高一数学函数y=Asin（ωx+φ）的图像北师大版知识精讲

高一数学函数y=Asin（x+）的图像北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：函数y=Asin（x+）的图像五点作图法； 平移变换作图法；伸缩变换作图法；对称变换作图法；yAsin（x）的图像与性质二、学习目标1、了解五点法作yAsin（x）图像的特点及一般步骤；2、理解函数式yAsin（x）中各个字母A、x的意义；3、了解图像变换（平移、伸缩、对称）作图的一般步骤，能够在函数yAsin（x）和函数y=sinx之间进行图像变换。三、知识要点1、五点作图法作yAsin（x）图像的一般步骤及特征将yAsin（x）与函数y=sinx进行对照。两个步骤：作出一个周期内的草图；三个零点：令x=0，2两个最值点：令x=，利用函数周期性拓展到定义域上。2、平移变换作图（0）加负减正（即在未知数上加，则向对应坐标轴的负方向平移；在原坐标上减，则向对应坐标轴的正方向平移），具体操作如下：将原图像向左平移个单位；：将原图像向右平移个单位；：将原图像向下平移个单位；：将原图像向上平移个单位。【说明】注意上述变换的逆向变换3、伸缩变换作图（）乘缩除伸（即在未知数前乘以，则将相应坐标变为原来的倍；在未知数前除以，则将相应坐标变为原来的倍）：保持纵坐标不变，每一点的横坐标变为原来的倍；：保持纵坐标不变，每一点的横坐标变为原来的倍；：保持横坐标不变，每一点的纵坐标变为原来的倍；：保持横坐标不变，每一点的纵坐标变为原来的倍；【说明】注意上述变换的逆向变换4、对称变换作图所有对称变换均转化为点与点对称关于直线对称：关于直线对称：关于点对称：关于直线对称：关于直线对称：关于直线对称：垂直（）平分（中点坐标满足直线方程）5、由y=sinx作yAsin（x）（A0，0，0）的图像先平移再伸缩6、函数yAsin（x）（A0，0，0）的性质与函数y=sinx类比A振幅；x相位；初相；频率周期性：单调性：可解得其单调增区间；可解得其单调减区间；对称性：由可解得其对称中心的横坐标（纵坐标为0）；由可解得其对称轴方程。最值：（最大值点的横坐标由可解）；（最大值点的横坐标由可解）零点：零点的横坐标由可解。四、考点解析与典型例题考点一 五点法作三角函数的图像例1、用五点法作函数的草图【分析】先作出一个周期内的草图；利用周期性延伸到整个定义域【解】先作一个周期内的草图：令可得五个点：；然后描点得出一个周期内的函数的草图；利用周期性延伸到整个定义域例2、用五点法作函数的草图【分析】对比函数。【解】分别令，故这五个点分别为：，描点即得一个周期内的该函数的草图，然后拓展到整个定义域上。考点二 平移变换作函数草图例3、由函数作出的草图。【解】将的图像向右平移个单位即可。例4、由函数作出的草图。【解】，故只需将的图像向上平移1个单位即可。考点三 伸缩变换作函数草图例5、由函数的图像作出函数的草图。【解】保持函数图像上每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半即可。例6、由函数的图像作出函数的草图。【解】由于，故保持函数图像上每点的横坐标不变，纵坐标变为原来的两倍即可。考点四 对称变换作函数的草图例7、求函数的对称中心坐标和对称轴方程。【解】令，故得对称中心坐标为（，0）；令，故得对称轴方程为。例8、求函数的草图。【解】先作出的图像，然后保持x轴上方的图像不变，将x轴下方的图像对称地翻折上去，即得的草图。考点五 函数yAsin（x）的性质例9、求函数y5sin（4x3）的周期、对称中心坐标、对称轴和单调区间。【解】周期：；对称中心：令对称轴：令单调区间：解即为单调增区间；解即为单调减区间五、数学思想方法本讲主要研究三角函数作图的常用方法（五点法、平移变换、伸缩变换、对称变换）以及函数yAsin（x）的图像与性质，学习中一要掌握描点作图（五点法）的特征点和变换作图（平移、伸缩、对称）的一般规律，其次要注意类比思想在本讲学习中的重要地位，对于函数而言，同一位置的量（或式）具有同一地位（取值和范围），因此学习中常常将yAsin（x）中的x视为y=sinx中的x进行类比；第三还要注意数形结合的思想方法。【模拟试题】（答题时间：70分钟）一、选择题1、为得到函数的图像，只需将函数的图像A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度2、把函数（）图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是A. ， B. ，C. ， D. ，3、在同一平面直角坐标系中，函数的图像和直线的交点个数是A. 0 B. 1 C. 2 D. 44、已知函数y=2sin（x+）（0）在区间0，2内的图像如下：那么=A. 1B. 2C. D. 5、函数在区间内的简图是 6、已知函数的最小正周期为，则该函数的图像A. 关于点对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于直线对称7、已知简谐运动的图像经过点（0，1），则该简谐运动的最小正周期和初相分别为A. B. C. D. 二、填空题8、函数的图像为，如下结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号）. 图像关于直线对称；图像关于点对称；函数在区间内是增函数；由的图像向右平移个单位长度可以得到图像. 9、的最小正周期为，其中，则= . 三、解答题10、函数的一部分图像如图所示，（1）求此函数的解析式；（2）将（1）中的函数图像如何变化才能得到函数的图像。11、函数 y=sin（2x+）的图像可由函数y=sinx 的图像怎样变换得到？12、已知函数f（x）=logacos（2x）（其中a0，且a1）. （1）求它的定义域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求它的最小正周期. 13、已知函数y=3sin（x）.（1）用“五点法”作出该函数的图像；（2）说出此图像是由y=sinx的图像经过怎样的变化得到的；（3）求此函数的周期、振幅、初相；（4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间.试题答案一、选择题题号1234567答案ACCBAAD二、填空题8、9、10三、解答题10、解：（1）依题意知，将点代入 得，又，所以，所求函数解析式为；（2）先把函数的图像的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）， 得函数的图像，再把函数上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图像，最后将图像上所有的点的纵坐标缩短为原来的倍（横坐标不变），得到函数的图像。 11、解：y=sin（2x+）=sin2（x+）先向左平移个单位长度，横坐标再缩小到原来的一半即可得到.12、解：（1）要使f（x）有意义，需满足cos（2x）0 2k2x2k+ kx2k+ f（x）的定义域为x|kx1时，f（x）的单调增区间是（k+， k+）（kZ）单调减区间是（k， k+） （kZ）当0a1时，f（x）的单调增区间是（k，k+） （kZ）单调减区间是（k+， k+） （kZ）（3） f（x）=logacos2x=loga（2x+） f（x）f（x） 且f（x）f（x）f（x） 不具有奇偶性。（4）f（x）是周期函数，最小正周期是.13、解：（1）如图：（2）“先平移，后伸缩”.先把y=sinx的图像上所有的点向右平移个单位长度，得到y=sin（x）的图像；再把y=sin（x）图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x）的图像；最后将y=sin（x）图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin（x）的图像.（3）周期T=4，振幅A=3，初相是.（4）由于y=3sin（x）是