高考数学 2014全套汇编：第3章 导数及其应用

【数学数学】2014】2014 版版66 年高考年高考 4 4 年模拟年模拟 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 第一部分第一部分 六年高考荟萃六年高考荟萃 20132013 年高考题年高考题 一、选择题 1. （2013 年高考湖北卷（理）已知为常数,函数有两个极值点 a ( )lnf xxxax ,则（ ） 1212 ,()x xxx AB 12 1 ()0,() 2 f xf x 12 1 ()0,() 2 f xf x CD 12 1 ()0,() 2 f xf x 12 1 ()0,() 2 f xf x 答案：D 本题考查导数的应用，如何利用导数判断极值。函数有两个极值点( )(ln)f xxxax ，则有两个零点,即方程有两个根,有数 12 ,x x 12 ()xx12ln)( axxxf12ln axx 形结合易知且.因为在上递增，所以 2 1 0 a 21 10 xx),( 21 xx)(xf ，即，所以.故选 D.)() 1 ()( 21 xffxf)()( 21 xfaxf 12 1 ()0,() 2 f xf x 2. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯 WORD 版含答案）已知 函数 32 ( )f xxaxbxc,下列结论中错误的是（ ） A 0 xR, 0 ()0f xB函数( )yf x的图像是中心对称图形 C若 0 x是( )f x的极小值点,则( )f x在区间 0 (,)x上单调递减 D若 0 x是( )f x的极值点,则 0 ()0fx 答案：C 若则有，所以 A 正确。由得0c (0)0f 32 ( )f xxaxbxc ，因为函数的对称中心为（0,0），所以 32 ( )f xcxaxbx 32 yxaxbx 的对称中心为,所以 B 正确。由三次函数的图象可知，若 32 ( )f xxaxbxc(0, )c 是 f(x)的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间（-, ）单调递减是 0 x 0 x 0 x 错误的，D 正确。选 C. 3. （2013 年高考江西卷（理）若则的 222 2 123 111 1 , x Sx dx Sdx Se dx x 123 S S S 大小关系为（ ） AB 123 SSS 213 SSS CD 231 SSS 321 SSS 答案：B， 本题考查微积分基本定理。 ,， 2 232 11 1 17 33 Sx dxx 2 2 21 1 1 lnln21Sdxx x 。所以，选 B. 2 22 31 1 7 (1) 3 xx Se dxeeee e 213 SSS 4. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版）设函数 （ ） 2 2 2,2,0, 8 x ee f xx fxxf xfxf x x 满足则时， A有极大值,无极小值B有极小值,无极大值 C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值 答案：D 由已知，。在已知中令，并将 2 ( ) x e x f x x (1) 2 ( )2( ) x e x fxxf x x 2x 代入，得；因为，两边乘以后令 2 (2) 8 e f(2)0 f 2 ( )2( ) x e x fxxf x x x 。求导并将（1）式代入， 32 ( )( )2( )(2) x g xx fxex f x ，显然时，减；时， 2 ( )2 x xx ex g xee xx (0,2)x( )0g x( )g x(2,)x ，增；并且由（2）式知，所以为的最小值，即( )0g x( )g x(2)0g(2)0g( )g x ，所以，在时得（仅在 x=2 时，f（x）的导数为零）( )0g x 3 ( )0 x fx0 x ( )0fx ，所以为增函数，故没有极大值也没有极小值。( )f x 5. