2017年高联A卷-试题

2017 全国高中数学联合竞赛（A 卷） 一试部分 考试时间：80 分钟 满分：120 分 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分 1. 设 f x是定义在上的函数，对任意实数 x，有341f xf x 又当07x时， 2 log9f xx，则100f 的值为_ 2. 若实数 x、y 满足 2 2cos1xy，则cosxy的取值范围是_ 3. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的方程为 22 1 910 xy ，F 为 C 的上焦点，A 为 C 的右顶点，P 是 C 上位于第一象限内的动点，则四边形 OAPF 的面积的最大值为_ 4. 若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过 1，则称其为“平稳数” 平稳数的个数是_ 5. 正三棱锥 P-ABC 中，1AB ，2AP ，过 AB 的平面将其体积平分，则棱 PC 与平面所成角的余 弦值为_ 6. 在平面直角坐标系 xOy 中，点集,| ,1,0,1Kx yx y ，在 K 中随机取出三个点，则这三点中存在 两点之间距离为5的概率为_ 7. 在ABC 中， M 是边 BC 的中点， N 是线段 BM 的中点， 若 3 A ， ABC 的面积为3， 则AM AN 的最小值为_ 8. 设两个严格递增的正整数数列 n a， n b满足： 1010 2017ab， 对任意正整数 n， 有 21nnn aaa ， 1 2 nn bb ，则 11 ab的所有可能值为_ 林东数学 二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9. （本题满分 16 分）设 k、m 为实数，不等式 2 1xkxm对所有,xa b成立证明：2 2ba 10. （本题满分 20 分）设 123 ,x x x是非负实数，满足 123 1xxx，求 32 1231 35 35 xx xxxx 的最 小值和最大值 11. （本题满分 20 分）设复数 12 ,z z满足 1 Re0z， 2 Re0z， 22 12 ReRe2zz（其中 Re z表示 复数 z 的实部） （1）求 1 2 Re z z的最小值； （2）求 1212 22zzzz的最小值 加试部分 考试时间：150 分钟 满分：180 分 一、 （本题满分 40 分） 如图，在ABC 中，ABAC，I 为ABC 的内心以 A 为圆心，AB 为半径作圆 1 ，以 I 为圆心， IB 为半径作圆 2 过 B、I 的圆 3 与 12 , 分别交于点 P、Q（不同于点 B） 设 IP 与 BQ 交于点 R 证明：BRCR R Q I C B A P 林东数学 二、 （本题满分 40 分） 设数列 n a定义为 1 1a ， 1 , , nn n nn anan a anan 若 若 （1,2,n ） 求满足 2017 3 r ar的正整数 r 的个 数 三、 （本题满分 50 分） 在33 33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等，若相邻两个小方 格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边” 试求分隔边条数的最小值 四、 （本题满分 50 分） 设 m、n 均是大于 1 的整数，mn 12 , n a aa是 n 个不超过 m 的互不相同的正整数，且 12 , n a aa