2020届高三数学一轮复习必备精品：数列

第九章第九章 数列数列 1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并 能根据递推公式写出数列的前几项 2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和的公式，并能解决简单的实 际问题 3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际 问题 数列基础知识 定义 项，通项 数列表示法 数列分类 等差数列 等比数列 定义 通项公式 前n项和公式 性质 特殊数列 其他特殊数列求和 数列 纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的 比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前 n 项和公式的应用是必考内 容，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点 从解题思想方法的规律着眼，主要有： 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、 等比数列中的“知三求二”问题； 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题； 待定系数法、分类讨论等方法的应用 第第 1 课时课时 数列的概念数列的概念 1数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整 数 N*或其子集1，2，3，n的函数 f(n)数列的一般形式为 a1，a2，an，简记为 an，其中 an是数列an的第 项 2数列的通项公式 一个数列an的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式 anf(n)来表示， 基础过关基础过关 知识网络知识网络 考纲导读考纲导读 高考导航高考导航 我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式 3在数列an中，前 n 项和 Sn与通项 an的关系为： n a 2 1 n n an 4求数列的通项公式的其它方法 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法 观察归纳法：先观察哪些因素随项数 n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式， 再取 n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推 关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式 例例 1. 根据下面各数列的前 n 项的值，写出数列的一个通项公式 ，； 31 2 53 4 75 8 97 16 1，2，6，13，23，36，； 1，1，2，2，3，3， 解：解： an(1)n ) 12)(12( 12 nn n an)673( 2 1 2 nn （提示：a2a11，a3a24，a4a37，a5a410，anan113(n2) =3n5各式相加得 )673( 2 1 )43)(1( 2 1 1 )53(10741 1 2 nn nn nan 将 1，1，2，2，3，3，变形为, 2 13 , 2 02 , 2 11 , 2 06 , 2 15 , 2 04 4 ) 1(12 2 2 ) 1(1 1 1 n n n n n a 变式训练变式训练 1.某数列an的前四项为 0，0，则以下各式：22 an1(1)n an 2 2 n )( 11 an )(0 )(2 为为为 为为为 n n 其中可作为an的通项公式的是（ ） AB CD 典型例题典型例题 解解：D 例例 2. 已知数列an的前 n 项和 Sn，求通项 Sn3n2 Snn23n1 解解 anSnSn1 (n2) a1S1 解得：an ) 1(1 )2(32 1 n n n an )2(22 ) 1(5 nn n 变式训练变式训练 2：已知数列an的前 n 项的和 Sn满足关系式 lg(Sn1)n，(nN*)，则数列an的 通项公式为 解：解：当 n1 时，a1S111；当 n2 时，, 110101) 1lg( n n n nn SSnS anSnSn110n10n1910 n1故 an )2(109 ) 1(11 1 n n n 例例 3. 根据下面数列an的首项和递推关系，探求其通项公式 a11，an2an11 (n2) a11，an (n2) 1 1 3 n n a a11，an (n2) 1 1 n a n n 解：解： an2an11(an1)2(an11)(n2)，a112故：a112n，an2n1 an（anan1）（an1an2）（a3a2）（a2a1） a13n13n23331) 13( 2 1 n (3) n n a a n n 1 1 an 1 21 1 1 2 3 2 2 1 1 n n n n a a a a a a a a a n n n n n n nn n1 1 2 1 2 3 变式训练变式训练 3.