高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.3 集合的基本运算教材梳理素材 新人教A版必修1（通用）

1.1.3集合的基本运算水疱丁巧解牛知识巧妙升华一、和集1 .和集的定义一般来说，由属于集合a或集合b的所有要素构成的集合称为集合a和集合b的和集合，记为AB，读作 a和b ，即AB=x|xA或xB .2 .和集的图表显示“AB”可用Venn图中的阴影部分表示3 .和集的运算属性AB=BA； AA=A； A=A=A； 如果是ab的话，是AB=B。要点注意这里的空格半格(1)和集合是研究集合间关系的，正确使用集合符号表现和集合是求和集合的关键。(如果用Venn图表示AB，则每个图案扫描面积为 AB .(3)和集合满足交换规则的任意集合契约本身或者空集合的和集合如果与集合本身相等的a是b的子集，则为AB=B资料分析在此关注空间半格(教材P9)例4解析：集合a、b是要素可以一一列举的有限集合时，可以直接求出AB，但必须注意两个集合的共同要素在和集合中只出现一次。 例如，在4中AB的结果不能写成ab= 3，4，5，5，6，7，8，8 。 因为这种写法不符合集合中要素的互异性在资料分析中，我们关注了这里有空间的(教科书P10 )例5求出集合A=x|-1x2、集合B=x|1x3、AB。解析：集合a，b都是无限数集合，因为a，b的要素不能一个一个写出来，所以这种情况下，AB只能用数轴的直观解求出。 集合a中不包含-1、2，集合b中不包含-1、3，因此用轴表示不等式的解时，需要用虚线表示这些端点的值(包含时用实点表示)。 a不包含2，但b包含2 b不包含1，但a包含1，因此AB包含数值1和2。二、交往1 .交叉点的定义一般来说，属于集合a、属于集合b的所有要素构成的集合被称为a与b的交叉，记为AB，即读为AB=x|xA且xB .例如，由于L1、L2分别是直线L1、L2上的点的集合，所以两条直线的位置关系能够用集合的运算符号表示，在L1与L2相交时交点仅有一个、L1与L2平行的情况下，没有交点，交点为空集合、L1与L2重叠时，存在无数的交点，交点为直线本身集合用语言文字记述的情况下，求那些交点时，必须结束交点的定义。 另外，设C=圆c上的点、L=直线l上的点，则L=直线l上的点(1)直线l和圆c可以表示为在两点p、q相交LC=点p，点Q；(2)直线l与圆c相接点pLC=点P；(3)直线l可表示为远离圆cLC=由此，也能够用集合交点表示两圆的位置关系、两曲线的位置关系.2 .交叉点的图表显示“AB”可用Venn图表示3 .交叉点的运算属性(1)AB=BA；(2)AA=A；(3)A=A=；(4)如果是ab的话，是AB=A。要点在此要注意空格半格(1)的交叉是由集合的共同要素构成的集合，正确使用集合符号来表现简单的集合是很重要的。(2)为了将集合用wing graph表示非常明确集合间的关系，将集合用wing graph或数轴表示来解决综合性的主题，经常发挥功效。(3)满足交换法则的任何集合合同本身的交叉点等于集合本身的任何集合合同空集的交叉点都是空集合集合合同的子集的交叉点等于子集合三、补集1 .定义补充集如果a是全集u子集，将由u中不属于a的所有要素构成的集合称为a的u中的补集，简称为集合a的补集，记为a，即A=x|xU且xA .如果研究对象的集合是某个特定集合的子集，则将该特定集合称为全集，通常用“u”来表示。 全集是相对概念，由研究的需要给出，其中必须包括我们研究的所有要素。 把实数集合r看作全集，有理数集合q的补集是由所有的无理数构成的集合。a的公式是A=x|xU，xA，这与集合的差集不同，将a和b的差集标记为A-B，即A-B=x|xA，x B，表记方法相似，但A-B中的b不一定是a的子集，而是从前一个交集的定义中得到A-B=(B)A要点注意这里的一半空格在补集“a”中，“”是特殊符号，u表示全集，AU.U因研究问题而异。2 .补充集的图形显示补集可以用Venn图表示利用Venn图，能够表示集合的并列、交叉、补充运算，但如下图中的各部分所示，在求出与集合有关的交叉、补充运算时，能够利用该图求解.3 .补集的运算性质AA=U；AA=；(A)=A。记忆的关键在于这里是空白的集合平时常用，数学概念不同理解集合并不困难，三个因素很重要必须记住要素的确定和相互排斥以及无序无论集合是空的还是不空的，一定有子集集合用图方便，子交补显而易见试探问题的思路问题两个集合的补集与那些并集的补集的关系？构想：将文字语言转化为集合语言，推测证明即可探索：两个集合的补集与它们的补集相等，即设(A)(B)(AB) (A)(B)=(AB )，则由于在x(A)(B )中在x(B )中在xA中在xB，因此在x(AB )中在x(AB )，因此在(a )40如果x(AB )，则x (AB )，即xA和xB，即x(A )和x(B )因为x(A)(B )，所以有(AB)(A)(B )因此，(A)(B)=(AB )可以证明相同的事实(A)(B)=(AB )典型话题是一个新话题例1满足 1，3 a= 1，3，5 的所有集合a的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4构思分析：由AB的定义可知，集合 1，3，5 应该是集合 1，3 和a的要素一起构成的集合，因此a需要要要要素5，其他要素只能从1，3中选择1个或2个，所以a有4种可能性： 5、 1，5 、 3，5 、4答案： d误区是，在这里空格半格求两个集合的和集合的情况下，注意到两个集合中的相同的要素在和集合中只出现一次，因此本例的集合a可以包含要素1和3中的一方或双方.