，则对于任意的 22 :xaxb，有 2 ()( )f xf a。 因为( )f x在 2 ,a x上连续且存在反函数，再次由（1）得到 2 2 ()min( ) a x x f xf x ， 且对于任意的 112 :xaxx成立 12 ( )()f xf x， 所以( )f x在区间 , a b上严格单调增加。 （6 分） 设( )g u在 0 ( , )uc d处取到极大值，则存在 0 (, )( , )U uc d，当 0 (, )uU u时， 0 ( )()g ug u。 记 1 00 ()xfu ， 则 11 00 (),()fufu 包含 0 x的邻域 01 (,)U x， 且 01 (,)xU x ， 0 ( )(, )f xU u，从而 00 ( ( )( )()( ()g f xg ug ug f x， 即 0 ( ()g f x是( ( )g f x的极大值，这矛盾。 （8 分） B 类：类： 15：D，A，C，B，B. 6. a, 7. 2 sin ,0 2 0, 1 xx x x x , 8. 2 2(ln1) x xxdx, 9. 4, 10. 2. 11. 同 A 类 11 题。 12. 计算极限limarctan 41 x x x x 。 解 1 由于 1 1 1 tan(arctan), 4121 1 1 x x x x xx x 故 1 arctanarctan, 4121 x xx 原极限 1 lim arctan 21 x x x （4 分） 1 lim. 212 x x x （8 分） 解 2 令arctan, 41 x t x 则 1 1 1 tan, 21 1 1 x x t x x x 1 (cot1), 2 xt 原极限 0 lim(cot1) 2 t t t （4 分） 解答 第 6 页 0 (cossin )1 lim. 2sin2 t ttt t （8 分） 13. 计算极限 2 0 11 lim arcsin x x xx xx 。 解 原极限 2 2 0 (1)1 lim x x xx x （2 分） ln(1)2 22 00 e111 limlim xx xx x xx （5 分） 2 22 00 1 ln(1) 2 limlim xx x xx xx 13 1. 22 （8 分） 14. 同 A 类 14 题。 15. 已知函数( )yy x是由方程ecos(1)ln(e)0 y xxyx 所确定的可导函 数，求(0) y 。 解 (0) e(0)10 y y (0)0y， （2 分） 1 cossin(1)0 e yy yexexyxy x ， （5 分） 1 (0)(0)0 e yy， 1 (0) 2e y 。 （8 分） 16. 已知, ,a b c是常数， 且1a ， 求函数 1 0sin, ( ) 0ln(2), a xxbx f xx xxc 的导函数( )fx， 并给出( )fx在0 x 处连续的一个充分条件。 解 任何条件下， 12 11 sincos, 0, ( ) 1 , 0, 2 aa axxbx xx fx x x （2 分） (00)ln2,fc (00)0f， 故当ln2c 时，( )f x在0 x 连续； （5 分） 解答 第 7 页 此时， 1 (0), 2 f (0)fb ， 所以当ln2c ， 1 2 b 时，( )f x在0 x 可导，且 12 111 sincos, 0, 2 ( ) 1 , 0. 2 aa axxx xx fx x x （8 分） 当ln2c ， 1 2 b ，2a 时，( )fx在0 x 处连续。 （10 分） 17. （1）证明：存在唯一的实数(0,1)a，使得 3 31aa ； （2）任给 1 (0,1)x ，定义 3 1 1 3 n n x x ，求极限lim n n x 。 证（1）令 3 ( )31F xxx，则0,1FC，且( )F x严格单调增加。 (2 分) (0) (1)30FF 存在唯一的(0,1)a，使得( )0F a ，即 3 31aa 。 (5 分) （2）设01 n x，则 3 1 1 (0,1) 3 n n x x ，故(0,1) n x ()n N。 (7 分) 记 3 1 ( ) 3 x g x ，则( ( )g g x严格单调增加， 由于 22 ( ()( () nnnn xxg g xg g x 与 2 () nn xx 同号， 故 212 , kk xx 分别单调，所以极限都存在。 (10 分) 设 2 lim n n xA ， 21 lim n n xB ，则 3 31AB ，且 3 31BA ， 从而得到 33 33ABAB，所以AB，lim n n xA 。 由（1）以及 3 31AA 得到Aa，即lim. n n xa (12 分) 解答 第 8 页 18. 已知函数( )f x在闭区间 , a b上连续且存在反函数，证明： （1）( )f x仅在区间 , a b的端点处取到最值； （2）若函数( )f x在( , )a b内可导，且( )min( ) a x b f af x ，则( )0fx 。 证明 (1) 若( )f a既非最大值又非最小值，则存在 12 ,( , x xa b，使得 12 ()( )()f xf af x。 （2 分） 不妨设 12 xx，则 12 ,fC x x，故 312 (,)xx x，使得 3 ()( )f xf a， 这与( )f x存在反函数矛盾，所以( )f a是( )f x的最值。 同理可证，( )f b也是( )f x的最值。 （4 分） 由于( )f x是单射函数，故( ), ( )f af b是最大、最小值 (或最小、最大值)，且 ( , )a b内没有最值点。 (2) 对于任意的 22 :xaxb，有 2 ()( )f xf a。 因为( )f x在 2 ,a x上连续且存在反函数，由（1）得到 2 2 ()max( ) a x x f xf x ， 且对于任意的 112 :xaxx成立 12 ( )()f xf x， 所以( )f x在区间 , a b上严格单调增加， （6 分） 从而 0, ( , )x xa b，当 0 xx时， 0 0 ( )() 0 f xf x xx 。 由极限保序性， 0 0 0 0 ( )() ()lim0 xx f xf x fx xx 。 （8 分） 医科 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 数列极限 sin lim sin n nn nn （ D ） （A）不存在； （B）等于1； （C）等于0； （D）等于1。 2. 设(0)0f，(0)1f ， 则 1 0 lim12 ( )x x f x （ B ） （A） 2 e； （B） 2 e； （C）1； （D） 1 2 e。 3. 设 (1)(2)() ( ) (1)(2)() xxxn f x xxxn ， 则(1)f （ A ） 解答 第 9 页 （A） 1 ( 1) (1) n n n ； （B） 1 ( 1) 1 n n ； （C） 1 (1)n n ； （D） 1 1n 。 4. 设( )ln(32)f xx， 则 ( )n fx （ C ） （A） 1 ( 1)! (32) n n n x ； （B） 1 3 ( 1)! (32) nn n n x ； （C） 1 3 ( 1)(1)! (32) nn n n x ； （D） 1 3( 1) (1)! (32) nn n n x 。 5. 设 2 0 1( )1 lim 3 x f x x ， 则 3 0 sin( ) lim x xxf x x （ B ） （A） 1 3 ； （B） 1 6 ； （C） 1 3 ； （D） 1 6 。 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 6. 设( )f x是可微函数，且 1 1 x f xx ，则 1 f x 2 2 (1) x x 。 7. 2 lim1 sin 21 x x x x 2 32 。 8. 设tan() x yx，则dy 2 (1 ln )sec ()d xx xxxx。 9. 设 3 3 cos sin xat yat ，则 d d y x tant。 10. 设 32 e x yx，则 d d x y 22 1 32e x x 。 三、计算极限（每小题 8 分，共 24 分） 11. 求极限 2 2 0 e sin lim ln(1 2) x x xxx xx 。 解 22 23 00 e sine (sin)e limlim ln(1 2)2 xxx xx xxxxxxxx xxx 2 00 1e11e1 limlim 122124 xx xx x xx 111 1243 。 12. 求极限 sin 3 0 (cos )1 lim x x x x 。 解 sinsin lncos 333 000 (cos )1e1sin lncos limlimlim xxx xxx xxx xxx 解答 第 10 页 22 00 ln(cos1 1)cos11 limlim 2 xx xx xx 。 13. 求极限 1 lntan 2 lim ln(1) x x x 。 解 2 100 lntanlncot 22 limlimlimcsc ln(1)ln22 cot 2 xxx xt t t xt t 1 。 四、求导数（每小题 8 分，共 16 分） 14. 设 3 322 2 cos (31)1 x x y xx , 求 y 。 解 2 1 ln|ln23ln|cos | 2ln(31)ln(1) 3 yxxxx， 3 2 322 2 cos62 ln23tan 313(1) (31)1 x xx yx xx xx 。 15. 已知函数( )yf x是由方程ecos(1)ln(e)0 y xxyx 所确定的可导函数， 求(0)f。 解 (0) e(0) 10 y y 。 由于e x x 严格单调减少， 所以 (0) e(0) 10(0)0 y yy 。 1 cossin(1) 0 e yy y exexyxy x ， 1 (0)(0)0 e yy， 1 (0) 2e y 。 五、综合题（本题 10 分） 16. 设 1 11 ,0 ( ),0 (1) ,0 x x x x f xax bxx 在0 x 处连续，求 （1）常数a和b的值； （2）( )fx。 解（1） 0 0 111 (0)lim( )lim 2 x x x aff x x ， 1 0 0 1 (0)lim( )lim (1)e