已知数列an中，a11，an1(nN*)，求该数列的通项公式 2 2 n n a a 解：方法一解：方法一：由 an1得 2 2 n n a a ，是以为首项，为公差的等差数列 2 111 1 nn aa n a 1 1 1 1 a2 1 1(n1),即 an n a 1 2 1 1 2 n 方法二：方法二：求出前 5 项，归纳猜想出 an，然后用数学归纳证明 1 2 n 例例 4. 已知函数2x2x，数列an满足2n，求数列an通项公式)(xf)(log2 n af 解：解：naf n a n a n 222)(log 2 log 2 log 2 得n a a n n 2 1 nnan1 2 变式训练变式训练 4.知数列an的首项 a15前 n 项和为 Sn且 Sn12Snn5（nN*） (1) 证明数列an1是等比数列； (2) 令 f (x)a1xa2x2anxn，求函数 f (x)在点 x1 处导数 f 1 (1) 解：解：(1) 由已知 Sn12Snn5， n2 时，Sn2Sn1n4，两式相减，得： Sn1Sn2(SnSn1)1，即 an12an1 从而 an112(an1) 当 n1 时，S22S115， a1a22a16, 又 a15， a211 2，即an1是以 a116 为首项，2 为公比的等比数列. 1 1 1 n n a a (2) 由(1)知 an32n1 a1xa2x2anxn)(xf a12a2xnanxn1)( xf 从而a12a2nan) 1 ( f (321)2(3221)n(32n1) 3(2222n2n)(12n) 3n2n1(22n) 2 ) 1( nn 3(n1)2n16 2 ) 1( nn 1根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系， 常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等 2由 Sn求 an时，用公式 anSnSn1要注意 n2 这个条件，a1应由 a1S1来确定，最后看 二者能否统一 3由递推公式求通项公式的常见形式有：an1anf(n)，f(n)，an1panq，分别 n n a a 1 用累加法、累乘法、迭代法（或换元法） 第第 2 课时课时 等差数列等差数列 1等差数列的定义： d（d 为常数） 2等差数列的通项公式： ana1 d anam d 3等差数列的前 n 项和公式： Sn 4等差中项：如果 a、b、c 成等差数列，则 b 叫做 a 与 c 的等差中项，即 b 基础过关基础过关 归纳小结归纳小结 5数列an是等差数列的两个充要条件是： 数列an的通项公式可写成 anpnq(p, qR) 数列an的前 n 项和公式可写成 Snan2bn (a, bR) 6等差数列an的两个重要性质： m, n, p, qN*，若 mnpq，则 数列an的前 n 项和为 Sn，S2nSn，S3nS2n成 数列 例例 1. 在等差数列an中， (1)已知 a1510，a4590，求 a60； (2)已知 S1284，S20460，求 S28； (3)已知 a610，S55，求 a8和 S8 解解：(1)方法一： 3 8 3 82 9044 1014 1 145 115 d a daa daa a60a159d130 方法二：，由 anam(nm)da60a45(6045) 3 8 1545 1545 aa mn aa d mn d9015130 3 8 (2)不妨设 SnAn2Bn， 17 2 4602020 841212 2 2 B A BA BA Sn2n217n S28228217281092 (3)S6S5a651015， 又 S6 2 )10(6 2 )(6 161 aaa 15即 a15 2 )10(6 1 a 而 d3 16 16 aa a8a62 d16 S844 2 )(8 81 aa 变式训练变式训练 1.在等差数列an中，a53，a62，则 a4a5a10 解：解：da6a55， a4a5a1049)2(7 2 )(7 5 104 da aa 例例 2. 已知数列an满足 a12a，an2a（n2） 其中 a 是不为 0 的常数，令 bn 1 2 n a a 典型例题典型例题 aan 1 求证：数列bn是等差数列 求数列an的通项公式 解：解： an2a (n2) 1 2 n a a bn (n2) )( 11 1 1 1 2 aaa a a a a aa n n n n bnbn1 (n2) aaaaaa a nn n 11 )( 11 1 数列bn是公差为的等差数列 a 1 b1 aa 1 1 a 1 故由得：bn(n1) a 1 a 1 a n 即： 得：ana(1) aan 1 a n n 1 变式训练变式训练 2.已知公比为 3 的等比数列与数列满足，且， n b n a * ,3Nnb n a n 1 1 a （1）判断是何种数列，并给出证明； n a （2）若，求数列的前 n 项和 1 1 nn n aa C n C 解：解：1），即 为等差数列。 