高代这是真的这不是梦高代char5III

,第5章矩阵的相合与相似,机动目录上页下页返回结束,第5章,5.1欧氏空间5.2正交化5.3二次型5.4实对称方阵相合标准形5.5特征向量与相似矩阵,第5章矩阵的相合与相似,机动目录上页下页返回结束,第5章,5.6正交相似5.7更多例子5.8若当标准型,5.6正交相似,机动目录上页下页返回结束,第5章,在n维欧氏空间V中任取一组基M=1,n,设V的内积在这组基下的度量矩阵为A=(sij)nxn,其中sij=(i,j),(1i,jn).则任意,的内积可以由它们的在基M下的坐标X,Y按公式(,)=XTAY算出来.,矩阵的相合,一般地,设M1=1,n,是V的另外一组基,V的内积在这组基下的度量矩阵为B=(bij)nxn,其中bij=(i,j),(1i,jn).要计算出内积在基M1下的度量矩阵B,只要算出M1中任意两个基向量的内积(i,j).由向量在基M下的坐标X,Y计算内积的公式,就可以利用这个公式来计算(i,j).,过渡矩阵P的各列P1,Pn依次是M1的各向量1,n在基M下的坐标.因此(i,j)=PiTAPj将这些(i,j)排成矩阵B,就得到,定理同一个内积在两组基M,M1下的度量矩阵A,B相合:B=PTAP,其中P是基M到M1的过渡矩阵.,由于欧氏空间内积的对称性和正定性,内积在任一基M=1,n下的矩阵S是正定实对称方阵,因此S相合于单位阵I.也就是说存在可逆实方阵P使PTSP=I.,例4设3维欧氏空间V在基1,2,3下的度量矩阵为,求V的一组标准正交基。,解：将S合同到单位阵,得到,使得PTSP=I,取(1,2,3)=(1,2,3)P即可.,标准正交基之间的过渡矩阵,定义5.2.3设A是n阶实方阵,若AT=A-1,则称A是正交矩阵(orhtogonalmatrix).,命题:欧氏空间标准正交基之间的过渡矩阵为正交矩阵.如果标准正交基M到另一组基M1的过渡矩阵为正交矩阵，则M1也标准正交基。,命题:P为正交矩阵当且仅当P的列向量组是Rnx1的标准正交基当且仅当P的行向量组是R1xn的标准正交基.,例A为可逆实方阵.证明:存在可逆上三角阵T使得A=TP,其中P正交。,证明:S=ATA正定实对称,存在可逆上三角阵T使得TTST=I,令P=AT正交，则A=PT-1.,定义:设S1,S2为欧氏空间中的向量组，如果就称S1S2.对V的任意子集S,记S=V|S.,定理:(1)设S1,S2为欧氏空间V中的向量组,则S1S2iffV(S1)V(S2).(2)设S为欧氏空间V中的向量组,S=V(S)S.(3)设W为欧氏空间V中的子空间,则V=WW.,定义:设V和U是数域F上的内积空间,F是实数域或复数域,:VU为线性(同构)映射.若对任意的x,yV有(x),(y)=(x,y),则称是VU的保持内积的线性映射.(同构映射,V,U是同构的),定理:设V和U是的同构殴氏空间iffdimU=dimV.,正交变换,在平面几何中,我们十分关心图形的全等,关心保持图形全等的变换.所谓保持图像的全等,就是变换前后的长度、角度保持不变.而在建立了直角坐标系的平面R2上,长度和角度都可以由内积来计算,因此,只要变换前后的内积保持不变,就保持了图形的全等,这也可以推广到一般的欧式空间.,定义5.6.1欧氏空间V上的线性变换如果保持向量的内积不变，也就是(x),(y)=(x,y),对所有的x,yV成立，就称是V上的正交变换.,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,定义:设A,B是n阶实矩阵,若存在正交矩阵P,使得B=PTAP=P-1AP成立，则称A与B正交相似.,引理:设殴氏空间V上的线性变换是正交变换，W是的不变子空间，则W也是的不变子空间.,推论:设W正交变换A的不变子空间，W的标准正交基扩充为V的标准正交基，则A在该标准正交基下的矩阵为准对角，且每个块为正交矩阵.,定理:设n阶正交方阵A的全部特征值cosk+isink(1ks),1(t-multi),-1(n-s-tmulti).