例2 (2020浙江高考处理)集合A=x|-1x2、B=x|0x4时，AB为()a. 0，2 b. 1，2 c. 0，4 d. 1，4 思路分析：在轴上表示两个集合得到ab= 0，2 答案： a例3是A=x|-m2x4、B=x|2x-4m 1，已知如果AB=x|-1x5，则求出m值.构思解析：由于集合a、b都是无限数集合，所以AB可以通过数轴的直观性进行分析，但AB由于有元素-1，所以只有-m2=-1，同时成为-4m 1=5.以下的图.解：从既知制作数轴图，从问题的意思可以看出解m=-1关于这里的空间半格，当集合表示不等式的解集或实数的无穷子集时，集合之间的运算一般由数轴来表示例4设集合a= x2，2x-1，-4、b= x-5，1-x，9，设AB=9时，求出AB。构想解析：欲求ab基于AB=9列举与x相关的方程式，求x，确定a、b。 但是，如果将a、b中元素为9的情况合起来考虑，则复杂.本问题应该首先考虑集合a，代入b进行验证.解：从AB=9得到9A时，x2=9或2x-1=9，x=3或x=5。x=3时，a= 9，5，-4、B=-2，- 2，9 、b中的元素违反异性被截断当x=-3时，A=9，-7，-4、b= 8，4，9 、AB=9满足题意，因此AB=-7，-4，- 8，4，9 ；在x=5的情况下，a= 25，9，-4、B=0，- 4，9 ，此时，ab= 4，9 与AB=9矛盾，因此被舍弃。如上所述，x=-3且AB=-8，- 4，4，- 7，9 .误区在此注意空白的本题，主要考察分类讨论的思想，解题过程中易出现的错误：一是分类讨论过于复杂，二是不进行检查，导致增根，三是分类讨论后未能总结已知例子5求出A=(x，y)|4x y=6、B=(x，y)|3x 2y=7 )、AB .构思分析：集合a和b的要素是有序的实数对(x，y )，a和b的交叉是由方程式的解构成的集合解： AB=(x，y)|4x y=6(x，y)|3x 2y=7=(x，y)|=(x，y )|= (1，2 ) 。加深升华用符号语言表现几何问题时，其代表要素为通常点.平面上的点的坐标为规则实数对(x，y )，空间点的坐标为规则实数对(x，y，z ) .求出由两个点集的交点，即与两个点集对应的曲线的交点构成的集合，在交点为空集的情况下，这两条曲线中共同点为假设例子6a、b、I全部为非空集合并满足ABI，则以下错误为()A.(A)B=I B.(A)(B)=IC.A(B)=D.(A)(B)=B构思分析：本问题综合考察了集合的基本演算，即集合的交叉、和集、补集演算(1)可以根据题意描绘文图，根据图形的直观性，可以对照选项a、b、c、d来求解(2)根据说明ABI结构集合a、b和I，设置A=1、A=1、2、A=1、2和3，并且可通过特殊值替代方法求解。(3)根据集合的规则求解.即，(AB)=(A)(B) (AB)=(A)(B )对于a选项，(A)B=(A(B)=I；对于b选项，(A)(B)=(AB)=A；对于c选项，A(B)=(AB)=；对于d选项，(A)(B)=(AB)=B。如上所述，应该选择b答案： b为了加深升华的注意，在此进行关于空间半格解的集合的交、补演时，根据问题设定条件构建一些新的数学形式(温度图或符合问题设定条件的集合a、b、I )，并利用它来认识原始问题，解决的构造方法对于解决选题非常有用。使全集u= 2，3，a2 2a-3、A=|2a-1|，2、A=5，求出实数a的值想法解析： A=5包含5U、5A、AU这3层意思解：A=5，5U，且5A.a2 2a-3=5，a=2或a=-4.(* )在a=2情况下，|2a-1|=35；在a=-4情况下，|2a-1|=95但是9Ua的值是2误区要注意这里的空白半格集合是数学语言，如果不能从该语言中解读其意思，就会引起各种错误。 本问题解释为(* )式后，应注意检根例8是全集U=x|x2-3x 20、A=x|x3、B=x|x1或x 2、b、AB、(A)(B )、(a铮铮铮铮铮铮铮铮铮构思分析：计算各集合，首先要把集合u、a、b做成最简单的形式，然后把数轴结合起来一个一个地求出解： U=x|x2-3x 20=x|x1或x2，此外，A=x|x3=，B=x|x1或x2；A=x|x=1或2x3 ，A)(B)=2，A)(B)=x|x=1或2x3 (AB)=2，(AB)=x|x=1或2x3 。例9某班举行数学化学竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学物理两科的有10人，参加物理化学两科的有7人构思分析：本问题考察集合的运算，解决问题的关键在于将文字语言转化