2020届高三数学下学期第二次调研考试试题 文（含解析）

2020学年度下学期高三年级二调考试数学(文科)试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，则AB= （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】略2.已知（i是虚数单位，），则A. B. 3C. 1D. 【答案】D【解析】 由题意，即，所以，所以，故选D.3.已知是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】D【解析】 由题意，A中，若，则或与异面，所以不正确； B中，若，则或与相交或异面，所以不正确； C中，若，则或与平面斜交或平行，所以不正确； D中，若，则是正确的，故选D.4.在下列双曲线方程中，表示焦点在y轴上且渐近线方程为的是A. B. C. D. 【答案】C【解析】 由题意，该双曲线的焦点在轴上，排除A、B项； 又方程的渐近线方程为，而方程的渐近线方程为，故选C.5.某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示：根据表中数据得，断定秃发与患有心脏病有关，那么这种判断出错的可能性为A. 0.1B. 0.05C. 0.01D. 0.001【答案】D【解析】 由题意，根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为，故选D.6.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是A. B. C. D. 4【答案】D【解析】 由题意，执行如图所示的程序框图，可得： 第一次循环：满足条件，；第二次循环：满足条件，；第三次循环：满足条件，； 第八次循环满足条件，此时再循环时，不满足判断条件，输出，故选D.7.函数满足，且，则的一个可能值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 由题意，函数，且，可得函数关于点对称，又由，可得函数关于对称， 所以，即，所以，所以，当时，故选B.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是A. 9B. C. 18D. 27【答案】A【解析】 由给定的三视图可知，该几何体表示一个三棱锥，其中底面为一个底边长为，高为的等腰三角形，且三棱锥的高为， 所以三棱锥的体积为，故选A.9.关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如注明的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，假如统计结果是，那么可以估计的值约为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 由题意，对都小于的正实数，满足，面积为， 两个数能与构成钝角三角形的三边的数对，满足且， 面积为， 因为统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数为， 则，所以，故选B.10.函数在点处的切线斜率为，则的最小值是（ ）A. 10B. 9C. 8D. 【答案】B【解析】 由函数，所以， 由函数的图象在点处的切线斜率为，所以， 所以 （当且仅当，即时等号成立）所以的最小值为，故选B.11.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e21的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 设椭圆和双曲线的半焦距为， 由于是以为底边的等腰三角形，若，即有， 由椭圆的定义可得， 由双曲线的定义可得，即有， 再由三角形的两边之和大于第三边，可得，则，即有， 由离心率公式可得， 由于，则由，则， 所以的取值范围是，故选B. 点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)12.已知定义在R上的函数满足，且恒成立，则不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】 令，则，即为，即 设，则， 因为对于任意的，都有成立， 所以对任意，都有，所以为单调递增函数， 且，所以的解集为， 即，即 所以不等式的解集为，故选D.点睛：本题考查了函数的综合应用问题，以及不等式的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，对于与函数有关的不等式的求解问题：通常是代入函数的解析式，直接求解不等式的解集，若不等式不易解或不可解，则将问题转化为构造新函数，利用新函数的性质单调性与奇偶性等，结合函数的图象求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量满足，则向量所成的角为_.【答案】.【解析】 由题意， 则，解得， 所以由向量的夹角公式可得，且，所以.14.已知实数满足约束条件，则实数z的最大值是_.【答案】.【解析】 作出不等式组所表示平面区域，如图所示， 目标函数可化为， 则直线在轴上的截距最小值时，此时取得最大值， 由，解得， 代入可得目标函数的最大值.15.已知是抛物线上的动点，点是圆上的动点，点是点在轴上的射影，则的最小值是_【答案】3.【解析】根据抛物线的定义，可知，而的最小值是，所以的最小值就是的最小值，当三点共线时，此时最小，最小值是 ，所以的最小值是3.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题，考查了转化与化归能力，圆外的点和圆上的点最小值是点与圆心的距离减半径，最大值是距离加半径，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，这样转化后为抛物线上的点到两个定点的距离和的最小值，即三点共线时距离最小.16.在中，角A,B,C所对的边分别为，则实数a的取值范围是_.【答案】.