则A正交相似于如下标准型B=diag(A1,As,I(t),-I(n-s-t),其中,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,例1在三维空间直角坐标系下，方程x2+y2+z2-2xy-2yz-2xy=2的图像是什么曲面？,问题分析：设x,y,z轴正方向上的单位向量是e1=(1,0,0)T,e2=(0,1,0)T,e3=(0,0,1)T,它们组成三维空间V=R3x1(由实数域R上的全体三维列向量组成)中的一组右手系标准正交基。另外选取右手系标准正交基w1,w2,w3决定一个新的直角坐标系。,设两组基之间的过渡矩阵为P:(w1,w2,w3)=(e1,e2,e3)P则P是正交方阵且|P|=1.任一点在原来的坐标系下的坐标(x,y,z)T与它在新坐标系下的坐标(x,y,z)T之间有坐标变换公式,原方程的左边是的一个二次型：,其中,经过坐标变换后成为：其中S1=PTSP.如果能选择P使S1=PTSP等于一个对角阵diag(1,2,3),则Q(x,y,z)=1x2+2y2+3z2.曲面在新坐标系下的方程为1x2+2y2+3z2=2,由1,2,3的值就可以知道曲面的形状。,以下就来看是否可以选取满足条件|P|=1的正交方阵P使S1=PTSP为对角阵diag(1,2,3)。,假如这样的正交方阵P存在,则由PT=P-1知PTSP=P-1SP=diag(1,2,3),也就是说S相似于对角阵,对角元1,2,3就是S的三个特征值,而P的三列w1,w2,w3分别是属于特征值1,2,3的特征向量,它们同时又应当是R3的一组标准正交基。因此，我们分三个步骤进行：,算法5.6.1(实对称方阵正交相似到对角阵)设A是n阶实对称方阵.求A的特征值,一定为实数;分别求出属于各特征值的特征子空间的一组基;每个特征子空间的基经过正交化和单位化得到一组右手系标准正交基,所有特征子空间的基构成Rn的一组基;依次以上述基向量为各列组成正交矩阵U.则D=UTAU=U-1AU为对角阵,对角元为A的全部特征值.,机动目录上页下页返回结束,例1的解答：,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,引理5.6.1实对称方阵的特征值全部是实数.,机动目录上页下页返回结束,定理5.6.1任意实对称方阵S正交相似于对角矩阵D=P-1SP,其对角元就是S的全体特征值。,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,推论:设Q为n维欧氏空间V上的二次型，则Q在V的适当的标准正交基M下可以写成唯一的标准型Q()=1x12+txt2,其中X=(x1,xn)T为在M下的坐标,1,t为Q的全部非零特征值：1t.,欧氏空间上的二次型Q()在标准正交基下的标准形Q()=1x12+txt2称为二次型Q()的主轴形式(principalaxisform)。,推论:设S为实对称方阵,则下列命题等价:S正定;S的特征值全部大于0;存在正定实对称方阵S1使得S=S12.,推论:设S为实对称方阵,则下列命题等价:S半正定;S的特征值全部大于或等于0;存在半正定实对称方阵S1,rankS1=rankS使得S=S12.,对于半正定对称方阵有类似结论。,机动目录上页下页返回结束,5.8若当标准型,机动目录上页下页返回结束,第5章,定义5.8.1设a是任意复数,m是任意正整数,形如的m阶方阵称为若当块(Jordanblock),记作Jm(a),其中m表示它的阶数,a是它的对角线元素,也就是它的特征值.如果一个方阵J是准对角阵,并且所有的对角块都是若当块,就称这个准对角阵为若当形矩阵(matrixofJordantype).,例:试将矩阵相似到Jordan型矩阵.,解:A的特征多项式为A()=(-1)2(-2).得到A的特征值1,2.