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版）设函数 的定义域为 R,是的极大值点,以下结论一定正确的是（ ）( )f x 00 (0)x x ( )f x AB是的极小值点 0 ,( )()xR f xf x 0 x()fx C是的极小值点D是的极小值点 0 x( )f x 0 x()fx 答案：D A，错误是的极大值点，并不是最大值点 0 ,( )()xR f xf x 00 (0)x x ( )f x B是的极小值点错误相当于关于 y 轴的对称图像，故应 0 x()fx()fx( )f x 0 x 是的极大值点()fx C是的极小值点错误相当于关于 x 轴的对称图像，故应 0 x( )f x( )f x( )f x 0 x 是的极小值点跟没有关系( )f x 0 x D是的极小值点正确相当于先关于 y 轴的对象，再关于 0 x()fx()fx( )f x x 轴的对称图像故 D 正确 6. （2013 年高考湖北卷（理）一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车, 以速度( 的单位:, 的单位:)行驶至停止.在此期间汽车 25 73 1 v tt t ts v/m s 继续行驶的距离(单位;)是（ ）m ABCD125ln5 11 825ln 3 425ln5450ln2 答案：C 本题考查微积分的基本应用。由 v(t)=7-3t+=0，解得，所以所求的路程为 t1 25 4t ，选 C. 4 24 0 0 253 (73)(725ln(1)425ln5 12 tdtttt t 7. （2013 年高考北京卷（理）直线l过抛物线C: x2=4y 的焦点且与y轴垂直,则l与 C所围成的图形的面积等于（ ） AB2CD 4 3 8 3 16 2 3 答案：C 抛物线 x2=4y 的焦点坐标为（0，1） ， 因为直线 l 过抛物线 C：x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直， 所以直线 l 的方程为 y=1， 由 ，可得交点的横坐标分别为2，2 所以直线 l 与抛物线围成的封闭图形面积为 =（ x） |= 故选 C 8. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版）已知为自然e 对数的底数,设函数,则（ ）)2 , 1() 1)(1()(kxexf kx A当时,在处取得极小值B当时,在1k)(xf1x1k)(xf 处取得极大值 1x C当时,在处取得极小值D当时,在2k)(xf1x2k)(xf 处取得极大值 1x 答案：C ：当 k=2 时，函数 f（x）=（ex1） （x1）2 求导函数可得 f（x）=ex（x1）2+2（ex1） （x1）=（x1） （xex+ex2） ，所以当 x=1，f（x） =0，且当 x1 时，f（x）0，当 x1 时，f（x）0，故函数 f（x）在（1，+） 上是增函数； 在（ ，1）上是减函数，从而函数 f（x）在 x=1 取得极小值对照选项 故选 C 二、填空题 9. （2013 年高考江西卷（理）设函数在内可导,且,则( )f x(0,)() xx f exe _(1) x f 答案：2 本题考查导数的基本运算如求值。令，则，所以函数为， x telnxt( )lnf ttt 即，所以，即。( )lnf xxx 1 ( )1fx x 1 (1)12 1 f 10. （2013 年高考湖南卷（理）若_. 2 0 9, T x dxT 则常数的值为 答案：3 本题考查积分的基本运算。,即，解得. 233 0 0 11 9 33 T T x dxxT 3 27T 3T 11.（2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版）若曲线 在点处的切线平行于轴,则_. lnykxx 1,k xk 答案： 1 ；求导得,依题意,所以. 1 1 yk x 10k 1k 12.（2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版）当 时,有如下表达式:,1xR x 2 1 1. 1 n xxx x 两边同时积分得: 11111 2 22222 00000 1 1. 1 n dxxdxx dxx dxdx x 从而得到如下等式: 231 1111111 1( )( ).( ).ln2. 2223212 n n 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算: 012 231 1111111 ( )( ).( )_ 2223212 n n nnnn n CCCC 答案： 1 13 ( )1 12 n n 由 0122 1.(1) nnn nnnn CC xC xC xx 两边同时积分得： 11111 2 22222 00000 1.(1). nn nnnn C dxC xdxC x dxC x dxx dx 从而得到如下等式： 012 2311 111111113 ( )( ).