1 1 1 1 3 33,1 3 n nn n a aan nn a n b aa b n a （2）。 11111 111111 ,1 1 nn nnnnnn n CS na aaaaaa 例例 3. 已知an为等差数列，Sn为数列an的前 n 项和，已知 S77，S1575，Tn为数列 n Sn 前 n 项和。求 Tn 解：解：设an首项为 a1公差为 d，由 75 2 1415 15 7 2 67 7 115 17 daS daS 1 2 1 d a Sn nn 2 5 2 1 2 2 5 2 1 n n Sn Tn3 1 1 S nn 4 11 4 1 2 变式训练变式训练 3两等差数列an、bn的前 n 项和的比，则的值是 （ 53 27 n n Sn Sn 5 5 a b ） A B C D 28 17 48 25 53 27 23 15 解：解：B 解析：。 19 559 559 19 9 () 248 2 9 252 () 2 aa aaS bbS bb 例例 4. 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加 1000 美元；二是每半年结束时 加 300 美元问： 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？ 如果在该公司干 10 年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？ 如果第二种方案中每半年加 300 美元改为每半年加 a 美元 问 a 取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？ 解解： 设工作年数为 n（nN*） ，第一种方案总共加的工资为 S1，第二种方案总共加的工资 为 S2则： S11000110002100031000n 500(n1)n S23001300230033002n 300(2n1)n 由 S2S1，即：300(2n1)n500(n1)n 解得：n2 从第 3 年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多 当 n10 时，由得：S1500101155000 S2300102163000 S2S18000 在该公司干 10 年，选第二种方案比选第一种方案多加工资 8000 美元 若第二种方案中的 300 美元改成 a 美元 则an(2n1) nN* 1 2 S a250250 12 ) 1(500 n n 12 250 n3 250 3 1000 变式训练变式训练 4.假设某市 2020 年新建住房 400 万平方米,其中有 250 万平方米是中低价房.预计在 今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房中,中低价 房的面积均比上一年增加 50 万平方米.那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2020 年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方 米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%? 解：解：(1)设中低价房面积形成数列an,由题意可知an是等差数列, 其中 a1=250,d=50,则 Sn=250n+=25n2+225n,50 2 ) 1( nn 令 25n2+225n4750,即 n2+9n-1900,而 n 是正整数, n10. 到 2020 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米. (2)设新建住房面积形成数列bn,由题意可知bn是等比数列, 其中 b1=400,q=1.08,则 bn=400(1.08)n-10.85. 由题意可知 an0.85 bn,有 250+(n-1)50400(1.08)n-10.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数 n=6. 到 2020 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. 1欲证an为等差数列，最常见的做法是证明：an1and(d 是一个与 n 无关的常数) 2a1，d 是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出 a1，d，再求其他的量，但有时运算 较繁 3对等差数列an的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为d 的等 差数列进行求和 4遇到与等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题 第第 3 课时课时 等比数列等比数列 1等比数列的定义：q（q 为不等于零的常数） )( )( 2等比数列的通项公式： ana1qn1 anamqnm 3等比数列的前 n 项和公式： Sn ) 1( ) 1( q q 4等比中项：如果 a，b，c 成等比数列，那么 b 叫做 a 与 c 的等比中项，即 b2 （或 b ） 5等比数列an的几个重要性质： m，n，p，qN*，若 mnpq，则 Sn是等比数列an的前 n 项和且 Sn0，则 Sn，S2nSn，S3nS2n成 数列 若等比数列an的前 n 项和 Sn满足Sn是等差数列，则an的公比 q 例例 1. 