高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.2 集合间的基本关系教材梳理素材 新人教A版必修1（通用）

1.1.2集合之间的基本关系水泡顶翘翘巧学升华知识I .子集1.子集的定义一般来说，对于两个集合A和B，如果集合A中的任何元素是集合B中的元素，我们将说这两个集合具有包含关系。集合A被称为集合b的子集。子集研究集合之间的包含关系，它只与构成两个集合的元素相关。注：AB(或BA)，读作“a包括b”(或b包括a)。区分和比较注意，这里的空半格元素和集合是从属关系，在元素和集合之间使用符号“”。集合之间的关系是包含或相等的，并且在集合之间使用符号“”。2.子集的图形表示在数学中，我们经常用平面上封闭的内部来表示集合。这种图叫做文恩图。因此，上述集合A和集合B之间的包含关系可以由下图表示。对于集合a，b，c，如果AB，BC，那么AC。任何集合A都是自身的子集，即AA。如果是AB，那么文恩图可以用来表示它们之间的关系。也就是说，集合a和b的区域完全重合，或者区域a在区域b的内部。关键是要注意，在这里设置的空半格(1)中的元素具有传递性。它类似于不等式的传递性，即如果ab，bc，ac.(2)Venn图可以直观地表示集合之间的关系，并且表示集合的Venn图的边界是一条封闭曲线，它可以是圆、矩形或其他封闭曲线。注意数据分析中的空白部分(教科书P8)分析 a A代表集合之间的关系，即集合a是集合A的子集，而A代表集合和集合元素之间的依赖关系，即A是集合A的元素，如1 1，2，3，1 1，2，3。3.子集的语言表示集合A中的任何元素x满足x b，也就是说，任何xA都有xB或abx a，xB例如，已知集合a=1，2，集合b=1，2，3，因为a，AB中的所有元素1B，2B。这对于具有较少元素的有限集合来说是正确的。如果一个给定的集合是一个有限集合还是一个有更多元素的无限集合呢？这只能根据给定集合的元素的性质来证明。特别地，当给定集合A和b的代表性元素是函数值时，为了证明“AB”，只需要比较这两个函数的函数值范围。例如，给定集合A=y|y=x2 1，xR，集合B=m|m=n2，nR，集合A和B之间的包含关系是什么？显然，集合A和集合B的代表元素都是实数。结合二次函数的性质，它们被简化为A=y|y1，B=m|m0，因为A中的所有元素都属于B，所以AB。那么，如何证明集合A不是集合B的子集呢？如果集合a中的元素不是集合b的元素，我们将说集合a不是集合b的子集，集合b被写成“AB”或“BA”，并被理解为“a不包含b”或“b不包含a”。例如，已知集合a=1，2，集合b=1，3，试图判断A和b之间的包含关系。因为2A和2B，ab；因为3B和3A，BA。由此可见，判断两个集合的“包含”与“排除”关系的关键是看两个集合中元素之间的关系。你能根据这个写出公共数集N*，N，z，q，r之间的包含关系吗？方法注意这里的空半格(1)判断A和B之间的包含关系，通常集合A和B被简化为最简单的形式。(2)如果证明了AB，则A中只需要一个元素A就可以生成aB。换句话说，要否认一个问题，只需要一个反例。第二，集合是相等的1.集合等式的定义如果集合a是集合b的子集(AB)，集合b是集合a的子集(BA)，此时，集合a和集合b中的元素是相同的，我们将说集合a和集合b是相等的，表示为a=b集合“A=B”可以用韦恩图表示为也就是说，集合a和b的区域完全重合。重要提示：空的半格集合“A=B”在这里意味着集合A和集合B中的元素完全相同，不管集合A和集合B中元素的排列顺序如何2.集合等价的证明所谓的“A=B”是指集合A和B中的元素完全相同。例如，尝试比较集合a=x | x2-1=0和集合b=-1，1之间的关系。简化集合a=-1，1，这与集合b中的元素完全相同，因此a=b；当集合A和B中有许多或无限元素时，要证明“A=B”，只需根据集合中元素的性质证明AB和BA。辨别和比较注意，这里的空半格集“A=B”可以与实数中的结论“如果ab，ba，则a=b”相比较，即“如果AB和BA，则a=b”三。真子集如果集合A是集合B的子集，并且集合B的至少一个元素不属于集合A，那么集合A被称为集合B的适当子集，表示为AB或BA，并且读取“A真的包含在B中”或“B真的包含在A中”如果是AB，可以用韦恩图来表示也就是说，代表A的区域被绘制在代表B的区域中，但是区域A不能与区域B重合对于集合a，b，c，如果AB，BC，那么AC。例如：1 1，2，1，2 1，2，3，因此1 1，2，3。为了证明AB，我们应该首先证明AB，然后证明b中至少有一个元素a，所以aA就足够了。重要的一点是要注意，这里的空半格(1)真子集在子集的前提下研究集合之间的关系。如果A不是B的子集，那么A一定不是B的适当子集。(2)根据子集、集相等和真子集的定义，子集包括集相等和真子集两种情况。(3)“AB”或“AB”是可传递的。(4)任何集合都不是它自己的适当子集。四、空集我们称不包含任何元素的集合为空集，并记为。例如，x2 1=0的实根和由| x | -1的解组成的集合都是空集，因为找不到它们的元素。它规定空集合是任何集合的子集，也就是说，一些学生说子集可以定义为由原始集合中的某些元素组成的集合。你认为这种说法合适吗？答案是没有。因为空集合是不包含任何元素的集合，所以它不能由集合中的某些元素组成，集合本身也不能理解为由集合中的某些元素组成。你能从上述子集的定义和详细解释中写出集合a=1，2的所有子集吗？答案显然是1，2，1，2。虽然空集合是任何集合的子集，但它不是任何集合的适当子集？你能用例子和定义解释以上两个问题吗？根据适当子集的定义和详细解释，你能写出集合A=1，2的适当子集吗？显而易见的答案是，1，2。要点如下：(1)空半格的空集也是空集的子集，即空集是任何非空集的适当子集。(2)一个集合的子集，除了一个空集合之外，其他子集可以看作是由原始集合的部分或全部元素组成的集合。数据分析注意这里的空的一半(教科书P8)例3注意：当写一个集合的子集时，你可以根据集合中元素的数量一个一个地写，但是你必须考虑空集合的特殊集合，因为空集合是任何集合的子集。如果某个集合的适当子集需要被写入，则该集合本身不能被包含，因为任何集合都是其自身的子集，而不是其自身的适当子集。问题思维研究问题1 0与、和0有何不同？思考：从集合和元素的定义、概念以及它们之间的关系来思考。查询：0是由一个元素0组成的有限集合，它是一个没有任何元素的集合。因此，0不能写成=0或 0。同理，是一个由一个元素组成的有限集合，它是一个没有任何元素的集合。因此，或或。问题2:集合中元素的数量与集合的子集和适当子集的数量之间有什么关系？思路：我们可以通过例子总结出一般规律。询问：如果你写a，b，a，b，c的所有子集，那么a，b的所有子集是：a，b，a，b，所以有4个子集和3个适当的子集；a，b，c的所有子集是：a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c，a，b，c，a，b，c，8个子集和7个适当子集。因此，集合中子集的数量与集合中元素的数量相关。如果一个集合包含N个元素，它有2n个子集，2n-1个真子集和22-2个非空真子集。新话题例1 m=x | 3 x 4=，a=，那么下