24 内积空间中的正交性

2.4 内积空间中的正交性Inner Product Spaces and Orthogonality在三维空间中，如右图1所示任取一平面，空间中的每一个矢量必能分解成两个直交的向量和，其中一个向量在平面上，另一个向量与平面垂直，即，这种向量的分解形式，在一般的内积空间是否成立？ 图2.4.1 三维空间向量的分解，向量，其中2.4.1 正交分解定义2.4.1 正交设是内积空间，如果，则称与正交或垂直，记为如果的子集中的每一个向量都与子集中的每一个向量正交，则称与正交，记为特别记，即向量与中的每一个向量垂直定理2.4.1 勾股定理 设是内积空间，若，则证明 注1: 在内积空间中，是否存在 ？显然由，可知在实内积空间中成立定义2.4.2 正交补Orthogonal complement设是内积空间，记，则称为子集的正交补显然有，以及性质2.4.1 设是内积空间，则是的闭线性子空间证明 (1) 是的线性子空间，有，于是，因此是的线性子空间(2) 是的闭子空间设，且依范数，于是，有因此，即是的闭子空间注2: 由于完备度量空间中的子空间完备的充要条件是子空间闭，因此在Hilbert空间中(完备的内积空间)，任意子集的正交补是完备的子空间，即Hilbert空间的正交补也是Hilbert空间定义2.4.3 正交分解设是内积空间的子空间，如果存在，使得，则称为在上的正交投影或正交分解引理2.4.1 设是内积空间，是的线性子空间，若存在，使得，那么证明 令，若不垂直于，则存在，使得，显然因为，有特别取，则可得，即知又由于，所以产生矛盾，故定理2.4.1 投影定理 设是Hilbert空间的闭线性子空间，则中的元素在中存在唯一的正交投影，即，其中(或表示为)证明 (1) 寻找进行分解，设，则存在，使得 ，首先证是中的基本列，因为有因为及是子空间，知，所以，于是故是中的基本列，又因是闭子空间，即为完备空间，所以是中的收敛列不妨设，则有令，因此有，其中，且根据前面引理知(2) 分解的唯一性假设还存在，使得，那么有，于是只需的分解具有唯一性若，则可见及，即的分解具有唯一性例2.4.1 证明在内积空间上，的充要条件是有证明 必要性 若，则有，有，于是由勾股定理得：充分性若有，且时，特别取，于是，故，即2.4.2 标准正交系在三维空间中，任何一向量可写成，其中，显然当时，而可见，那么在有限维内积空间中是否具有同样的结论呢？定义2.4.4 标准正交系设是内积空间，是中的点列，若满足则称为中的标准正交系例2.4.2 在维内积空间中，向量组，是的一个标准正交系例2.4.3 在中，向量()，则是的一个标准正交系例2.4.4 在中，对于，定义内积为则下列三组向量均是的标准正交系， ；注3: 如果线性空间上中的点列的任意有限个元素线性独立，则称为线性独立系可验证标准正交系是线性独立系设是标准正交系的一个有限子集，如果存在使得，那么对于任意的().反过来，任何一个线性独立系经过正交化后为标准正交系定理2.4.2 设为内积空间的标准正交系，记，那么，是在上的正交投影即，证明 显然，由于存在，使得于是注4: 上述定理中的为维闭子空间，作为内积空间与同构，也是完备的子空间，根据投影定理，在上的正交投影唯一存在定理2.4.3 设为内积空间中任意的一组线性独立系，则可将用格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)方法化为标准正交系，且对任何自然数，有，同时证明 令，则有记，根据上述定理可将在上做正交分解，即，得