4.1.2 圆的一般方程

4.1.2圆的一般方程,(x-a)2+(y-b)2=r2,特征：,直接看出圆心与半径,x2y2DxEyF0,由于a,b,r均为常数,结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：,结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：,x2y2DxEyF0,问：是不是任何一个形如x2y2DxEyF0方程表示的曲线是圆呢？,思考:方程表示什么图形?方程表示什么图形?,以(1,-2)为圆心,2为半径的圆.,不表示任何图形.,配方可得：,（3）当D2+E2-4F0时，方程（1）无实数解，所以不表示任何图形。,把方程：x2y2DxEyF0,（1）当D2+E2-4F0时，表示以（）为圆心，以()为半径的圆,（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2y=-E/2，表示一个点（）,所以形如x2y2DxEyF0（D2+E2-4F0）可表示圆的方程,圆的一般方程：,x2y2DxEyF0,圆的一般方程与标准方程的关系：,（D2+E2-4F0）,（1）a=-D/2，b=-E/2，r=,没有xy这样的二次项,（2）标准方程易于看出圆心与半径,一般方程突出形式上的特点：,x2与y2系数相同并且不等于0；,练习1：判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径,（1）x2+y2-2x+4y-4=0,（2）2x2+2y2-12x+4y=0,（3）x2+2y2-6x+4y-1=0,（4）x2+y2-12x+6y+50=0,（5）x2+y2-3xy+5x+2y=0,是,圆心（1，-2）半径3,是,圆心（3，-1）半径,不是,不是,不是,1、AC0,2、B=0,3、D2E24AF0,二元二次方程表示圆的一般方程,思考,(1),的系数相同，且不等于零；,(2)没有xy项；,(3),圆的标准方程与一般方程各有什么优点？,标准方程：明确地指出了圆心和半径；,一般方程：突出了代数方程的形式结构，更适合方程理论的应用,一般式有那些特点？,例1：求过三点A(5,1),B(7,-3),C(2,8)的圆的方程,圆心：两条弦的中垂线的交点,半径：圆心到圆上一点,x,y,O,E,A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),几何方法,方法一：,方法二：待定系数法,待定系数法,解：设所求圆的方程为：,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上,所求圆的方程为,方法三：待定系数法,解：设所求圆的方程为：,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上,所求圆的方程为,例2:求过点的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心.,解:设圆的方程为:,因为都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即,所以,圆的方程为:,练习2:如图,等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4,高为3,求这个等腰梯形的外接圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径长.,3,解:设圆的方程为:,因为A,B,C都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即,圆的方程:,即:,圆心:,半径:,例3已知平面内某动点M到两个定点A(1,1),B(2,-2)的距离相等,求点M的轨迹方程.,求平面内动点的轨迹方程：,（即求线段AB的垂直平分线的方程）,应用举例,例4已知线段AB的端点B（4，3）,端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。,动画,分析：要求动点M点的轨迹方程就是求M的坐标（x,y)中变量x与y之间满足的等式。,点M（x,y)的运动是由点A(x0,y0)在已知圆上运动引起的，点A的坐标满足方程通过建立点M与A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的关系式，就是M的轨迹方程,例4:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.,解:设M的坐标为(x,y),点A的坐标是.,由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点,所以,即:,因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的方程,即:,点M的轨迹方程,轨迹方程求法,练习3、平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一圆上?,分析:常用的判别A,B,C,D四点共圆的方法有,A,B,C三点确定的圆的方程和B,C,D三点确定的圆的方程为同一方程,求出A,B,C三点确定的圆的方程,验证D点的坐标满足圆的方程.,求圆方程的步骤:,1.根据题意,选择标准方程或一般方程.,若已知条件与圆心或半径有关,通常设为标准方程;,若已知圆经过两点或三点,通常设为一般方程;,2.根据条件列出有关a,b,r,或D,E,F的方程组.,3.解出a,b,r或D,E,F代入标准方程或一般方程.,(待定系数法),小结：求圆的方程,几何方法,求圆心坐标（两条直线的交点）（