已知等比数列an中，a1an66，a2an1128，Sn126，求项数 n 和公比 q 的值 解：解：an是等比数列， a1ana2an1， ，解得或 128 66 1 1 n n aa aa 64 2 1 n a a 2 64 1 n a a 若 a12，an64，则 2qn164 qn32q 由 Sn，126 1 )321 (2 1 )1 ( 1 q q q qa n 解得 q2，于是 n6 若 a164，an2，则 64qn12 典型例题典型例题 基础过关基础过关 归纳小结归纳小结 qnq 32 1 由 Sn126 1 ) 32 1 1 (64 1 )1 ( 1 q q q qa n 解得 q，n6 2 1 变式训练变式训练 1.已知等比数列an中，a1a964，a3a720，则 a11 解：解：64 或 1 由 20 64 73 91 aa aa 20 64 73 73 aa aa 或 q2或 q22， a11a7 q2， a1164 或 a111 4 16 7 3 a a 16 4 7 3 a a 2 1 例例 2. 设等比数列an的公比为 q(q0)，它的前 n 项和为 40，前 2n 项和为 3280，且前 n 项中 数值最大项为 27，求数列的第 2n 项 解解：若 q1，则 na140，2na13280 矛盾， q1 3280 1 )1 ( 40 1 )1 ( 2 1 1 q qa q qa n n 两式相除得：qn81，q12a1 又q0， q1，a10 an是递增数列 an27a1qn1 1 1 21 81 a a 解得 a11，q3，n4 变式训练变式训练 2.已知等比数列an前 n 项和 Sn2n1，an2前 n 项和为 Tn，求 Tn的表达式 解：解：(1) a12a220，公比 q 2 1 1 2 a a 又S4S2， 8 1 将 q代入上式得 a11， 2 1 ana1qn1() n1 (nN*) 2 1 (2) an() n1()4 16 1 2 1 2 1 n5 原不等式的解为 n1 或 n3 或 n5 例例 3. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个 数的和是 16，第二个数与第三个数的和是 12，求这四个数 解：解：设这四个数为 ad，a，ad， a da 2 )( 依题意有： 12 16 )( 2 daa a da da 解得： 或 4 4 d a 6 9 d a 这四个数为 0，4，8，16 或 15，9，3，1 变式训练变式训练 3.设是等差数列的前项和，则等于（ n S n an 66 36,324,144(6) nn SSSn n ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 答案：答案： D。解析：由得，再由 6 324,144 nn SS 12345 180 nnnnnn aaaaaa 。 1 61 () 326,36,324,18 2 n nn n aa SaaSn 例例 4. 已知函数 f(x)(x1)2，数列an是公差为 d 的等差数列，数列bn是公比为 q 的等比 数列(q1)，若 a1f(d1)，a3f(d1)，b1f(q1)，b3f(q1)， (1) 求数列an，bn的通项公式； (2) 设数列cn对任意的自然数 n 均有：，求数列cn前 n 项和 Sn 1 2 2 1 1 ) 1( n n n an b c b c b c 解：解：(1) a1(d2)2，a3d2，a3a12d 即 d2(d2)22d，解之得 d2 a10，an2(n1) 又 b1(q2)2，b3q2，b3b1q2 即 q2(q2)2 q2，解之得 q3 b11，bn3n1 (2) 1 1 34,4) 1( n nnn n n ncnnaan b C SnC1C2C3Cn 4(13231332n3 n1) 设1323332n3 n1 n S 3131232333n3 n n S 21332333 n1n3 n3 nn n S 2 ) 13( 1 n 4 13 3 2 n n n n S Sn2n3n3n1 变式训练变式训练 4.