( )( )1 22232121 2 n nn nnnn nn CCCC 13.（2013 年高考新课标 1（理）若函数( )f x= 22 (1)()xxaxb的图像关于直线 对称,则( )f x的最大值是_.2x 答案：16. 因为函数 f（x）=（1x2） （x2+ax+b）的图象关于直线 x=2 对称， 所以将函数 y=f（x）的图象向右平移 2 个单位，得函数 y=f（x2）的图象关于 x=0 对称， 可得 f（x2）=1（x2）2（x2）2+a（x2）+b是偶函数 设 g（x）=f（x2）=x4+（8a）x3+（12ab23）x2+（2811a+4b）x+8a4b 因为 g（x）=g（x） ， 所以，解之得 因此，f（x）=（1x2） （x2+8x+15）=x48x314x2+8x+15 求导数，得 f（x）=4x324x228x+8 令 f（x）=0，得 x1=2，x2=2，x3=2+ 当 x（，2）时，f（x）0；当 x（2，2）时，f（x）0； 当 x（2，2+）时，f（x）0； 当 x（2+，+）时，f（x）0 所以 f（x）在区间（，2） 、 （2，2+）上是增函数，在区间（2，2） 、 （2+ ，+）上是减函数 又因为 f（2）=f（2+）=16 所以 f（x）的最大值为 16 14.（2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）若函 数在是增函数,则的取值范围是 2 1 =f xxax x 1 ,+ 2 a (A) (B) (C) (D) -1, 0 1,) 0,33,) 答案：D 因为在（ ，+）上是增函数 故0 在（ ，+）上恒成立 即 a2x 在（ ，+）上恒成立 令 h（x）=2x， 则 h（x）=2 当 x（ ，+）时，h（x）0，则 h（x）为减函数 所以 h（x）h（ ）=3 所以 a3 故选 D 三、解答题 15.（2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯 WORD 版含答案）已知 函数)ln()(mxexf x . ()设0 x 是( )f x的极值点,求m,并讨论( )f x的单调性; ()当2m 时,证明( )0f x . 16.（2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版）已知函数 3 2 1,12 cos .0,1 2 exx f xxg xaxxxx 当时， (I)求证: 1 1-; 1 xf x x (II)若恒成立,求实数取值范围. f xg xa 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 17.（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯 WORD 版含附加 题）本小题满分 16 分. 设函数,其中为实数.axxxf ln)(axexg x )(a (1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;)(xf), 1 ( )(xg), 1 ( a (2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.)(xg), 1()(xf 卷 附加题部分答案 word 版 选做题第 21 题,本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域 内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解:(1)由即对恒成立, 0 1 )( a x xfa x 1 ), 1 ( x max 1 x a 而由知1 ), 1 ( x x 1 1a 由令则 aexg x )( 0)( xgaxln 当0, xaln)( xgxaln)( xg 在上有最小值 )(xg), 1 ( 1 alna e 综上所述:的取值范围为 a),( e (2)证明:在上是单调增函数 )(xg), 1( 即对恒成立, 0)( aexg xx ea ), 1(x min x ea 而当时, ), 1(x x e e 1 e a 1 分三种情况: ()当时, 0 f(x)在上为单调增函数 0a x xf 1 )( ), 0( x f(x)存在唯一零点 0) 1 (f ()当0 f(x)在上为单调增函数 aa x xf 1 )( ), 0( x 0 )1 ()( aaa eaaeaefaf) 1 ( f(x)存在唯一零点 ()当 0时,令得 e a 1 a x