2020年九年级中考数学大点兵压轴解答题

中考数学大点兵解答题1.设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足rdR的点叫做等边三角形的中心关联点在平面直角坐标系xOy中，等边ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（，1），C（，1）（1）如图1过点A作直线交x轴正半轴于点M，使AMO30若线段AM上存在等边ABC的中心关联点P（m，n），求m的取值范围； （2）如图1，将直线AM向下平移得到直线ykxb，当b满足什么条件时，直线ykxb上总存在等边ABC的中心关联点？ （3）如图2，Q为直线y1上一动点，Q的半径为，当点Q从点（4，1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒，是否存在某一时刻t，使得Q上所有点都是等边ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；如果不存在，请说明理由【答案】 解 （1）由AMO30可得AM2OA4，OMOA2 如图3过点O作OHAM于点H 易求OHOM， 即AM与外接圆相交，与内切圆相离，记AM与外 接圆的另一个交点为G 连结OG，则OAG为等边三角形， 所以ACOGAM， 即G为AM的中点， 所以点G的坐标为（，1） 显然AG上的点都是ABC的中心关联点， 所以0M（2）直线AM向下平移的过程中，只要与ABC的外接圆和内切圆组成的圆环有交点，则直线 ykxb上就存在等边ABC的中心关联点 如图4，直线IJAM，且与ABC的外接圆相切 于点K，此时为直线ykxb的临界状态 连鲒OK，则OK2 所以OJ， 所以b2 （3）存在符合题意的t的值为4或4 如图5，当点Q移动到Q1Q2住置时即Q内切 圆环时，Q上所有点都是等边ABC的中心关联点 连结OQ1，OQ2， 则OQ1OQ2 令直线y1与y轴的交点为L，则OL1 所以Q1LQ2， 所以，2.如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在B的左侧），与y轴交于点C，CDx轴交抛物线于点D P是抛物线上一点，问：是否存在点P， 使以P，A，B为顶点的三角形与ABD相似（PAB与ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】解：存在因为点A（2，0），B（4，0），C（0，），过点D（2，）作DEAB于点E，由勾股定理得 如图，当ABD时， 所以 过点作AB于点，所以， 解得，点的坐标为（8，），因为此时点不在抛物线上，所以此种情况不存在当BDA时，所以过点作AB于点，所以，解得因为，所以，所以点的坐标为（4，），将x4代入抛物线的表达式得，所以点在抛物线上由抛物线的对称性可知：点与点关于直线x1对称，所以的坐标为（6，）当点位于点C处时，两个三角形全等，所以点的坐标为（0，）综上所得，点P的坐标为（4，），（6，）或（0，）时，以P，A，B为顶点的三角形与ABD相似3. 已知：在RTACB和RTAEF中，ACBAEF900，若P是BF的中点，连结PC、PE（1） 如图1，若点E、F分别落在边AB、AC上，请直接写出此时PC与PE的数量关系（2） 如图2，把图1中的AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（3）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由【答案】解（1）易得PCPEBF，即PC与PE相等（2）结论成立理由如下：如图4，延长CP交EF的延长线于点D，则BCFD，易证BPCFPD，所以PCPD，而CED900，所以PECDPC（3） 结论仍成立，理由如下：如图5，过点F作FDBC，交CP的延长线于点D，易得PDPC，FDBC所以而AFEPBCPFD，所以EAC18002AFEEFD，如图，连结CE，ED，则EACEFD，所以AECFED，CEDAEF900，所以PECDPC4.在平面直角坐标系xoy中，抛物线yax22ax3a（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）若在抛物线上存在一点N，使得ANB90，结合图像，求a的取值范围【答案】抛物线yax22ax3aa（x3）（x1）a（x1）24a，所以点A（3，0），点B（1，0），从而AB4，抛物线对称轴为x1以AB为直径作圆如图，当点N为圆与对称轴的交点时，则点N的坐标为（1，2）将其代入抛物线表达式，得a如图，当点N在抛物线上（不与顶点重合）时，4a2，则a综上可得，满足题意的a的取值范围为a5.已知抛物线yax2bxc的顶点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，），R（1，1）是抛物线对称轴l上的一点（1）若P是抛物线上的一个动点（如图1），求证：点P到点R的距离与点P到直线y1的距离恒相等；（2）设直线PR与抛物线的另一交点为Q，E为线段PQ的中点，过点P，E，Q分别作直线y1的垂线，垂足分别为M，F，N（如图2）求证：PFQF【答案】（1）题意可得抛物线表达式为设点P的坐标为（x，），则PM由两点间距离公式得PR2（x1）2（2）因为QNQR，PRPM，所以PQPRQRPMQN根据题意可得EF为梯形PMNQ的中位线，即EF（QVPM）PQ所以EFEQEP，即点F在以PQ为直径的圆上，所以PFQF6.