《信号检测与估计》复习纲要与复习题参考答案

2011信号检测与估计复习信号检测与估计复习纲要纲要 “信号检测与估计” 理论是现代信息科学的一个重要组成部分， 它是把所要处理的问题， 归纳为一定的“数学模型”运用“概率论” 、 “随机过程” 、 “数理统计”等数学工具以普 遍化的形式提出，以寻求普遍化的答案和结论，并且理论与工程实践相结合，以雷达系统、 通信系统、声纳系统为主要研究对象，主要内容包括： 随机信号与噪声理论(The Theory of Random Signals and Noise)分析随机信号与噪声 的数学工具 统计判决（检测）理论统计判决（检测）理论(Statistical Decision Theory)研究在噪声干扰背景中，所关 心的信号是属于哪种状态的最佳判决问题(Detection of Signals in Noise) 参量估计理论参量估计理论(Estimation Theory of Signal Parameters)研究在噪声干扰背景中， 通 过对信号的观测，如何构造待估计参数的最佳估计量问题(Estimation of Signal Parameters) 滤波理论(Filtering Theory)为了改善信号质量，研究在噪声干扰中所感兴趣信号波 形的最佳恢复问题，或离散状态下表征信号在各离散时刻状态的最佳动态估计问题 (Estimation of Signal Waveform) 复习重点：信号检测与参量估计复习重点：信号检测与参量估计 信号检测：根据有限观测， “最佳”区分一个物理系统不同状态的理论 参量估计：根据有限观测， “最佳”找出一个物理系统不同参数的理论 如何选择一个估计量如何选择一个估计量 )exp | | 2 p x nx n (2)高斯 2 11 ( , )exp( ) 22 p x nx n 求两种情况下均值的 BLUE。解释一下的 MVU 估计。 解：a）从题目可以知道，( ,1)xLaplace。那么该拉普拉斯分布的方差为 2 2 var( )2/12x 。因此,2SI CI（S 为比例项，C 为协方差） BLUE 为 1 1 1 0 1 T N T n S C X x n S C SN 在拉普拉斯分布时，BLUE 并不是最小方差估计量。 ）从题目可以知道，( ,1)xN。那么该高斯分布的方差为var( )1x 。因此 ,SI CI BLUE 为 1 1 1 0 1 T N T n S C X x n S C SN 高斯分布时，BLUE 和 MVU 等效。 6. 某种电子器件有效工作时间 t 的分布为 0 ( ) 00 t et f t t 若采集了 N 次实验数据，同一类型电子器件在同样工作条件下所得有效工作时 间分别为 12 , N T TT，求的最大似然估计。 解：从题目可以知道，似然函数为 1 1 ( ;)exp() exp() N n n N N n n P TT T 两边取对数 1 ( ,)ln( ; )ln N n n L TP TNT 求导数 1 ( ,) 0 N n n L TN T 那么的 MLE 为 1 N n n N T 7.从 PDF 2 ( ,)N A观测到 N 个 IID 样本，其中 2 ,A皆未知，求 22 /SNRA 的 MLE。 解：从题目可以知道，估计参数为 2 ,A 似然函数可以表示为 1 2 2 1/22 0 11 (; )exp (2)2 N n P Xx nA 两边求对数，并分别对 A 和 sigma 求导数，可以得到估计参数的 MLE，如下 2 111 2 000 111 ,( ),( )( ) NNN nnn Ax nx nx n NNN 2 1 02 2 11 00 1 ( ) / 11 ( )( ) N n NN nn x n N A x nx n NN 8.对于信号模型 01 1 AnM s n AMnN 求 A 的 LSE 以及最小 LS 误差。假定观测为 ,0,1,1x ns nw n nN，如 果 w n是方差为 2 的 WGN，求 LSE 的 PDF。 解： 令 0, 1,., 1TSsss N，A，那么信号模型可以写成如下 SH 其中 H 为观测矩阵，且 1 1 M N M H ，1M表示 M 维1,1,1.,1T。 那么 11 1 ()() T H HMNM N 则 11 1 0 1 ()( )( ) MN TT nn M AH HH xx nx n N 最小 LS 误差为 2 111 2 min 00 1 ( )( )( ) NMN nnn M Jxnx nx n N 下面讨论 LSE 的分布： 2 22 1 ( )() ) 1 ( ) E AMANM AA N Var AMNM NN 由此可见 2 ( ,)AN A N 。 9.如果 N 个 IID 观测 0, 1, 1xxx N 服从 2 ( ,)N ，求 2 ,T 的矩方 法估计量。 解：高斯分布的一阶矩和二阶矩为 222 E X E X 那么 1 0 1 ( ) N n x n N 2 11 22 00 11 ( )( ) NN nn xnx n NN 10. 解： 11.如果观测数据 (0,1,1)x n nN具有 PDF 2 2 2 11 ( |)exp( ) 2 2 p x nx n 在给定的条件下， x n是相互独立的。