高中数学 第一章 三角函数 1.4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 浅议诱导公式的推广素材 北师大版必修4（通用）

浅议诱导公式的推广对于绝对值大于2的角的三角函数求值，能否直接套一个公式得出结果？要想解决这个问题，下面首先对诱导公式进行扩展，供同学们参考。一、k(kZ)的诱导公式象限的参数式集合设(0,)，由图1易知，xyO偶-半-偶+偶-奇+奇-偶奇第一象限的角的集合为： |=2k+,kZ=|=偶+第二象限的角的集合为：|=(2k+1)-,kZ=|=奇-第三象限的角的集合为：|=(2k+1)+,kZ=|=奇+第四象限的角的集合为：|=2k-,kZ=|=偶-诱导公式的扩展sin(偶+)=sin, cos(偶+)=cos, tan(偶+)=tan,sin(奇-)=sin, cos(奇-)=-cos, tan(奇-)=-tan,sin(奇+)=-sin,cos(奇+)=-cos, tan(奇+)=tan,sin(偶-)=-sin,cos(偶-)=cos, tan(偶-)=-tan。说明：这一组公式可由诱导公式一二四轻松得出，其中正切诱导公式可由正、余弦公式用商数关系得出。将当锐角看，则由公式左边角的象限确定公式右边的符号，这就叫“符号看象限”。二、半的诱导公式xyO偶-半-+-+-所在象限设(0,)，由图2,则-是第一象限的角；+是第二象限的角；-(或-)是第三象限的角；-+(或+)是第四象限的角。诱导公式的扩展sin(-)=cos, cos(-)=sin,tan(-)=cot,sin(+)=cos, cos(+)=-sin, tan(+)=-cot,sin(-)=-cos,cos(-)=-sin, tan(-)=cot,sin(-+)=-cos,cos(-+)=sin, tan(-+)=-cot。推导举例：sin(-)=sin-+(-)=-sin(-)=-cos，cos(+)=cos-(-)=-cos(-)=-sin，tan(+)=tan2-(-)=-tan(-)=-cot。说明：对于任意角求三角函数值，可先用诱导公式一化为02间的角，再用这组公式求值。用公式时，当锐角看。从两套公式可看出，对k(kZ)的三角函数值，得的同名函数值；对的三角函数值，得的余名函数值。然后再加上一个把当锐角看时原函数值的符号，概括为“半变整不变，符号看象限”。三、典题例示：例1 化简sin(-)。解法一：(常规方法)sin(-)=-sin()=-sin(400+)=-sin(+)=-(-sin)=sin解法二：(扩展方法1) sin(-)=sin(-401-)=sin任意负角的 三角函数任意正角的 三角函数02的角的 三角函数 锐角的 三角函数利用诱导公式 三或一利用诱导公式一利用诱导公式 二或四或五点评：常规方法是利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即也就是“负化正，大化小，化到锐角就行”。扩展方法是把角一步化到“整”形式，直接确定符号，其难点在于化简较常规方法要难。一般地，当角的绝对值大于2时用此法较快。三角函数的化简需将结果化成锐角的三角函数，是特殊角的要求出函数值。例2若sin是方程6x=2-的根，求的值。分析：将当锐角看，-7=-7+是第三象限角，6-是第四象限角，=4-是第四象限角，3-是第二象限角。解：原式=-tan方程6x=2-可变