2014年广东省高考数学试卷（理科）

2014年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.1（5分）已知集合M1，0，1，N=0，1，2，则MN=（）A0，1B1，0，1，2C1，0，2D1，0，12（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A34iB3+4iC34iD3+4i3（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则mn=（）A5B6C7D84（5分）若实数k满足0k9，则曲线=1与曲线=1的（）A焦距相等B实半轴长相等C虚半轴长相等D离心率相等5（5分）已知向量=（1，0，1），则下列向量中与成60夹角的是（）A（1，1，0）B（1，1，0）C（0，1，1）D（1，0，1）6（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A200，20B100，20C200，10D100，107（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是（）Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定8（5分）设集合A=（x1，x2，x3，x4，x5）|xi1，0，1，i=1，2，3，4，5，那么集合A中满足条件“1|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3”的元素个数为（）A60B90C120D130二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（913题）9（5分）不等式|x1|+|x+2|5的解集为 10（5分）曲线y=e5x+2在点（0，3）处的切线方程为 11（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 12（5分）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则= 13（5分）若等比数列an的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+lna20= （二）、选做题（1415题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为sin2=cos和sin=1以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为 【几何证明选讲选做题】15如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则= 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），xR，且f（）=（1）求A的值；（2）若f（）+f（）=，（0，），求f（）17（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率25，3030.12（30，3550.20（35，4080.32（40，45n1f1（45，50n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35的概率18（13分）如图，四边形ABCD为正方形PD平面ABCD，DPC=30，AFPC于点F，FECD，交PD于点E（1）证明：CF平面ADF；（2）求二面角DAFE的余弦值19（14分）设数列an的前n项和为Sn，满足Sn=2nan+13n24n，nN*，且S3=15（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列an的通项公式20（14分）已知椭圆C：+=1（ab0）的右焦点为（，0），离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程21（14分）设函数f（x）=，其中k2（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k6，求D上满足条件f（x）f（1）的x的集合（用区间表示）2014年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.1（5分）已知集合M1，0，1，N=0，1，2，则MN=（）A0，1B1，0，1，2C1，0，2D1，0，1【分析】根据集合的基本运算即可得到结论【解答】解：集合M1，0，1，N=0，1，2，MN=1，0，1，2，故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A34iB3+4iC34iD3+4i【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值【解答】解：复数z满足（3+4i）z=25，则z=34i，故选：A【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题3（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则mn=（）A5B6C7D8【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点A，直线y=2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，1），此时z=21=3，此时n=3，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点B，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，1），此时z=221=3，即m=3，则mn=3（3）=6，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键4（5分）若实数k满足0k9，则曲线=1与曲线=1的（）A焦距相等B实半轴长相等C虚半轴长相等D离心率相等【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论【解答】解：当0k9，则09k9，1625k25，即曲线=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9k，c2=34k，曲线=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25k，b2=9，c2=34k，即两个双曲线的焦距相等，故选：A【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键5（5分）已知向量=（1，0，1），则下列向量中与成60夹角的是（）A（1，1，0）B（1，1，0）C（0，1，1）D（1，0，1）【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论【解答】解：不妨设向量为=（x，y，z），A若=（1，1，0），则cos=，不满足条件B若=（1，1，0），则cos=，满足条件C若=（0，1，1），则cos=，不满足条件D若=（1，0，1），则cos=，不满足条件故选：B【点评】本题主要考查空间向量的数量积的计算，根据向量的坐标公式是解决本题的关键6（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A200，20B100，20C200，10D100，10【分析】根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数【解答】解：由图1知：总体个数为3500+2000+4500=10000，样本容量=100002%=200，分层抽样抽取的比例为，高中生抽取的学生数为40，抽取的高中生近视人数为4050%=20故选：A【点评】本题借助图表考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是关键7（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是（）Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，l1与l4的位置关系不确定【解答】解：l1l2，l2l3，l1与l3的位置关系不确定，又l4l3，l1与l4的位置关系不确定故A、B、C错误故选：D【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面8（5分）设集合A=（x1，x2，x3，x4，x5）|xi1，0，1，i=1，2，3，4，5，那么集合A中满足条件“1|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3”的元素个数为（）A60B90C120D130【分析】从条件“1|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3”入手，讨论xi所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论【解答】解：由于|xi|只能取0或1，且“1|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：xi中有2个取值为0，另外3个从1，1中取，共有方法数：；xi中有3个取值为0，另外2个从1，1中取，共有方法数：；xi中有4个取值为0，另外1个从1，1中取，共有方法数：总共方法数是+=130即元素个数为130故选：D【点评】本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（913题）9（5分）不等式|x1|+|x+2|5的解集为（，32，+）【分析】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求【解答】解：由不等式|x1|+|x+2|5，可得，或 ，或 解求得x3，解求得 