均值具有先验 PDF 2 00 (,)N ， 求的 MMSE 和 MAP 估计量。另外，当 2 0 0和 2 0 时将发生什么情况。 解： 均值的后验概率为 (|) ( ) (|) (|) ( ) p Xp pX p Xpd 对于分母来说，为定值，一般不作考虑。故而后验 概率可以写成如下形式 1 22 0 22 22 0 0 0 (|)(|) ( ) 1111 exp( )exp() 22 22 N N n pXp Xp x nu 两边取对数求导如下： 1 0 22 0 0 ln(|) ( )22 ( )()0 22 N n p Xp x n 所以得到的 MAP 估计 2 2 0 0 22 22 00 N x NN 因为x和为联合高斯分布，所以 MMSE 估计和 MAP 估计等效教材 P290。所 以 MMSE 估计和 MAP 估计相等。 当 2 0 0时，先验概率决定了数据的后验概率。而当 2 0 时，先验概率相当 于均匀分布，而此时后验概率等于似然概率。 信号检测部分：信号检测部分： 12.基本概念理解：虚警概率，漏警概率，检测概率，匹配滤波器，广义匹配滤 波器，似然比检验，广义似然比检验，接收机工作特性（性能评估） ，恒虚警检 测，常用检测准则（贝叶斯准则及其派生准则：纽曼皮尔逊准则纽曼皮尔逊准则，最小平均错最小平均错 误概率准则误概率准则，最大后验概率准则，最大似然概率准则，极小化极大准则） 。 13. 考虑一个 WGN 中的信号 00 cos2(01/2)s nAf nf的检测问题，其中 0,1,1nN，求1nN时刻匹配滤波器的信号输出。如果信号被延迟了 0 n （ 0 0n ）个采样时刻，以至于我们收到的信号为 0 s nn。应用原信号的同一 个匹配滤波器，求在1nN时刻的输出信号与 0 n的函数关系。 解：在 WGN 信道， )2cos( 0 nwnwnfAnwnsnx为 WGN。 N-1 时刻的匹配滤波器输出为： 1 0 0 1 0 )2cos( 1 N k N k kfAkxkxksNy； 若信号被延迟 0 n，则 0 nnxnxd。此时，由于匹配滤波器不变，所以输出 1 0 00 1 0 )2cos( 1 N k N k d kfAnkxkxksNy。 14. 二元数字通信系统中，假设 1 H时信源输出电压为 1，再假设 0 H时信源输出 为 0。信号在传输信道上叠加了均值为零，方差为 2 1 n 的高斯噪声。试构造一 个虚警率为 0.1 的 NP 接收机，并求出相应的检测概率。 （已知(1.29)0.1Q， 2 11 ( )exp 22 x Q xtdt ） 。 解： 假设进行了N次独立观测，有如下假设： 0 1 0,1,.1 : 1 0,1,.1 HnnN Hx nnnN ：xn= 似然比： 1 2 0 2 1 1 2 0 0 2 11 exp( 1) 2 ( ;)(2 ) ( ) 11( ;) exp 2 (2 ) N N n N N n x n p x H L x p x H x n 时，判 1 H成立 等价于 1 0 1ln1 2 N n x n NN 时，判 1 H成立 令 ln1 2N ，即： 1 0 1 ( ) N n T xx nr N 时， 1 H成立 1 0 1 )( )0 N n EEn N 0 （T(x);H )1E 1 （T(x);H 1 01 0 11 var( ( );)var( )var( ( );) N n T x HnT x H NN 即： 0 1 1 (0,) ( ) 1 (1,) NH N T x NH N 条件下 条件下 0 ( );()0.1 1/ FA r pp T xr HQ N (1.29)0.1 * 1.29 Q Nr 1.29 r N 检测概率： 1 1 ( );()(1.29) 1/ D r pp T xr HQQN N 15.数字通信系统中，两假设下的接收信号分别为 0 1 :0,1,1 :0,1,1 kk kk HzAnkN HznkN 若 N 个样本 k z相互统计独立， 噪声 2 (0,) kn nN， 先验概率 10 ()()1/2P HP H， 代价因子 0011 0CC， 0110 1CC。 （1）求最小错误概率的判决规则； （2）求最小错误概率 e P； （3）研究观测次数 N 对检测性能的影响。 解： （1）定义错误概率 011100 () ()() () e pp H Hp Hp H Hp H 我们的目的是设计检测器，使 e p最小。 已知 00110110 C =C = 0 , C =C =1 ，这时，使贝叶斯风险最小的检测器在 1 10000 001111 p()(CC ) () 1 p()(CC ) () x Hp H x Hp H 时判 1 H成立。 （2）由（1）判决准则并代入具体数值，因此如果 1 2 2 02 2 1 2 2 02 2 11 exp( ) 2 (2) 1 11 exp 2 (2) N N n N N n x nA x n 则判 1 H。