对特征值1,解方程组(A-I)X=0即,求得一个解X1=(1,-1,0)T组成基础解系,也就是特征子空间V1的一组基.,对特征值2,解方程组(A-2I)X=0即求得一个解X2=(2,0,1)T组成基础解系,也就是特征子空间V2的一组基.,X1,X2是特征向量集合的一个极大线性无关组,它不是空间V=C3x1的基,因此A不能对角化.,设法补充一个满足条件(A-I)X3=X1的向量X3使X1,X2,X3组成V的基.为此,解方程组(A-I)X=X1即,求得一个解X3=(-1,0,-1)T.易验证以X1,X2,X3为各列组成的矩阵可逆,因而X1,X2,X3是V的一组基.,例1,(1)如果A相似于某个若当形矩阵J,求J.J是否由A唯一决定?(2)试选择适当的可逆方阵P使P-1AP是Jordan形.(3)求A的最小多项式.,解:(1)求出A的特征多项式A()=(+1)3,特征值为0(1重),-1(3重),也就是0,-1,-1,-1.,其中的*等于1或者0.由,的秩可以确定其中两个*中到底有几个等于1.设P-1AP=J,则P-1(A+I)P=J+I,因此容易验证rank(J+I)=rank(A+I)=2.故两个*中一个等于1,另一个等于0.,(2)对特征值0,解方程组AX=0得一个基础解X1=(-1,3,1,-2)T组成特征子空间V0=kerA的基.对特征值-1,先解方程组(A+I)X=0即,求得基础解为X2=(1,-1,0,0)T,X3=(1,0,0,-1)T组成特征子空间V-1=ker(A+I)的基.,如果两个Jordan形矩阵只是Jordan块的顺序不同,我们认为它们实质上是相同的.在这个意义上,J由A唯一决定.,再解方程组(A+I)2X=0即,显然(A+I)X=0的两个基础解X2,X3也是(A+I)2X=0的解.除此之外还需要找出另外一个解X4,满足条件(A+I)2X4=0,(A+I)X40.易见X4=(1,0,-1,0)T满足条件.X2,X3,X4是ker(A+I)2的一组基.Y2=(A+I)X4=(0,-1,0,1)Tker(A+I)且Y2,X3线性无关,组成一组基取代X2,X3.得到ker(A+I)2的基Y2,X3,X4.,我们有,P=(X1,Y2,X4,X3)为所求可逆方阵.,(3)A相似于若当形矩阵J.因此J的最小多项式就是A的最小多项式.J的最小多项式就是3个若当块的最小多项式的最小公倍式.所以dA()=(+1)2.,定理:设复方阵A相似于若当形矩阵J.则对A的每个特征值i,(1it),可以利用等式,来确定J中属于特征值i的各若当块的阶mi1,miki,从而确定J.具体公式为:,计算rk=rank(A-iI)k,并约定r0=n.计算dk=rk-1-rk,(k1),则dkdk+1.计算k=dk-dk+1,(k1).则:J中的k阶若当块Jk(i)共有k个.,证明：设,是A的不同,的特征值.,其中,每个,是主对角线元全为,的上三角形矩阵，秩始终为,因此,推论:如果复方阵A相似于若当形矩阵J,则:除了各而当块的排列顺序可以任意改变,J由A唯一确定.,定理:线性变换A:VV的属于不同的特征值i,(1it),的特征子空间的和是直和:,定义:设A:VV是线性变换.如果V的子空间W被A的作用映到W中,即就称W是A的不变子空间,也称A-不变子空间.如果W是线性变换A:VV的不变子空间,则A的作用在W上引起线性变换称为A在W上的限制.,定理:设A是有限维线性空间V上的线性映射,W是A的不变子空间.将W的基M1=a1,am扩充为V的基M=a1,am,an.则A在基M下的矩阵为准上三角形,其中A11Fmxm是A|W在基M1下的矩阵.,如果M2=am+1,an生成子空间U是A的不变子空间,则A在M下的矩阵为准对角形A=diag(A11,A22).,反过来,如果线性变换B:VV在V的基M=a1,an下矩阵具有形式,其中B11Fmxm,则W=V(a1,am)是B的不变子空间.,推论:设A是V上的线性变换,V是不变子空间W1,Wt的直和.将各Wi的基Mi依次合并组成V的基M.则A在基M下的矩阵为准对角阵diag(A1,At),其中每个Ai是A|Wi在基Mi下的矩阵,1it.,推论:设A是n阶复方阵,1,t是A的全部不同的特征值,代数重数分别为n1,nt.