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与l2相交于点PE为直线l2上一点，反比例函数（k0）的图象过点E且与直线l1相交干点F （1）若点E与点P重合，求k的值； （2）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M，E，F为顶点的三角形与PEF全等？若存在，求点E的坐标：若不存在，请说明理由 【答案】（1）k2（2）存在点E的坐标为（，2）或（，2）【提示】（2）易得点E（，2），F（1，k）如图1，当k2时，只能有MEFPEF过点F作FHy轴于点H，易证BMEHFM，用k表示相关线段的长度，从而得到BM，再解RtBME，得k，所以点E的坐标为（，2）；如图2，当k2时，只能有MEFPFE 过点F作FQy轴于点Q，同可得点E的坐标为（，2）7.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的中心与原点重合，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3）现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒（1）菱形ABCD的边长是_，面积是_，高BE的长是_;（2）若点P的速度为每秒1个单位点Q的速度为每秒k个单位在运动过程中，任何时刻都有对应的k值，使得APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形请探究当t4秒时的情形，并求出k的值【答案】（1）5，24，48（2）要使APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，翻折前后两个图形是全等的，所以要满足四边形是菱形只需APQ为等腰三角形即可当t4时，AP4如图，当点Q在线段BC上时，PQBEAP，同理，AQAP，所以只存在QAQP的等腰三角形过点Q作QHAP于点H，交AC于点F，则AHPHAP2易证：AFHCFQADO，所以可得从而k当Q在BA上时，有两种情况的等腰三角形存在：（i）如图1，当APAQ时，此时点P，Q关于x轴对称，BQPD1所以，k（）如图3，当PAPQ时，过点P作PHAB于点H易证AHPAEB，所以，其中AE所以AH，AQ2AH，所以k（）由可得，AP的垂直平分线与BC相交，所以点Q在线段AB上时，不存在AQPQ这种情况综上所得，满足条件的k值为，8.边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，D是OA边的中点，连结CD，点E在第一象限，且DEDC，DEDC，以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点（1）求抛物线的表达式；（2）M为直线上一动点，N为抛物线上一动点，问：是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平形四边形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）如图1，过点E作EGx轴于点G 易证ODCGED（AAS），所以 所以点E的坐标为（3，1） 而直线AB为抛物线的对称轴，直线AB的表达式为x2， 所以可设抛物线的表达式为ya（x2）2k， 将C，E两点的坐标代入表达式，得解得所以抛物线的表达式为（2）存在由题意可设点M的坐标为（2，m），N的坐标为以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形有以下可能：当DE为平行四边形的边时，（i）如图2，若DEMN，MDNE，由平移的性质可得解得此时点M的坐标为（2，1），N的坐标为（4，2）（ii）如图3，若DEMN，MEND由平移的性质可得解得此时点M的坐标为（2，3），N的坐标为（0，2）当DE为平行四边形的对角线时，如图4由平行四边形对角线互相平分性质可得解得此时点M的坐标为，N的坐标为9.