《应用多元统计分析》各章作业题及部分参考答案

1 应用多元统计分析 pofeel 各章作业题及部分参考答案各章作业题及部分参考答案 第第 2 章章 参数估计参数估计 1. 设随机向量X的均值向量、协方差阵分别为和，证明：()E XX= +。 2. 设随机向量( , ) p XN，又设 1r pr YAXb =+，证明：(,) r YNAb A A+。 3. 设 3( , ), 1,2,10 i XNi=?，则 10 1 ()() ii i WXX = = _。 4. 设,1,2,16 i X i =?来自正态总体( , ) p N，X和L分别为该正态总体的样本均值和 样本离差阵，则 21 154()4()TXLX =_。 5. 设随机向量 123 (,)Xx x x =， 且协差阵 443 492 3216 = ， 则它的相关阵 R=_。 参考答案参考答案 1. 因为()()()()()()()V XE XEXXEXE XXEXEXE XX =， 故()E XX= +。 2.由题意可知，Y服从正态分布，( )()()E YE AXbAE XbAb=+=+=+， ( )()()V YV AXbAV X AA A=+=，故(,) r YNAb A A+。 3. 3(10, ) W。 4. 2( ,15) Tp或者 15 ( ,) 16 p F p np p 。 5. 23 1 38 21 1 36 31 1 86 R = 第三章第三章 假设检验假设检验 对某地区农村的 6 名 2 周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行测量，得到样本数据如下 表。根据以往资料，该地区城市 2 周岁男婴的这三项指标的均值 0 (90,58,16)=，现欲在 多元正态性假定下检验该地区农村男婴是否与城市男婴有相同的均值。 2 应用多元统计分析 pofeel 表 1 某地区农村男婴的体格测量数据 编号 身高（cm） 胸围（cm） 上半臂围（cm） 1 2 3 4 5 6 78 76 92 81 81 84 60.6 58.1 63.2 59.0 60.8 59.5 16.5 12.5 14.5 14.0 15.5 14.0 解：作如下假设 0010 :,:HH= 经计算，求的样本均值向量(82.0,60.2,14.5)x =， 0 ( 8,2.2, 1.5)x= ，样本协差阵 31.68.040.500 8.043.1721.310 0.51.311.9 S = ，则 1 0.1863 -0.6319 0.3866 -0.6319 2.5840 -1.6153 0.3866 -1.6153 1.5383 S = 。 故 21 00 ()()670.07420.445Tn xSx =。 查 2 T分布表， 得临界值 2 0.05(3,5) 46.383T=， 所以在显著水平0.05=下， 拒绝原假设 0 H， 即认为农村与城市的 2 周岁男婴在上述指标的均值有显著差异。 解法二：利用 F 统计量，查表得 0.05(3,3) 9.28F=，于是有： 2 0.05 1 420.44584.089(3,3)9.28 (1)5 np FTF np = 所以在显著水平0.05=下，拒绝原假设 0 H，即认为农村与城市的 2 周岁男婴在上述指标 的均值有显著差异。 第第 4 章章 叛变分析叛变分析 1、在企业的考核种，可以根据企业的生产经营情况把企业分为优秀企业和一般企业。考核 企业经营状况的指标有：资金利润率=利润总额/资金占用总额；劳动生产率=总产值/职工平 均人数；产品净值率=净产值/总产值。 三个指标的均值向量和协方差矩阵如下。现有二个企业，观测值分别为（7.8，39.1，9.6） 和（8.1，34.2，6.9） ，问这两个企业应该属于哪一类？ 变量 均值向量 协方差阵 优秀 一般 资金利润 13.5 5.4 68.39 40.24 21.41 劳动生产率 40.7 29.8 40.24 54.58 11.67 产品净值率 10.7 6.2 21.41 11.67 7.90 2、 设 123 ,G GG三个组， 欲判别某样品 0 x属于何组， 已知 123 0.05,0.65,0.3,ppp= 3 应用多元统计分析 pofeel 102030 ()0.10,()0.63,()2.4f xfxfx=，假定误判代价矩阵为： 3、 设已知有两个正态总体 1 G和 2 G，且 1 2 6 = ， 2 4 2 = ， 12 11 19 = = ，而其 先验概率分别为 12 0.5qq=，误判损失为 4 (2|1)Ce=，(1| 2)Ce=，用 Bayes 判别法 确定样本 3 5 X = 属于哪一个总体。 参考答案参考答案 1、 解：易得 1 0.1193370.027530.28276 0.027530.0331290.025659 0.282760.0256590.854988 = ， 12 8.1 10.9 4.5 = ， 12 9.45 () / 235.25 8.45 += 。 判别函数为： 1 12 ( )()()W xX = 9.450.1193370.027530.282768.1 (35.25 )0.027530.0331290.02565910.9 8.450.282760.0256590.8549884.5 X = 。 将 12 7.88.1 39.134.2 9.66.9 XX = ，分别代入判别函数得： 1 ()4.0883W X=，属于第一类； 2 () -2.2955W X=，属于第二类。 