x，解求得x2综上，不等式的解集为（，32，+），故答案为：（，32，+）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题10（5分）曲线y=e5x+2在点（0，3）处的切线方程为y=5x+3【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程【解答】解；y=5e5x，k=5，曲线y=e5x+2在点（0，3）处的切线方程为y3=5x，即y=5x+3故答案为：y=5x+3【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属基础题11（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为【分析】根据条件确定当中位数为6时，对应的条件即可得到结论【解答】解：从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C107种方法，若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5，选3个，从7，8，9中选3个不同的数即可，有C63种方法，则这七个数的中位数是6的概率P=，故答案为：【点评】本题主要考查古典概率的计算，注意中位数必须是按照从小到大的顺序进行排列的比较基础12（5分）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=2【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin（B+C）=2sinB，sin（B+C）=sinA，sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则=2故答案为：2【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键13（5分）若等比数列an的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+lna20=50【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案【解答】解：数列an为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，a10a11=e5，lna1+lna2+lna20=ln（a1a2a20）=ln（a10a11）10=ln（e5）10=lne50=50故答案为：50【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题（二）、选做题（1415题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为sin2=cos和sin=1以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1）【分析】首先运用x=cos，y=sin，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方程组，解之求交点坐标【解答】解：曲线C1：sin2=cos，即为2sin2=cos，化为普通方程为：y2=x，曲线sin=1，化为普通方程为：y=1，联立，即交点的直角坐标为（1，1）故答案为：（1，1）【点评】本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题【几何证明选讲选做题】15如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=9【分析】利用ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，可得=，利用CDFAEF，可求【解答】解：ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，=，ABCD是平行四边形，ABCD，CDFAEF，=（）2=9故答案为：9【点评】本题考查相似三角形的判定，考查三角形的面积比，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），xR，且f（）=（1）求A的值；（2）若f（）+f（）=，（0，），求f（）【分析】（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），根据f（）+f（）=，求得cos 的值，再由 （0，），求得sin 的值，从而求得f（） 的值【解答】解：（1）函数f（x）=Asin（x+），xR，且f（）=Asin（+）=Asin=A=，A=（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），f（）+f（）=sin（+）+sin（+）=2sincos=cos=，cos=，再由 （0，），可得sin=f（）=sin（+）=sin（）=sin=【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题17（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率25，3030.12（30，3550.20（35，4080.32（40，45n1f1（45，50n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35的概率【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；（3）利用对立事件可求概率【解答】解：（1）（40，45的频数n1=7，频率f1=0.28；（45，50的频数n2=2，频率f2=0.08；（2）频率分布直方图：（3）设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35为事件A，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35为事件，已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35的概率为，P（A）=，P（）=1P（A）=，在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35的概率为【点评】本题考查了频数分布表，频数分布直方图和概率的计算，属于中档题18（13分）如图，四边形ABCD为正方形PD平面ABCD，DPC=30，AFPC于点F，FECD，交PD于点E（1）证明：CF平面ADF；（2）求二面角DAFE的余弦值【分析】（1）结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC平面ADF，即得所求；（2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可【解答】解：（1）PD平面ABCD，PDAD，又CDAD，PDCD=D，AD平面PCD，ADPC，又AFPC，PC平面ADF，即CF平面ADF；（2）设AB=1，在RTPDC中，CD=1，DPC=30，PC=2，PD=，由（1）知CFDF，DF=，AF=，CF=，又FECD，DE=，同理可得EF=CD=，如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，1），E（，0，0），F（，0），P（，0，0），C（0，1，0）设向量=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则有，令x=4可得z=，=（4，0，），由（1）知平面ADF的一个法向量为=（，1，0），设二面角DAFE的平面角为，可知为锐角，cos=|cos，|=二面角DAFE的余弦值为：【点评】本题考查用空间向量法求二面角的余弦值，建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键，属中档题19（14分）设数列an的前n项和为Sn，满足Sn=2nan+13n24n，nN*，且S3=15（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列an的通项公式【分析】（1）在数列递推式中取n=2得一关系式，再把S3变为S2+a3得另一关系式，联立可求a3，然后把递推式中n取1，再结合S3=15联立方程组求得a1，a2；（2）由（1）中求得的a1，a2，a3的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明【解答】解：（1）由Sn=2nan+13n24n，nN*，得：S2=4a320 又S3=S2+a3=15 联立解得：a3=7再在Sn=2nan+13n24n中取n=1，得：a1=2a27 又S3=a1+a2+7=15 联立得：a2=5，a1=3a1，a2，a3的值分别为3，5，7；（2）a1=3=21+1，a2=5=22+1，a3=7=23+1由此猜测an=2n+1下面由数学归纳法证明：1、当n=1时，a1=3=21+1成立2、假设n=k时结论成立，即ak=2k+1那么，当n=k+1时，由Sn=2nan+13n24n，得，两式作差得：=2（k+1）+1综上，当n=k+1时结论成立an=2n+1【点评】本题考查数列递推式，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，考查了学生的灵活应变能力和计算能力，是中档题20（14分）已知椭圆C：+=1（ab0）的右焦点为（，0），离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a和b，则椭圆的方可得（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用=0，整理出关于k的一元二次方程，利用韦达定理表示出k1k2，进而取得x0和y0的关系式，即P点的轨迹方程【解答】解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，椭圆的方程为+=1（2）当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的坐标为（3，2），符合题意，当两条切线斜率均存在时，设过点P（x0，y0）的切线为y=k（xx0）+y0，+=+=1，整理得（9k2+4）x2+18k（y0kx0）x+9（y0kx0）24=0，=18k（y0kx0）24（9k2+4）9（y0kx0）24=0，整理