已知等差数列an的首项 a11，公差 d0，且第二项，第五项，第十四项分别是 等比数列bn的第二项，第三项，第四项 求数列an与bn的通项公式； 设数列cn对任意正整数 n，均有，求 c1c2c3c2020 1 3 3 2 2 1 1 n n n a b c b c b c b c 的值 解：解：由题意得（a1d）(a113d)(a14d)2(d0) 解得 d2，an2n1，bn3n1 当 n1 时，c13 当 n2 时， 故 , 1nn n n aa b c )2(32 ) 1(3 1 n n c n n 1 32 n n c 220062007 122007 32 32 32 33ccc 1在等比数列的求和公式中，当公比 q1 时，适用公式 Sn，且要注意 n 表示项 q qa n 1 )1 ( 1 数；当 q1 时，适用公式 Snna1；若 q 的范围未确定时，应对 q1 和 q1 讨论求和 2在等比数列中，若公比 q 0 且 q1 时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最 小项 3若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地 设这四个数，一般是设为 xd，x，xd，再依题意列出方程求 x、d 即可 x dx 2 )( 4a1与 q 是等比数列an中最活跃的两个基本量 第第 4 课时课时 等差数列和等比数列的综合应用等差数列和等比数列的综合应用 1等差数列的常用性质： m，n，p，rN*，若 mnpr，则有 an是等差数列， 则akn (kN*，k 为常数)是 数列 Sn，S2nSn，S3nS2n构成 数列 2在等差数列中，求 Sn的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正 (负)值或 0，而它后面的各项皆取负(正)值 a1 0，d 0 时，解不等式组 可解得 Sn达到最 值时 n 的值 0 0 1n n a a a10 时，解不等式组 可解得 Sn达到最小值时 n 的值 3等比数列的常用性质： m，n，p，rN*，若 mnpr，则有 an是等比数列，则a 、是 数列 2 n n a 1 若 Sn0，则 Sn，S2nSn，S3nS2n构成 数列 例例 1. 是否存在互不相等的三个实数 a、b、c，使它们同时满足以下三个条件： abc6 a、b、c 成等差数列 将 a、b、c 适当排列后成等比数列 解：解：设存在这样的三位数 a，b，c 由 abc6，2bac 得：b2，ac4 若 b 为等比中项，则 ac4， ac2 与题设 ac 相矛盾 若 a 为等比中项，则 a22c，则 ac2(舍去)或 a4，c8 归纳小结归纳小结 典型例题典型例题 基础过关基础过关 若 c 为等比中项，则 c22a，解得 ca2(舍去)或 c4，a8 存在着满足条件的三个数：4，2，8 或 8，2，4 变式训练变式训练 1.若 a、b、c 成等差数列，b、c、d 成等比数列，成等差数列，则 a、c、e 成 1 1 1 , c d e （ ） A等差数列 B等比数列 C既成等差数列又成等比数列 D以上答案都不是 答案：答案：B。解析：由，由，由2, 2 ac bacb 2 2 2 , c cbdd ac 211 , dce ，即成等比数列。 2 2 , acce cae cce , ,a c e 例例 2. 已知公差大于 0 的等差数列满足 a2a4a4a6a6a21，a2，a4，a8依次成等比数列， n a 1 求数列an的通项公式 an 解：解：设的公差为 d(d0)，由 a2，a4，a8成等比数列可知，也成等比数列， n a 1 2 1 a 4 1 a 8 1 a ()2 4 1 a 2 1 a 8 1 a (3d)2(d)(7d) 1 1 a 1 1 a 1 1 a 化简得 d2，d 1 a d 1 1 a 又 a2a4a4a6a6a21 化简为 2 1 a 4 1 a 6 1 a 642 1 aaa 3 4 1 a 62 1 aa 4 1 a 3，即(d)(5d)3 2 1 a 6 1 a 1 1 a 1 1 a 2d6d3 d， 2 1 1 1 a2 1 (n1)d n a 1 1 1 a2 n an n 2 变式训练变式训练 2.已知成等差数列，求证：也成等差数列。 1 1 1 , a b c , bc ac ab abc 解析：解析：由成等差数列，则 1 1 1 , a b c 211 ,2(),acb ac bac 22222 ()()()()2()bcabbcca abbccaabb acacacac acacacacacb 即成等差数列。, bc ac ab abc 例例 3. 已知ABC 中，三内角 A、B、C 的度数成等差数列，边 a、b、c 依次成等比数列求 证：ABC 是等边三角形 解：解：由 2BAC，且 ABC180，B60，由 a、b、c 成等比数列，有 b2ac cosB ac bca 2 222 ac acca 2 22 2 1 得(ac)20， ac ABC 为等边三角形 变式训练变式训练 3.若互不相等的实数、成等差数列，、成等比数列，且abccab ，则= （ ）103cbaa A.4 B.2 C.-2 D.-4 答案：答案： D.解析：依题意有 2 2 , , 310. acb bca abc 4, 2, 8. a b c 例例 4. 数列an的前 n 项和 Sn，且 a11，an1Sn，n1，2，3 3 1 求： a2、a3、a4的值及an的通项公式； a2a4a6a2n的值. 