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2017 全国高中数学联合竞赛(A 卷) 一试部分 考试时间:80 分钟 满分:120 分 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分 1. 设 f x是定义在上的函数,对任意实数 x,有341f xf x 又当07x时, 2 log9f xx,则100f 的值为_ 2. 若实数 x、y 满足 2 2cos1xy,则cosxy的取值范围是_ 3. 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的方程为 22 1 910 xy ,F 为 C 的上焦点,A 为 C 的右顶点,P 是 C 上位于第一象限内的动点,则四边形 OAPF 的面积的最大值为_ 4. 若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过 1,则称其为“平稳数” 平稳数的个数是_ 5. 正三棱锥 P-ABC 中,1AB ,2AP ,过 AB 的平面将其体积平分,则棱 PC 与平面所成角的余 弦值为_ 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,点集,| ,1,0,1Kx yx y ,在 K 中随机取出三个点,则这三点中存在 两点之间距离为5的概率为_ 7. 在ABC 中, M 是边 BC 的中点, N 是线段 BM 的中点, 若 3 A , ABC 的面积为3, 则AM AN 的最小值为_ 8. 设两个严格递增的正整数数列 n a, n b满足: 1010 2017ab, 对任意正整数 n, 有 21nnn aaa , 1 2 nn bb ,则 11 ab的所有可能值为_ 林东数学 二、解答题:本大题共 3 小题,满分 56 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9. (本题满分 16 分)设 k、m 为实数,不等式 2 1xkxm对所有,xa b成立证明:2 2ba 10. (本题满分 20 分)设 123 ,x x x是非负实数,满足 123 1xxx,求 32 1231 35 35 xx xxxx 的最 小值和最大值 11. (本题满分 20 分)设复数 12 ,z z满足 1 Re0z, 2 Re0z, 22 12 ReRe2zz(其中 Re z表示 复数 z 的实部) (1)求 1 2 Re z z的最小值; (2)求 1212 22zzzz的最小值 加试部分 考试时间:150 分钟 满分:180 分 一、 (本题满分 40 分) 如图,在ABC 中,ABAC,I 为ABC 的内心以 A 为圆心,AB 为半径作圆 1 ,以 I 为圆心, IB 为半径作圆 2 过 B、I 的圆 3 与 12 , 分别交于点 P、Q(不同于点 B) 设 IP 与 BQ 交于点 R 证明:BRCR R Q I C B A P 林东数学 二、 (本题满分 40 分) 设数列 n a定义为 1 1a , 1 , , nn n nn anan a anan 若 若 (1,2,n ) 求满足 2017 3 r ar的正整数 r 的个 数 三、 (本题满分 50 分) 在33 33方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等,若相邻两个小方 格的颜色不同,则称它们的公共边为“分隔边” 试求分隔边条数的最小值 四、 (本题满分 50 分) 设 m、n 均是大于 1 的整数,mn 12 , n a aa是 n 个不超过 m 的互不相同的正整数,且 12 , n a aa
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