【解析】 由， 得，所以， 则由余弦定理， 得，解得，又， 所以的范围是.点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知数列的前n项和为，且对任意正整数n都有.（1）求证：为等比数列.（2）若，求数列的前n项和.【答案】(1)见解析；（2）.【解析】分析：（1）当时，当时，利用，得到，即可得到数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）知，若，得，可化简得，利用裂项法即可求数列的前项和.解析：(1)证明：当时，解得，当时，所以，所以数列表示首项，公比为的等比数列.（2）由（1）知，若时，则，所以，所以.点睛：本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“裂项法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.18.（12分）炼钢是一个氧化降碳的过程，由于钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，因此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.现已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y（从炉料熔化完毕到出钢的时间）的一组数据，如下表所示：（1）据统计表明，之间具有线性相关关系，请用相关系数r加以说明（ ，则认为y与x有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系，r精确到0.001）；（2）建立y关于x的回归方程（回归系数的结果精确到0.01）；（3）根据（2）中的结论，预测钢水含碳量为160个0.01%的冶炼时间.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关系数参考数据：，.【答案】（1）可以认为y与x有较强的线性相关关系.（2）.（3）大约需要.【解析】分析：（1）由相关系数公式，可求得的值，即可认为与有较强的线性相关关系；（2）由回归系数的公式求得的值，进而得到，即可得到回归直线方程；（3）代入，求得的值，即可得到预测.解析：（1）由题意，所以可以认为与有较强的线性相关关系；（2）因为，所以回归直线方程为.（3）当时，即大约需要冶炼.点睛：本题主要考查了回归直线分析的应用，其中根据最小二乘法，及回归系数的公式，作出准确计算是解答的关键，着重考查了学生实际问题的应用意识，以及推理与计算能力.19.（12分）如图，四边形ABCD为梯形，AB/CD，平面ABCD，为BC的中点.（1）求证：平面平面PDE.（2）在线段PC上是否存在一点F，使得PA/平面BDF？若存在，指出点F的位置，并证明；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析.（2）当点位于线段的三等分点（靠近点P时）满足条件.【解析】分析：（1）连接，由题意得，又由为的中点，得到，进而得到，利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用面面垂直的判定定理，即可证得平面平面；（2）取线段的三等分点，连接交于点，连接，进而得到，再利用线面平行的判定定理，即可证得平面.解析：(1)证明：如图，连接，由题意，所以，因为为的中点，所以，又平面平面，所以，又,所以平面 ，又平面，所以平面平面.(2)当点位于线段的三分之一分点（靠近点）时，平面，证明如下：如图，连接交于点，连接，因为，所以，因为，所以，即 ，又，所以，又平面平面，所以平面.点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直20.（12分）在平面直角坐标系中，点到点的距离之和为4.（1）试求点A的M的方程.（2）若斜率为的直线l与轨迹M交于C,D两点，为轨迹M上不同于C，D的一点，记直线PC的斜率为，直线PD的斜率为，试问是否为定值.若是，求出该定值；若不同，请说出理由.【答案】（1）.（2）定值.【解析】分析：（1）由椭圆的定义，得到点的轨迹是椭圆，即可求得的值，从而得到椭圆的方程；（2）设直线的方程，联立方程组，得到，利用斜率公式得到，即可化简利用为定值.解析：（1）由题意，则，故椭圆的定义知点的轨迹是椭圆，且，则，所以轨迹的方程为 .（2），理由如下：设直线的方程为，联立 ，得，当时，直线与椭圆有两个交点，且，因为，所以，所以（定值）.点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.（12分）已知函数（1）当时，判断函数的单调性；（2）若函数处取得极大值，求实数a的取值范围.【答案】（1）在上单调递减.（2）.【解析】分析：（1）由时，求得，令，求得，利用求得的单调性，又由，得到，进而得到函数的单调性；（2）由，求得，令，求得且，可分和和三种情况分类讨论，得到函数在处取得最大值，进而求得实数的取值范围.解析：（1）当时，则 ，设，则，当时，时，所以函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，又，所以当时，即，所以函数在区间内单调递减.（2）由已知得，则，记，则，且，若，则当时，所以函数在区间内单调递增，且当时，即，当时，即，又，所以函数在处取得极小值，不满足题意.若，则，当时，故函数在区间内单调递增，且当时，即，当时，即，又，所以函数在处取得极小值，不满足题意.当时，则，由（1）知函数在区间内单调递减，故函数在区间内单调递减，不满足题意，当时，当，即，故函数在区间内单调递减，且当时，即，当时，即，又，所以在处取得极大值，满足题意，综上，实数的取值范围是.点睛：本题主要考查导数在函数中综合应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解，及函数的综合问题问题，同时注意数形结合思想的应用.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任