如图，一次函数y2x10的图象与反比例函数y（k0）的图象相交于A、B两点（点A在点B的右侧），分别交x轴y轴于点E，F若点A的坐标为（4，2）问：反比例函数图象的另一支上是否存在一点P使PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由，【答案】将点A（4，2）代入反比例函数表达式，得k8， 所以反比例函数为y， 联立方程纽组 ， 解得， 所以点B的坐标为（1，8） 由题意可得点EF的坐标分剐为（5，0），（0，10）， 以AB为直角迎的直角三角形有两种情况： 如图1，当PAB90时， 连结OA，则OA 而AE，OE5，所以OA2AE2OE2， 即OAAB所以A，O，P三点共线 由O、A两点的坐标可得直线AP的表达式为yx 联立方程组 解得，所以点P的坐标为（4，2）如图2，当PBA90时，记BP与y轴的交点为G易证FBCFOE，所以，而FO10FE，FB可求得FG，所以点G的坐标为（0，）由B，G两点的坐标可得直线BP的表达式为yx，联立方程组 解得 所以点P的坐标为（16，）；综上可得，满足条件的点P坐标为（4，2）或（16，） 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA1，OC2，点D在边OC上且OD（1）求直线AC的解析式；（2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）设直线AC的解析式ykxb，又OA1，OC2，A（0，1），C（2，0）代入函数解析式求得：k，b1直线AC的函数解析式：y（2）若DC为底边，M的横坐标为，则点M的坐标为（，）直线DM解析式为：yP（0，）；若DM为底，则CDCM，AMAN，N（，1），可求得直线DM的解析式为y（2）x（），P（0，（）若CM为底，则CDDM点M的坐标为（，）直线DM的解析式为yx，点P的坐标为（0，）综上所述，符合条件的点P的坐标为（0，），（0，（），（0，）11.某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明 （1）如图1，在矩形ABCD中，EFCH，EF分别交AB，CD于点F，F，GH分别交AD，BC于点GH求证： （2）如图2，在满足（1）的条件下，又AMBN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则 （3）如图3，在四边形ABCD中，ABC90，ABAD10，BC CD5，AMDN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值 【答案】（1）如图4过点A作APEF交CD于点P，过点B作BQGH，交AD于点Q 因为四边形ABCD是矩形 所以ABDC，ADBC 所以四边形AEFP，四边形BHGQ都是平行四边形， 所以APEF，GHBQ 又因为CHEF 所以APBQ 所以QATAQT90 因为四边形ABCD是矩形， 所以DABD90， 所以DAPDPA90， 所以AQTDPA 所以PDAQAB 所以，所以 （2）因为EFGH，AMBN 所以由（1）中的结论可得， 所以 （3）如图5过点D作平行于AB的直线，交过点A且平行于BC的直线于点P，交BC的延长线于点S 则四边形ABSR是平行四边形 因为ABC90， 所以四边形ABSR是矩形 所以RS90，RSAB10，ARBS 因为AMDN 所以由（1）中的结论可得 设SCx，DSy，则ARBS5xRD10y ， 所以在RtCSD中，x2y225 在RtARD中（5x）2（10y）2100 联立方程组， 得（舍），或 所以AR5x8，所以12.已知：EDF的顶点D在ABC的边AB所在直线上（不与点A，B重合）DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N记ADM的面积为S1，BND的面积为S2（1）如图1，当ABC是等边三角形，EDFA时，若AB6，AD4，求S1S2的值；（2）当ABC是等腰三角形时，设BAEDF如图2，当点D在线段AB上运动时，设ADa，BDb，求S1S2的表达式（结果用a，b和a的三角函数表示）如图3，当点D在BA的延长线上运动时，设ADa，BDb，直接写出S1S2的表达式图1 图2 图3【答案】（1）如图4，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H则S1S2MGADNHBDADAMsinABDBNsinB由题意可知AB60，所以sinAsinB由“一线三等角模型”可知AMDBDN，从而AMBNADBD8，S1S212（2）如图5，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H则S1S2MGADNHBDADAMsinABDBNsinB由“一线三等角模型”可得AMDBDN，所以，从而AMBNADBDab，所以S1S2absina；如图6，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H则S1S2MGADNHBDADAMsinABDBNsinB由“一线三等角模型”可得AMDBDN，所以，从而AMBNADBDab，所以S1S2absina；13.如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点F求证：PAPE；如图2，将中的正方形变为矩形，其余不变，且AD10，CD8，求AP：PE的值；如图3，在的条件下，当P滑动到BD的延长线上时，AP：PE的值是否发生变化？图1【答案】如图4，过点P分别作PMAB，PNBC，垂足分别为M，N则PMPN，MPN90，由已知条件可得APE90，所以APMEPN，所以APMEPN故APPEM如图5，过点P分别作PMAB，PNBC，垂足分别为M，N则PMAD，PNCD所以BPMBDA，BNPBCD可得，所以易证APMEPN，所以MAP：PF的值不变如图，理由同14.