解析：解析：(1)由 a11，an1Sn，n1，2，3，得 a2S1a1，a3S2(a1a2) 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 ，a4S3(a1a2a3) 9 4 3 1 3 1 27 16 由 an1an(SnSn1)an(n2)，得 an1an(n2)，又 a2，an()n2(n2) 3 1 3 1 3 4 3 1 3 1 3 4 an通项公式为 an 2) 3 4 ( 3 1 11 2 n n n (2) 由(1)可知 a2、a4、a2n是首项为，公比为()2，项数为 n 的等比数列. 3 1 3 4 a2a4a6a2n 3 1 2 2 ) 3 4 (1 ) 3 4 (1 n ()2n1 7 3 3 4 变式训练变式训练 4.设数列的前项的和， n an 1 412 2 333 n nn Sa .3 , 2 , 1n 求首项与通项。 1 a n a 解析：解析：（I），解得：1 2a 2 111 412 2 333 aSa 21 111 441 22 333 nn nnnnn aSSaa 1 1 242 nn nn aa 所以数列 2n n a 是公比为 4 的等比数列 所以： 11 1 224 nn n aa 得： 42 nn n a （其中 n 为正整数） 1在三个数成等差（或等比）时，可用等差（或等比）中项公式；在三个以上的数成等差 （或等比）时，可用性质：m、n、p、rN*，若 mnpr，则 amanapar（或 amanapar）进行解答 2若 a、b、c 成等差（或等比）数列，则有 2bac（或 b2ac） 3遇到与三角形相关的问题时，一般要注意运用正弦定理（或余弦定理）及三角形内角和 等于 180这一性质 4在涉及 an与 Sn相关式子中用 Sn1和 Sn的关系表示 an时应该注意“n2”这个特点 第第 5 课时课时 数列求和数列求和 求数列的前 n 项和，一般有下列几种方法： 1等差数列的前 n 项和公式： Sn 2等比数列的前 n 项和公式： 当 q1 时，Sn 当 q1 时，Sn 3倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加主要用于倒序相加后对应项之和有 公因子可提的数列求和 4错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 5裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列 例例 1. 已知数列：1，求它的前 n 2 1 1 4 1 2 1 1 8 1 4 1 2 1 1 1 2 1 4 1 2 1 1 n 项的和 Sn 解：解： an1 2 1 4 1 1 2 1 n an2 n n 2 1 12 2 1 1 2 1 1 1 2 1 n 则原数列可以表示为： (21)， 2 1 2 2 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 n 前n项和Sn(21) 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 n 2n 12 2 1 2 1 2 1 1 n 典型例题典型例题 基础过关基础过关 归纳小结归纳小结 归纳小结归纳小结 2n2n2 2 1 1 2 1 1 n n 2 1 1 2n2 1 2 1 n 变式训练变式训练 1.数列前 n 项的和为 （ ）, 16 1 4 , 8 1 3 , 4 1 2 , 2 1 1 A B 22 1 2 nn n 1 22 1 2 nn n C D 22 1 2 nn n 22 1 2 1 nn n 答案答案:B。解析： 2 111(1)1 12341 22222 n nn n n Sn 例例 2. 求 Sn1 21 1 321 1 n.321 1 解解： an n321 1 ) 1( 2 nn 2() n 1 1 1 n Sn2(1) 2 1 2 1 3 1 n 1 1 1 n1 2 n n 变式训练变式训练 2：数列an的通项公式是 an，若前 n 项之和为 10，则项数 n 为（ ） 1 1 nn A11 B99 C120 D121 解：解：C .an， 1 1 nn nn1 Sn，由10，11，11n11n1n n11 例例 3. 设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn，bnan2n，求数列bn的前)() 2 1 ( *2 Nn an n 项和 Tn 解：解：取 n1，则 a1a11 21 ) 2 1 ( a 又 Sn可得： 2 )( 1n aan 2 )( 1n aan 2 ) 2 1 ( n a an1(nN*) an2n1 Tn12322523(2n1)2n 2Tn122323524(2n1)2n1 得： Tn22324252n1(2n1)2n1 2(2n1)2n16(1n)2n2 21 )21 (2 13 n Tn6(n1)2n2 变式训练变式训练 3.