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文档简介

在介绍本节内容之前,我们先介绍几个常用的数学符号.设A，B是满足某种性质元素的两个集合,如果a是A中的元素，记作aA；如果a不是A中的元素，记作aA；如果A是B的子集,即任取aA，都有aB，记作AB；如果A是B的真子集，即AB，存在bB，但bA，记作AB.,1.5数域,在数学中，许多问题的讨论都与数的范围有关.例如一元二次方程x2+1=0的求解问题,它在有理数范围或实数范围内都没有解,只在复数范围内才有解x=i.为了对于不同的数的范围统一地讨论这些问题,常常需要用到数域的概念.,定义1.5.1设P是由一些数组成的集合,包含0和1.如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不等于零）仍在P中,那么我们称P是一个数域.,例如,全体有理数组成的集合Q,全体实数组成的集合R,全体复数组成的集合C,都是数域,分别称为有理数域、实数域和复数域,它们之间的关系是:QRC.显然全体整数组成的集合就不是数域.,例1.5.1证明:所有形如,(a,b是有理数)的实数组成的集合P是一个数域.,证在集合P中任取二数:,则有,由于,所以a2,b2不全为0,注意到,于是,显然这仍是P中的一个数.所以P是一个数域.,由这个例子看出,数域有穷多个.下面的定理指出，有理数域是所有的数域中最小的一个.,定理1.5.1设P为任何一个数域，则QP.,证因P是一个数域，所以它含有1.由于P满足加法运算，则1+1=2,2+1=3,(n-1)+1=n全在P中，即P包含全体自然数.又0在P中，P满足减法运算，0-n=-n也在P中，因此P包含了全体整数.因为任何一个有理数都可以表成两个整数之商，再由P满足除法运算，即知题设结论成立.证毕.,本
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