如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF45.（1） 试判断BE、EF、FD之间的数量关系.（2） 如图2，在四边形ABCD中，BAD90，ABADBD180，点E、F分别在BC、CD上，则当EAF 与BAD 满足关系时，仍有EFBEFD. （3）如图3在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知ABAD 80m，B60，ADC120，BAD150，道路BC，CD上分别有景点 E，F，且AEADDF40（1）m现要在E、F之间修一条笔直的道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：1.41，1.73）【答案】（1）由“正方形内含半角模型”可得EFBEFD（2）BAD2EAF，理由如下：如图4，延长CD至点G，使得DGBE连结AG.易证ABEADG（SAS）.所以AEAG， 即EFBEDFDGDFGF. 从而证得AEFAGF（ SSS）所以EAFGAFEAGBAD. （3）如图5，将ABE绕点A逆时针旋转1 50至ADG连结AF由题意可得BAE60所以ABE 和ADG均为等腰直角三角形.过点A作 AHDG于点H则DHAD40m，AH AD40 m.而DF40（1）m.所以EAFGAF45.可得EAFGAF（SAS） 所以EF GF80m+40（l）m109. 2m.15.如图1，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DEBC，将ADE绕A点顺时旋转一定角度，连结BD，CE，得到图2，然后将BD，CE分别延长至M、N，使DMBD，ENCE，连结AM，AN，MN，得到图3（1）若ABAC，请探究下列数量关系;在图2中，BD与CE的数量关系是 ；在图3中，猜想AM与AN的数量关系，MAN与BAC的数量关系，丙证明你的猜想：（2）若AB AC（K1），按上述操作方法，得到图4，请继续探究：AM与AN的数量关系；MAN与BAC的数量关系 【答案】（1）BDCE AMAN，MANBAC 证明如下： 由“等腰三角形共顶点”可得CAEBAD（SAS） 所以CEBD，ACNABM 所以BMCN 从而ABMACN（SAS） 所以AMAN，BAMCAN 即MANBAC （2）AMk AN，MANBAC 证明如下： 由“相似三角形共顶点”可得CAEBAD， 所以，ACNABM 所以 从而ABMACN 所以AMk AN，BAMCAN 即MANBAC16.如图1，在等边ABC中，AC7，点P在ABC内，且APC90，BPC120，求APC的面积；（2）如图2，在四边形ABCD中，AEBC，垂足为点E，BAEADC，BECE2，CD5，ADkAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）【答案】（1）APC的面积为7；（2）BD【提示】（1）如图，将ABP绕点B顺时针旋转60至CBQ，连结PQ易证PQC为含30的直角三角形令BPm，则PQm，从而APCQm，PC2m，然后解RtAPC即可 （2）如图，连结AC，显然ACAB，将ABD绕点A逆时针旋转BAC的度数至ACQ，连接DQ，则ABCADQ，从而DQkBC4k作AFDQ于点F，则DAFBAEADC，所以AFCD，即CDQ90在RtCDQ中，由勾股定理可得BDCQ 17.在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为点E，连接BE、DE，其中DE交直线AP于点F（1） 如图1，若PAB20，求ADF的度数；（2） 如图2，若45PAB90，用等式表示AE、FE、FD之间的数量关系，并证明； 【答案】（1）如图3，连接AE，则PAEPAB20，AEAB 四边形ABCD为正方形 BAD90，ABAD EDA130 ADF25（2）如图4，连接AE，BF，BD，由轴对称知EFBF，AEABAD ABFAEFADF， BFDBAD90 BF2FD2BD2 EF2FD22AB22 18.已知：如图，ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且EDEC，将BCE绕点C顺时针旋转60至ACF，连结EF（1）求证：ABDBAF；（2）若点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间有怎样的数量关系?请说三明理由；（3）若点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间有怎样的数量关系？请说明理由 【答案】（1）如图1，过点E作EGAC交BC干表G，则EBG为等边三角形易证EBDEGC，所以DBCGAE由旋转的性质可得AFBE，所以ABBEAEAFDB （2）ABDBAF理由如下：如图2，过点E作EGAC，交CD于点G，则EBG为等边三角形易证EGDEBC，所以DGBCAB由旋转的性质可得AFBEBG所以ABDGDBAF（3）ABAFDB理由如下：