记V=Cnx1,A:VV,XAX.则:(1)A可对角化iffV是A的一维不变子空间的直和.(2)A相似于准对角阵diag(A1,At),每个对角块Ai(1it)只有一个特征值i.,定理5.8.1设A是有限维复线性空间V上的线性变换.则存在一组基M使A在M下的矩阵是若当形矩阵J.对任意复方阵A,存在同阶复方阵P使P-1AP是若当形矩阵J.如果不计较若当块的排列顺序,则上述J分别由线性变换A和方阵A唯一决定.由于每个复方阵都相似于唯一的若当形矩阵,因此若当形矩阵可以作为相似等价类的代表,称为若当标准形.,推论:设AFnxn具有唯一的特征值aF,特征多项式为A()=(-a)n.则存在可逆方阵PFnxn使P-1AP为若当标准形其中d是特征子空间Va=ker(A-aI)的维数.,例求Jordan块的特征多项式和最小多项式.,解:显然,Jm(a)的特征多项式为.最小多项式d()是的因式,具有形式.计算可知当时,因此,定义设A是n阶复方阵,则A的Jordan标准形J中每个Jordan块的特征多项式(也就是最小多项式)称为A的一个初等因子.A的全体初等因子组成的集合称为A的初等因子组.,相似的矩阵的Jordan标准形相同,因此初等因子组也相同.,例由A的初等因子组求A的特征多项式和最小多项式.,解:A相似于Jordan标准形,从而最小多项式dA()=dJ()等于各Jordan块最小多项式(即初等因子)的最小公倍式其中的指数k0,k-1,k1分别是初等因子组中,+1,-1的指数的最大值,分别等于2,3,1.因此,定理设方阵A的全部不同的特征值为,初等因子组为,其中则,(1)A的特征多项式为,其中,(2)A的最小多项式为,(3)A的特征子空间的维数等于,(4)A相似于对角阵iff所有的初等因子次数,算法5.8.1(求Jordan标准形及过渡矩阵)对任意n阶复方阵A,求n阶可逆复方阵P使P-1AP是若当标准形.,(1)求A的Jordan标准形J.由A特征多项式,求出A的全部不同的特征值.对每个特征值a,依次解方程组(A-aI)kX=0(k=1,2,3,)的解空间Wk=ker(A-aI)k的维数dk=n-rank(A-aI)k,得到d1d2dp=m,其中m是a的代数重数.,将前m个正整数1,2,m从左到右依次排成p列如下维数图:,维数图共有d=d1行，就是J中属于特征值a的Jordan块的个数.各行所含整数的个数m1,md就是属于特征值a的各个Jordan块的阶数,其中m1=p.根据阶数可以写出属于特征值a的各个Jordan块Jm1(a),Jmd(a).将不同特征值的各Jordan块排成准对角阵,就得到J.,(2)求过渡矩阵P的各列.对A的每个特征值a,根据维数图中各行所含整数的个数m1,md,求相应的箭头图,的各向量Xij,使其中第一个非零列的向量X11,Xd1线性无关.依次将各特征值的箭头图中的各行的向量排成P,则P-1AP=J中符合要求.,例3已知,(1)求A的Jordan标准形J,(2)求可逆方阵P使P-1AP=J,(3)求A得最小多项式,(4)求证：方阵B与A乘法可交换iffB是A的多项式.,解(1)特征多项式.由于,因此只有一个属于特征值1的Jordan块.,(2)计算可得,易见满足条件依次算出,取,则,(3),(4)设方阵B与A交换：AB=BA.设，则,记,知,所以有，且，,于是,从而,这证明了是A的多项式.,反过来，显然A的多项式都与A乘法可交换.,例4求,的Jordan标准形J,及可逆方阵P使P-1AP=J.,解A的特征多项式A()=(-3)(-4)5,特征值为3(1重),4(5重).,属于特征值3的Jordan块阶数为1,只能是(3),解方程(A-3I)X=0,求出非零解P1=(1,1,2,0,0,0)T.,求得rank(A-4I)=3,(A-3I)X=0解空间维数dimW1=6-3=3.rank(A-4I)2=1,(A-3I)2X=0解空间维数dimW2=6-1=5达到特征值4的代数重数.,属于特征值4对应于P的其他5列.计算出A-4I,(A-3I)2分别等于,为求P,求(A-4I)2