xf 1 )( 0)( xf a x 1 当 0时,0 时,0,有两个零点 1lna e a 1 )(xf 实际上,对于 00,故在上单调增,在 a x 1 , 0a x xf 1 )( )(xf a 1 , 0)(xf 只有一个零点 a 1 , 0 下面考虑在的情况,先证)(xf , 1 a 时,设 ,则,再设x e x e 2 x 2 )(xexh x xexh x 2)( xexl x 2)( 2)( x exl 当1 时,-20,在上是单调增函数 x2)( x exlexexl x 2)(, 1 故当2 时,0 xxexh x 2)( 4)2( 2 eh 从而在上是单调增函数,进而当时, 2 )(xexh x , 2x e 2 )(xexh x 0 2 )(eeeh e 即当时, x e x e 2 x 当 0时,0 故)(xf 1 , 1 a eax a 1 x a xa xf ) 1 ( )( 在上是单调减函数函数在只有一个零点 )(xf , 1 a)(xf , 1 a 综合()()()知:当时,的零点个数为 1;当 00a (1) 证明:函数的图像关于直线对称;( )f x 1 = 2 x (2) 若满足,但,则称为函数的二阶周期点,如果 0 x 00 ( ()=f f xx 00 ()f xx 0 x( )f x 有两个二阶周期点试确定的取值范围;( )f x 12 ,x xa (3) 对于(2)中的和, 设 x3为函数 f(f(x)的最大值点,A(x1,f(f(x1), 12 ,x xa B(x2,f(f(x2),C(x3,0),记ABC 的面积为 S(a),讨论 S(a)的单调性. (1)证明:因为,有, 11 ()(1 2),()(1 2) 22 fxaxfxax 11 ()() 22 fxfx 所以函数的图像关于直线对称. ( )f x 1 2 x (2)解:当时,有 1 0 2 a 2 2 4, ( ( ) 4(1), a x f f x ax 1 , 2 1 . 2 x x 所以只有一个解,又,故 0 不是二阶周期点. ( ( )f f xx0 x (0)0f 当时,有 1 2 a , ( ( ) 1, x f f x x 1 , 2 1 . 2 x x 所以有解集,又当时,故中的所( ( )f f xx 1 | 2 x x 1 2 x ( )f xx 1 | 2 x x 有点都不是二阶周期点. 当时,有 1 2 a 2 2 2 22 1 , 4 4, 11 , 24, 42 ( ( ) 141 2 (1 2 )4, , 24 44, 41. 4 x a a x x aa x a f f x a aaa x x a aa x a x a 所以有四个解,又( ( )f f xx 2 22 224 0, 141214 aaa aaa , 22 (0)0,() 1212 aa ff aa ,故只有是的二阶 2222 2244 (),() 14141414 aaaa ff aaaa 2 22 24 , 1414 aa aa ( )f x 周期点.综上所述,所求 的取值范围为. a 1 2 a (3)由(2)得, 2 12 22 24 , 1414 aa xx aa 因为为函数的最大值点,所以或. 3 x( ( )f f x 3 1 4 x a 3 41 4 a x a 当时,.求导得:, 3 1 4 x a 2 21 ( ) 4(14) a S a a 22 1212 2()() 22 ( ) (14) aa S a a 所以当时,单调递增,当时单调递减; 1 12 ( ,) 22 a ( )S a 12 (,) 2 a ( )S a 当时,求导得:, 3 41 4 a x a 2 2 861 ( ) 4(14) aa S a a 2 22 1243 ( ) 2(14) aa S a a 因,从而有, 1 2 a 2 22 1243 ( )0 2(14) aa S a a 所以当时单调递增. 1 ( ,) 2 a( )S a 20.（2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）设 2 56lnf xa xx,其中aR,曲线 yf x在点 1,1f处的切线与y轴 相交于点0,6. (1)确定a的值; (2)求函数 f x的单调区间与极值. (3)26ln3f 21.（2013 年高考四川卷（理）已知函数,其中是实数.