设数列an的前 n 项和为 Sn2n2，bn为等比数列，且 a1b1，b2(a2a1)b1. 求数列an和bn通项公式 设 Cn，求数列Cn前 n 项和 Tn n n b a 解：解：（1）当 n1 时 a1S12，当 n2 时，anSnSn14n2，故an通项公式为 an4n2，即an是 a12，d4 的等差数列，设bn的公比为 q，则 b1qdb1，d4， q，故 bnb1qn1 4 1 1 4 2 n （2）Cn n n b a 1 4) 12( 14 2 24 n n n n TnC1C2Cn134542（2n1）4n1 4Tn14342543（2n3）4nn（2n1）4n 两式相减 3Tn 54)56( 3 1 n n Tn54)56( 9 1 n n 例例 4. 求 Sn1!22！33！nn！ 解：解： annn!(n1)!n! Sn(n1)!1!(n1)!1 变式训练变式训练 4.以数列an的任意相邻两项为坐标的点 Pn(an、an1)均在一次函数 y2xk 的图 象上，数列bn满足条件：bnan1an，且 b10 求证：数列bn为等比数列 设数列an、bn的前 n 项和分别为 Sn、Tn，若 S6T4，S59，求 k 的值 解：解：由题意，an12ank bnan1an2ankanank bn1an1k2an2k2bn b10， 2 n n b b 1 bn是公比为 2 的等比数列 由知 anbnk bnb12n1 Tn) 12( 21 )21 ( 1 1 n n b b Sna1a2an(b1b2bn)nk Tnnkb1(2n1)nk 9 5 46 S TS 9531 15663 1 11 kb bkb 解得：k8 归纳小结归纳小结 1求和的基本思想是“转化”其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的 方幂和，从而可用基本求和公式；其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的 和 2对通项中含有(1)n的数列，求前 n 项和时，应注意讨论 n 的奇偶性 3倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前 n 项和用到的方法，在复习 中应给予重视 数列章节测试题数列章节测试题 一、选择题：一、选择题： 1数列则是该数列的（ ）2, 5,2 2, 11,2 5 A第 6 项 B第 7 项 C第 10 项 D第 11 项 2方程的两根的等比中项是（ ） 2 640 xx A B C D3262 3已知等差数列满足，则它的前 10 项的和（ ） n a 24 4aa 35 10aa 10 S A138B135C95D23 4、已知等比数列的前三项依次为，则 n a1a1a4a n a A B C D 3 4 2 n 2 4 3 n 1 3 4 2 n 1 2 4 3 n 5一个有限项的等差数列，前 4 项之和为 40，最后 4 项之和是 80，所有项之和是 210，则 此数列的项数为（ ） A12 B C16 D1814 6、若等差数列的前 5 项和，且，则（ ） n a 5 25S 2 3a 7 a （A）12 （B）13 （C）14 （D）15 7、在数列中， ，则 （ ） n a 1 2a 1 1 ln(1) nn aa n n a A B C D2lnn2(1)lnnn2lnnn1lnnn 8两等差数列an、bn的前 n 项和的比，则的值是（ ） 53 27 n n Sn Sn 5 5 b a A B C D 28 17 23 15 53 27 48 25 9an是等差数列，则使的最小的 n 值是（ ） 1011 0,0SS0 n a A5 B C7 D86 10、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案 则第个图案中有白色地面砖的块数是（ ）n 第 1 个第 2 个第 3 个 A. B.33n42n C.D. 24n42n 11.若数列前 100 项之和为 0，则的值为（ ） 2233 1,2cos ,2 cos,2 cos, A. B. C. D.以上的答案均不对() 3 kkZ 2() 3 kkZ 2 2() 3 kkZ 12.设 2a=3,2b=6,2c=12,则数列 a,b,c 成 A.等差 B.等比 C.非等差也非等比 D.既等差也等比 二、填空题二、填空题 13、设 Sn是等差数列an的前 n 项和，a12=-8,S9=-9,则 S16= . 14、由正数构成的等比数列an，若，则 132423 249aaa aa a 23 aa 15已知数列的前项和为某三角形三边之比为，则该三角形最大 n an 2, n Sn 234 :aaa 角为 16、给定（nN*） ，定义乘积为整数的 k（kN*）叫做“理想 (1) log(2) nn an 12k aaa 数”，则区间1，2020内的所有理想数的和为 三、解答题三、解答题 17、已知函数是一次函数，且成等比数列，设，( )f x(8)15,f(2),(5),(14)fff( ) n af n ()（1）求；（2）设，求数列的前