离散化原理及要求和常用的几种数值积分法ppt课件

第三章连续系统数值积分仿真方法学,1,3.1离散化原理及要求,（1）离散化原理（2）离散化建模方法的要求,2,（1）离散化原理,“数字”计算，引入舍入误差；按指令一步一步进行，必须将时间离散化。,在数字计算机上对连续系统进行仿真时，首先遇到的问题是：数字计算机的数值及时间均具有离散性，而被仿真系统的数值及时间均具有连续性，后者如何用前者来实现。,3,连续系统仿真：从时间、数值两个方面对原系统进行离散化，并选择合适的数值计算方法来近似积分运算，由此得到离散模型来近似原连续模型。,4,相似原理,设系统模型为：,离散后的输入变量：,系统变量：,如果：,即：,仿真时间间隔为：h,两模型等价。,5,u(t),图2.1相似原理,原连续模型,仿真模型,h,y(t),+,6,（2）离散化建模方法的要求,稳定性准确性：最基本的准则是：绝对误差准则：,相对误差准则：,系统时间间隔hk=tk+1-tk计算每一步间隔Tk若hkTk，实时仿真若Tkhk，离线仿真,快速性,7,明确几个概念,8,差分方程,已知表示某系统一阶向量微分方程及初值为：,对上式两边积分，则,9,在时的连续解为：,令,则,或表示为,10,数值解法,相邻两个离散点的间距,常用的基本方法有三类：单步法、多步法、预估校正法。并可分为显式公式和隐式公式。,称为计算步长或步距,11,单步法与多步法,单步法只由前一时刻的数值ym就可求得后一时刻的数值ym+1能自动启动多步法计算ym+1需要用到tm,tm-1,tm-2,时刻y的数据不能自动启动,12,显式与隐式,显式计算ym+1时所用数值均已计算出来隐式计算中隐含有未知量预估校正法使用隐式公式时，需用另一显式公式估计一个初值，然后再用隐式公式进行迭代运算。,13,截断误差,假设前一步得到的结果ym是准确的,则用泰勒级数求得tm+1处的精确解为,若从以上精确解中取前两项之和来近似计算ym+1,由这种方法单独引进的附加误差通常称作局部截断误差.,14,舍入误差,舍入误差与h成反比,若计算步长小，计算次数就多,则舍入误差就大。,15,3.2常用的几种数值积分法,建立系统数学模型的目的是研究系统的运动规律,16,（一）单步法,17,（1）欧拉法（一阶龙格库塔法）,Taylor级数展开矩形近似解法切线近似,18,（a)Taylor展开,假定,为其解析解,将y(t)展开成Taylor级数,从而,将上式写成差分方程,19,（b）矩形近似解法,在区间tn,tn+1上积分，得,于是,20,（c)切线近似,y(t)在tn处得切线方程为,则得,21,例1设系统方程为：,试用欧拉法求其数值解（取步长h=0.1，0t1）,解：原方程为：,递推公式为：,22,已知方程的解析解为,精确解与数值解比较,误差在102数量级,23,（2）改进的欧拉法（梯形法）,又称二阶龙格库塔法,直边梯形的面积,当h比较小时，以直边梯形代替曲边梯形的面积，可得,其差分方程,或,曲边梯形的面积,24,3.然后用梯形法求出修正后的,25,1.用欧拉法预估一个初值,2.用下式求出,如此反复下去直到,迭代运算：,26,预估校正法,27,(3)龙格库塔法,基本思想间接利用泰勒展开式，即用几个点上的y(t)的一阶导函数值的线性组合来近似代替y(t)在某一点的各阶导数，然后用泰勒级数展开式确定线性组合中各加权系数,28,（a)龙格库塔数值积分公式推导,一阶微分方程：,假定y(t)是上式的解析解。将y(t)展开成泰勒级数,其中：,29,将y(t+h)写成线性组合形式,其中r称为阶数，bi待定系数，ki由下式决定,且定义C1=0,30,r=1，此时c1=0，a1=0，k1=f(t,y)，则,取b1=1，即得一阶龙格库塔法,r=2,将,在点(t,y)展开泰勒级数,31,所以,改进欧拉法,32,r=4,其中：,四阶龙格库塔法,33,为方便，将上式具体列为：,其中：,34,龙格库塔法的特点,在计算yn+1时只用到yn，而不直接用yn-1,yn-2等项;步长h在整个计算中并不要求固定；精度取决于步长h的大小及方法的阶次一阶龙格库塔公式欧拉公式,35,优点,编制程序容易改变步长方便稳定性较好是一种自启动的数值积分法,36,(4)单步法的特点,需要存