设 2 2,0 ( ) ln ,0 xxa x f x x x a ,为该函数图象上的两点,且. 11 ( ,()A xf x 22 (,()B xf x 12 xx ()指出函数的单调区间;( )f x ()若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,求的最小值;( )f x,A B 2 0 x 21 xx ()若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围.( )f x,A Ba 解:函数的单调递减区间为,单调递增区间为, f x, 1 1,00, 由导数的几何意义可知,点 A 处的切线斜率为,点 B 处的切线斜率为 1 fx ,故当点 A 处的切线与点 B 处的切垂直时,有. 2 fx 12 1fxfx 当时,对函数求导,得. 0 x f x 22fxx 因为,所以, 12 0 xx 12 22221xx 所以. 12 220, 220 xx 因此 211212 1 222222221 2 xxxxxx 当且仅当=1,即时等号成立. 1 22x 2 22x 12 31 22 xx 且 所以函数的图象在点处的切线互相垂直时,的最小值为 1 ( )f x,A B 21 xx 当或时,故. 12 0 xx 21 0 xx 12 fxfx 12 0 xx 当时,函数的图象在点处的切线方程为 1 0 x ( )f x 11 ,xf x ,即 2 1111 222yxxaxxx 2 11 22yxxxa 当时,函数的图象在点处的切线方程为 2 0 x ( )f x 22 ,xf x ,即. 22 2 1 lnyxxx x 2 2 1 ln1yxx x 两切线重合的充要条件是 1 2 2 21 1 22 ln1 x x xxa 由及知,. 12 0 xx 1 10 x 由得,. 22 111 1 1 ln1ln 221 22 axxx x 设, 2 1111 ln 221( 10)h xxxx 则. 11 1 1 20 1 h xx x 所以是减函数. 11 10h xx 则, 1 0ln2 1h xh 所以. ln2 1a 又当且趋近于时,无限增大,所以的取值范围是. 1 ( 1,0)x 1 1 h xaln2 1, 故当函数的图像在点处的切线重合时,的取值范围是 ( )f x,A Baln2 1, 22.（2013 年高考湖南卷（理）已知,函数.0a ( ) 2 xa f x xa (I)记求的表达式;( )0,4f xa在区间上的最大值为g( ),ag( ) (II)是否存在,使函数在区间内的图像上存在两点,在该两点处的a( )yf x0,4 切线相互垂直?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.a 解: 时，是单调递减的。当 时，是单调递增的。或当 axa ax a ax ax axax ax a ax ax xfa 2, 2 3 1- 2 ,2, 2 3 -1 2 )(, 0 () 2 1 2 3 1-)0(4 , 0)(4 a a fxxfa为上单调递减，其最大值在时，由上知，当 上单调递增。上单调递减，在在时，当4 , 0)(4aaxfa );0()(4 , 1 (,4 , 1 (, 2 1 )0( 24 3 -1)4(fagaaf a a f的最大值为时，即当解得：令 )4()( 1 , 0(faga的最大值为时，当 时当 时当 ), 1 (, 2 1 1 , 0(, 24 3 -1 上上上g(a) a a a a (II)由前知,y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的.因此,若在图像上存在两 点满足题目要求,则 P,Q 分别在两个图像上,且),(),( 2211 yxQyxP . 1)( )( 21 xfxf 40 2, )2( 3 ,2, )2( 3 )( 2 2 a axa ax a axax ax a xf时当 时或当 不妨设 )2)(2(38 ,(), 0(, 1 )2( 3 )2( 3 2121 2 2 2 1 axaxaaxax ax a ax a 8 2 423 0 2 423 34)(20 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2121 xa a ax aaxa ax aaxa xaaxxaxx ) 2 1 , 0(40 3 1 1642 432 4342 1622 242 432 8 21 4230 2 2 2 2 2 2 aaa a aa aa xa xa ax xa ax ax ，且 所以,当时,函数在区间内的图像上存在两点,在该两点处) 2 1 , 0(a( )yf x0,4 的切线相互垂直. 23.