2、 解：要判断 0 x属于哪个总体，只要前计算出 3 个按先验分布加权的误判平均损失 3 00 1 ()( | )() jii i hp C j i f = =xx，1,2,3j =。有 10220330 ()() (1| 2)() (1|3)51.39h xp fx Cp fx C=+=； 20110330 ()() (2|1)() (2|3)36.05h xp f x Cp fx C=+=； 判 别 为 真 实 组 1 G 2 G 3 G 1 G (1|1)0C= (2|1)10C= (3|1)200C= 2 G (1| 2)20C= (2| 2)0C= (3| 2)100C= 3 G (1|3)60C= (2|3)50C= (3|3)0C= 4 应用多元统计分析 pofeel 30110220 ()() (3|1)() (3| 2)41.95h xp f x Cp fx C=+=。 由于 3 200 1 ()(2| )()36.05 ii i hp Ci f = = xx最小，故将 0 x判给 2 G。 3、 由 Bayes 判别知 11 1212 2 ( ) ( )exp()()exp(424) ( ) f x V xxxx fx =+， 其中 12 3 42 + = ， 1 91 1 118 = ， 12 2 4 = ， 32 1 (1| 2) (2|1) q C de q C =，则 3 ()ln3 4 W Xd= ，故 1 XG。 第第 6 章章 主成分分析主成分分析 1、 设随机向量 123 (,)xx x x =的协方差矩阵为 120 250 002 = ，试求x的主成分及主 成分对变量 i x的贡献率 i v（1,2,3i =） 。 2、设 12344 (,)(0, )Xx xx xN=，协差阵 1 1 1 1 = ，01。 （1）试从出发求出X的第一总体主成分。 （2）当取多大时才能使第一主成分的贡献率达 95%以上？ 参考答案参考答案 1、解：的特征根分布为 1 5.83=， 2 2.00=， 3 0.17=，相应的特征向量分别为 1 0.383 0.924 0.000 T = ， 2 0 0 1 T = ， 3 0.924 0.383 0.000 T = ，故主成分分别为 11223312 0.3830.924;0.9240.383yxxyxyxx=+若只取一个主成分，则贡献率 为 5.83 72.875% 5.832.000.17 = + 。 下面求出 3 个主成分对(1,2,3) i x i=的贡献率： i i x与 1 y的相关系数 平方 i x与 2 y的相关系数平方 贡献率 1 0.925 0.855 0 0 0.855 2 0.998 0.996 0 0 0.996 3 0 0 1 1 1 5 应用多元统计分析 pofeel 由此可见 1 y对第三个变量的贡献率为 0，这是因为 3 x与 1 x和 2 x都是线性无关的，在 1 y中没 有包含 3 x的信息，这是只取一个主成分就显得不够了，故应再取 2 y，此时累计贡献率可得 98.875%。 注：表格中 2 111 111 5.830.38310.925t=， 2 121 212 2( 0.924)50.998t= = ， 13 0=。 2 、 解 ：（ 1 ） 由 1 1 0 1 1 = ， 得 特 征 根 1 13= +， 234 1= ，解 1 所对应的方程 1 2 3 4 1 1 0 1 1 x x x x = ，得 1 对 应 的 特 征 向 量 为 1 1 1 1 1 t = ， 标 准 化 后 得 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 T = ， 故 第 一 主 成 分 为 11234 1111 2222 yT Xxxxx=+。 （2）第一主成分的贡献率为 1 1234 13 95% 4 + = + ，得0.933。 第 7 章 因子分析 第 7 章 因子分析 1、设 123 (,)xx x x =的相关系数矩阵通过因子分析分解为 12 1 33 0.93400.128 0.9340.417 0.835 1 100.417 0.8940.027 00.8940.4473 0.8350.4470.103 2 01 3 R = = + ，则 1 x的 共同度 2 1 h = ； 1 x的特殊度 2 1 = ；公因子 1 f对x的方差贡献 2 1 g = ； 1 x的方差 11 = 。 6 应用多元统计分析 pofeel 2、设标准化变量 123 ,x xx的协差阵（即为相关阵）为 1.000.630.45 0.631.000.35 0.450.351.00 R = 。 （1） 计算因子载荷阵A，并建立因子模型。 （2） 计算公因子 j f的方差贡献 2( 1,2,3) j gj =，并说明其统计意义。 第第 9 章章 典型相关分析典型相关分析 设 12 (,)XX=X， 12 ( ,)Y Y =Y是来自正态总体中的随机向量。已知 = X Z Y 的协差阵 1211 2512 1123 1235 = 1112 2122 ?，试求X，Y的第一对典型相关变量和相应的典型相关 系数。 解： 52 21 = -1 11 ， 53 32 = -1 22 ，则 5211531152 2112321221 = -1-1 111122221 M 5311521172 32122