取对数，得 1 2 2 0 1 ( 2 )0 2 N n Ax nNA 或者如果/2xA，则判 1 H，代入定义的 e p并注意到 2 0 2 1 (0,), (A,), NH N x NH N 条件下 条件下 01110010 22 1 () ()() ()/2/2 2 1/2/2 (1()() 2 / err pp H Hp Hp H Hp HP xAHP xAH AAA QQ NN 由于()1( )QxQ x ，最终有 2 2 () 4 e NA pQ （3）由 2 2 () 4 e NA pQ 错误概率随 2 2 NA 的增加而单调递减 即A, 2 一定时，N取值越大， e p越小，检测性能越好。 16. 如果把信号看作为零均值的白色 WSS 高斯随机过程，方差为 2 s ，噪声是方 差为 2 的 WGN,且与信号独立，试设计似然比检测器区分如下的两种假设： 0 1 : 0,1,1 : 0,1,1 Hx nw nnN Hx ns nw nnN 解：如果把信号看作为零均值的白色WSS 高斯随机过程，方差为 2 s ，噪声是方 差为 2 的WGN,且与信号独立，设计似然比检测器区分如下的两种假设： 0 1 : 0,1,., -1 : 0,1,., -1 Hx nnnN Hx ns nnnN 如果似然比超过门限，或者 1 0 p( ;) ( ) p( ;) x H L x x H ，NP 检测器判 1 H。 根据模型假定， 在 0 H条件下， 2 (0,)xNI； 这样， 在 1 H条件下， 22 (0,() ) s xNI 于是有 1 2 22 022 2 1 2 2 02 2 11 exp 2() (2 () ( ) 11 exp 2 (2) N N n s s N N n x n L x x n 对数似然比变为 2 1 2 22222 0 22 1 2 22222 0 111 ( )ln()() 22 1 ln() 22() N n ss N s n ss N l xx n N x n 因此，如果 1 2 0 ( ) N n T xx n ，则判 1 H成立。 17. 在假设 0 H和 1 H下，若观测信号 x 的 概率密度函数分别如图 1(a),(b)所示,已 知先验概率 01 ()0.3, ()0.7P HP H。试设计采用最小平均错误概率准则的检测 器，并说明它是如何实现判决的。 图 1. 0 H和 1 H下观测信号 x 的 概率密度函数 解答解答：两个假设下观测信号的概率密度函数分别为 1 2 1 02 (1),1 ( |)(1),1 0, xx p x Hxx others （注意要满足概率的归一性原理） 和 1 1/2, 11 ( |) 0, x p x H others 似然比函数为 1 0 , 11 ( |) ( ) 0,1,1( |) x p x H x xxp x H 似然比检测门限为 0 1 ()3 ()7 P H P H 由似然比检验得判决结果： 检验统计量( )l xx 1 0 , 1( )1 , ( )1, ( )1 Hl x Hl xl x 成立 成立 检测器结果如下图所示： 取 x x -1 0 1-1 0 1 0.5 p(x|H0) p(x|H1) (a) (b) 取绝对值 判决器 x 1 H1成立 H0成立 p） 的且秩为 p 的观测矩阵， 是 p*1 的参数矢量，w 是 N*1 的噪声矢量，PDF 为 N（0， 2I ） ，对于假设检验问题 0 1 : : HAb HAb 其中 A 是 r*p（r=p）的秩为 r 的矩阵，b 是 r*1 的矢量，Ab是线性方程的一致集合， 如果 11 11 2 () () () ( )2ln( ) TTT G AbA H HAAb T xLx GLRT 判 H1，其中 1 1 () TT H HH x 是在 H1 条件下的 MLE。 （2） （方差未知） ： 如果 2 ( )( )1 N G Np T xLx r = 11 11 1 () () () () TTT TTT AbA H HAAbNp rxIH H HHx GLRT 判 H1 其中 1 1 () TT H HH x 是在 H1 条件下的 MLE 或无约束的 MLE （3）结论不适用于贝叶斯线性模型，因为贝叶斯线性模型xHw，其中将看作为一 个具有高斯先验 PDF 的随机变量 20.【线性调频（LFM）脉冲压缩雷达的工作原理】雷达发射机的任务是产生符合要求的雷 达波形（Radar Waveform） ，然后经馈线和收发开关由发射天线辐射出去，遇到目标后，电 磁波一部分反射， 经接收天线和收发开关由接收机接收， 对雷达回波信号做适当的处理就可 以获知目标的相关信息。假设理想点目标与雷达的相对距离为 R，为了探测这个目标，雷达 发射信号( )s t,电磁波以光速C向四周传播，经过时间R C后电磁波到达目标，照射到目标 上的电磁波可写成：() R s t C 。电磁波与目标相互作用，一部分电磁波被目标散射，被反射 的电磁波为() R s t C ，其中为目标的雷达散射截面（Radar Cross Section ,简称 RCS） ， 反映目标对电磁波的散射能力。再经过时间R C后，被雷达接收天线接收的信号为 (2) R s t C 。如果将雷达天线和目标看作一个系统，便得到一个 LTI （线性时不变） 系统。 等效 LTI 系统的冲击响应可写成: 1 (