（2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版）已知函数 ( )ln ()f xxax aR (1)当时,求曲线在点处的切线方程;2a ( )yf x(1,(1)Af (2)求函数的极值.( )f x 解:函数的定义域为,. ( )f x(0,)( )1 a fx x ()当时, 2a( )2lnf xxx 2 ( )1(0) fxx x , (1)1,(1)1 ff 在点处的切线方程为, ( )yf x(1,(1)Af1(1) yx 即. 20xy ()由可知: ( )1,0 axa fxx xx 当时,函数为上的增函数,函数无极值; 0a( )0fx( )f x(0,)( )f x 当时,由,解得; 0a( )0fxxa 时,时, (0, )xa( )0fx( ,)xa( )0fx 在处取得极小值,且极小值为,无极大值. ( ) f xxa( )lnf aaaa 综上:当时,函数无极值 0a( )f x 当时,函数在处取得极小值,无极大值. 0a( )f xxalnaaa 24.（2013 年高考新课标 1（理）(本小题满分共 12 分)已知函数( )f x= 2 xaxb, ( )g x=() x e cxd,若曲线( )yf x和曲线( )yg x都过点 P(0,2),且在点 P 处有相 同的切线42yx ()求a,b,c,d的值;()若x-2 时,( )f x( )kg x,求k的取值范围. ()由已知得(0)2, (0)2,(0)4,(0)4fgfg, 而( )fx=2xb,( )g x=() x e cxdc,a=4,b=2,c=2,d=2; ()由()知, 2 ( )42f xxx,( )2(1) x g xex, 设函数( )F x=( )( )kg xf x= 2 2(1)42 x kexxx(2x ), ( )F x=2(2)24 x kexx=2(2)(1) x xke, 有题设可得(0)F0,即1k , 令( )F x=0 得, 1 x=lnk, 2 x=-2, (1)若 2 1ke,则-2 0 时, 曲线y=f (x) 与曲线 的公共点个数即方 2( 0)ymxm 程 根的个数. 2 )(mxxf 由, 222 2 )2( )( )(,)( x xxe xh x e xh x e mmxxf xxx 令 则 h(x)在 );(h(2),h(x)2 , 0(上单调递减，这时 h(x). ).(h(2),h(x),), 2(这时上单调递增在 4 h(2) 2 e 的极小值即最小值。是h(x)h(2)y 所以对曲线y=f (x) 与曲线 公共点的个数,讨论如下: 2( 0)ymxm 当 m 时,有 0 个公共点;当 m= ,有 1 个公共点;当 m 有 2 个) 4 , 0( 2 e 4 2 e ），（ 4 2 e 公共点; () 设 )(2 )()2()()2()()( 2 )()( ab bfabafab ab afbfbfaf a abba e ab eabab ab eabeab )(2 )2()2( )(2 )2()2( 令. xxx exexxgxexxxg) 1(1)21 (1)( , 0,)2(2)(则 ,且）上单调递增，在（的导函数0)( 上上, 0) 11 ()( )( xgexexxgxg xx , 0)0(,), 0()(0)( . 0 )0( gxgxgg而上单调递增在，因此 . 0)(), 0(xg上所以在 ,0)2(2)(0baexxxgx x 且时，当 0 )(2 )2()2( a ab e ab eabab 所以 ab afbfbfaf )()( 2 )()( ,b0, 存在唯一的s, 使. ( )tf s () 设()中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有( )sg t 2 et . 2ln ( )1 5ln2 g t t 31.（2013 年高考北京卷（理）设 L 为曲线 C:在点(1,0)处的切线. ln x y x (I)求L的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线L的下方. 解: (I)设,则.所以.所以 L 的方程为. ln ( ) x f x x 2 1 ln ( ) x fx x (1)1 f 1yx (II)令,则除切点之外,曲线 C 在直线 的下方等价于( )1( )g xxf x l( )0g x . 满足,且. (0,1)xx ( )g x(1)0g 2 2 1 ln ( )1( ) xx g xfx x 当时,所以,故单调递减; 01x 2 10 x ln0 x ( )0g x( )g x 当时,所以,故单调递增. 1x 2 10 x ln0 x ( )0g x( )g x 所以,(). ( )(1)0g xg0,1xx 所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 又解:即变形为,记,则( )0g x ln 10 x x x 2 ln0 xxx 2 ( )lnh xxxx , 2 121(21)(1) ( )21 xxxx h xx xxx 所以当时,在(0,1)上单调递减; 01x( )0h x( )h x 当时,在(1,+)上单调递增. 1x ( )0h x( )h x 所以.) ( )(1)0h xh 20122012 年高考题年高考题 1.2012广东卷 曲线 yx3x3 在点(1,3)处的切线方程为_ 答案：y2x1 解析 根据已知曲线方程求导得：y3x21，所以切线斜率 ky|x1312，所以根据点斜式方程得：y32(x1)，即方程为：y2x1. 2.2012辽宁卷 已知 P，Q 为抛物线 x22y 上两点，点 P，Q 的横坐标分别为 4，2，过 P、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为_ 答案：4 解析 本小题主要考查导数的几何意义的应用解题的突破口为求切点坐标 和切线的斜率由 x22y 可知 y x2，这时 yx，由 P，Q 的横坐标为 4，2，这时 1 2 P(4,8)，Q(2,2), 以点 P 为切点的切线方程 PA 为 y84(x4)，即 4xy80；以 点 Q 为切点的切线方程 QA 为 y22(x2)，即 2xy20；由联立得 A 点坐 标为(1，4)，这时纵坐标为4. 3.2012浙江卷 设 a0，b0( ) A若 2a2a2b3b，则 abB若 2a2a2b3b，则 abD若 2a2a2b3b，则 a2b2b.构造函数：f(x) 2x2x，则 f(x)2x2x 在 x0 上单调递增，即 ab 成立，故 A 正确，B 错误其余选 项用同样方法排除 4.2012辽宁卷 若 x0，)，则下列不等式恒成立的是( ) Aex1xx2 B.1 x x2Ccosx1 x2 Dln(1x)x x2 1 1x 1 2 1 4 1 2 1 8 答案：C 解析 本小题主要考查导数与函数知识，属于导数在函数中的应用解题的突 破口为构造函数，借助导数工具来解决问题 验证 A，当 x3 时，e32.7319.68133213，故排除 A；验证 B，当 x 时， 1 2 ，而 1 0 恒成立， 1 2 所以当 x0，)时，g(x)g(0)0，所以 x0，)时，g(x)cosx1 x2为增函数， 1 2 所以 g(x)g(0)0 恒成立，即 cosx1 x2恒成立；验证 D，令 h(x)ln(1x) 1 2 x x2，h(x)1 ，令 h(x)0，解得 0x3，所以当 0x0( ) A若 2a2a2b3b，则 abB若 2a2a2b3b，则 abD若 2a2a2b3b，则 a2b2b.构造函数：f(x) 2x2x，则 f(x)2x2x 在 x0 上单调递增，即 ab 成立，故 A 正确，B 错误其余选 项用同样方法排除 8.2012陕西卷 设函数 f(x)xex，则( ) Ax1 为 f(x)的极大值点 Bx1 为 f(x)的极小值点 Cx1 为 f(x)的极大值点 Dx1 为 f(x)的极小值点 答案：D 解析 本小题主要考查导数与函数单调性及函数的极值的知识，解题的突破口 为求函数的导函数，判断函数的单调性，从而判断函数的极值点f(x)exxexex(x1)， 因为 ex0 恒成立，当 f(x)0 时，x1，函数 f(x)为单调增函数；当 f(x)0， DAB. (1)求集合 D(用区间表示)；(2)求函数 f(x)2x33(1a)x26ax 在 D 内的极值点 解：(1)xDx0 且 2x23(1a)x6a0.令 h(x)2x23(1a)x6a， 9(1a)248a3(3a1)(a3)当 a0a0，所以 i)当 0a 时，DAB(0，x1)(x2，)； 1 3 ii)当 a0 时，D(x2，) (2)f(x)6x26(1a)x6a6(x1)(xa) 当 a1 时，f(x)在 R 上的单调性如下表： x(，a)a(a,1)1(1，) f(x)00 f(x) 极大值 极小值 当 a1 时，D(0，) 1 3 由表可得，xa 为 f(x)在 D 内的极大值点，x1 为 f(x)在 D 内的极小值点 当 a 时，D(0,1)(1，) 1 3 由表可得，x 为 f(x)在 D 内的极大值点 1 3 当 0aa 且 x11. 由表可得，f(x)在 D 内单调递增因此 f(x)在 D 内没有极值点