2020年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版）――等比数列

2020年高考数学复习精品学方案(人教版a版)等比数列1 .【课标要求】1 .通过实例理解等比数列的概念2 .搜索并把握等差数列的通项式和前面的n项和的式子3 .在具体问题情况下，发现数列的等比关系，用相关知识解决该问题。 体会等比数列与指数函数的关系2 .【命题的方向】等比数列同等差数列一样在高考中占重要地位，是高考试题的重点。 客观的问题考察等比起数列的概念、性质、通项式、和议式等基础知识和基本性质的活用，基本的运算要求更高，解答问题多以数列知识为工具对2020年的大学入学考试书籍的考察预测如下(1)问题类型以等比数列的公式、性质的活用为主的12个客观主题(2)关于等比数列的实用问题和知识交错问题的解答问题也很重要(3)在解决问题时注意数学思想的应用，如反推思想、函数和方程式，总结预期、等价转换、分类讨论等，可以灵活考察考生运用数学知识分析问题的能力和解决问题的能力。3 .【详细说明要点】1 .等比数列的定义通常，如果一个数列从第2项开始，各项与其前一项的比为相同常数，则该数列被称为等比数列，该常数通常以字母表示：数列相对于数列(1)、(2)、(3)为等比数列，其公比依次为2、5。 (注意：从第二项、常数、等比数列的公比与项目不为零)2 .等比数列通项式如下：说明： (1)由等比数列的通项式可知，在公比的情况下，该数列既可以是等比数列，也可以是等差数列，(2)等比数列的通项式只要是等比数列即可。3 .等比中项中间插入一个数据作为等比数列，称为等比中项(两个符号是相同的非零实数，都有两个等比中项)。4 .等比数列的前n项和公式通常，若q=1，等比数列的前n项可当时或减去偏移。说明： (1)和各已知的第三个可以求出第四个(2)注意加工公式中，请勿在通项公式中混淆(3)应用加工公式时，必要时应考虑的情况。4 .【典型的解析】问题类型1 :等比数列的概念例1.公差为0等差数列是等比数列、公比的等比数列必定是减少数列、 a、b、c的三成等比数列的充分条件是2b=a c 、 a、b、c的三个数为等差数列的充分条件是2b=a c ，在上述四个命题中有正确()A.1个B.2个C.3个D.4个分析：四个命题中，只有最后一个命题是真命题。命题1中，各项目为0的等差数列不被认为是等比数列命题2中可以知道an 1=an，an1 an，即an1 an，其中，在这种情况下，该数列是增加数列在命题3中，虽然在a=b=0、cR的情况下，但是由于数列a、b、c不是等比数列，因此应该是必要且不充分的条件，如果将条件变更为b=则成为不必要且不充分的条件。该问题以一些选题的形式考察了等比数列的重要结论，应注意等比数列、等比数列的重要结论。例2 .命题1 :如果数列an的前n项和Sn=an b(a1 )，则数列an为等比数列命题2 :如果数列an的前n项和Sn=an2 bn c(a0 )，则数列an为等差数列命题3 :如果数列an的前n项和Sn=na-n，则数列an为等差数列，等比数列，在上述3个命题中，真命题为()A.0个B.1个C.2个D.3个解析：根据命题1得出，a1=a b，n2时，an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1。 如果an为等比数列，则=a，即=a，因此该数列仅在b=-1且a0时为等比数列。根据命题2，在a1=a b c、n2的情况下，如果an=Sn-Sn-1=2na b-a、an为等差数列，则a2-a1=2a，即2a-c=2a，因此，在c=0的情况下，数列an为等差数列。由命题3得到a1=a-1、n2时，an=Sn-Sn-1=a-1，显然an是恒定数列，即公差为0的等差列，因此，a-10，即a1时序an才是等比序列。点评：等比数列的中项与和议式之间有很大的关系，上述三个命题关系到Sn与an的关系，为了正确判断an=、数列an是等比数列还是等比数列，必须使用上述关系式，特别要注意第一项与其他项的关系。 上述三个命题都不是真命题，而是选择a。问题类型2 :等比数列的判定例3 .利用已知的等比数列，高阶3项的和可取值的范围是(d )(A) (B )(C) (D )【解1】:22222222222222222222226公比时，淘汰(A)(B)(C )选择d【解2】:等比数列中公比时公比时故选d；【考试点】:这个问题着重考察等比数列的前项和的意义、等比数列的通项式、平均不等式的适用【突破】:重视特殊数列被淘汰的等比数列的通项式、前项和、平均不等式的应用，特别是平均不等式的使用条件评价：本问题主要考察等比数列的概念和基本性质、推理和演算能力。例4.(2020浙江文)作为数列的前项和(I )寻求(II )任何情况，若解(I )，（）经验，()式成立(ii )等比数列换句话说，整理起来对于任意成立问题型3 :等比数列的通项公式及应用例5 .一个等比数列有三个项，在第二项上加4，得到的三个项为等差数列，在该等差数列的第三项上加32，得到的三个项为等比数列，求出原来的等比数列.解析：将求出的等比数列设为a、aq、aq22(aq 4)=a aq2，并且(aq 4)2=a(aq2 32 )；解答a=2、q=3或a=、q=-5求得的等比数列是2、6、18、-。第一种解法利用等比数列的基本量，首先求公比，然后求其他量。 这是求解等比数列、等比数列的一般方法，其优点是构思简单实用，缺点是有时计算复杂。例6.(已知2020山东卷文)等比数列的前n项在任意的、点、全部以函数均为常数)的图像上(1)求r的值(11)b=2时，求数列的前因和因为解：在任何点，所有函数均为常数)的图像上当时当时因为是等比数列，所以是公比(2)b=2时则减法运算所以呢【命题立意】:正题主要考察了等比数列的定义、通项式以及求出的基本问题类型，通过位置偏差减法求出了等比数列和等差数列的对应项积，求出了新的数列的前项和。例7.(1)(2020安徽卷文)已知数列的上位n项与数列的上位n项之和(I )求数列和的通项式(ii )证明：仅在n3的情况下可以从中求出，这是用数列求出通项一般方法，求出后，进一步得到，接着作为差法使用大小比较也是一般的方法.【解析】(1)原因是当时当时数列项和等比数列，其第一项为1，公比(2)由(1)可知即，即因为有时成立，即恒成立因此，仅在当时分数评价：对于等比数列的合计问题，只要首先弄清数列的通项式，对应良好的初项和公比求最终结果即可例8.(1)将等差数列设为an，求出bn等比数列为a1=b1=1、a2 a4=b3、b2b4=a3 .分别为an及bn的上位10项的和S10及T10 .(2)在1与2之间插入n个正数a1、a2、a3、 an，使该n 2个成为等比数列，另外，在1与2之间插入n个正数b1、b2、b3、bn，使该n 2个成为等差数列。 记为an=a1a2a3、an、Bn=b1 b2 b3 bn。(I )求出数列An和Bn的通项(ii)n7时，比较An和Bn的大小，证明你的结论。(3)已知的an是由非负整数构成的数列，满足a1=0，a2=3an 1an=(an-1 2)(an-2 2 )，n=3，4，5，。(I )求a 3(ii)an=an-2 2，n=3，4，5，(iii )求出的an的通项式及其前n项和Sn。分析： (1)an为等差数列，bn为等比数列a2 a4=2a3、b2b4=b32a2 a4=b3、b2b4=a3b3=2a3，a3=b32。b3=2b32 .b308756； b3=、a3=由a1=1，a3=可知an的公差为d=，S10=10a1以b1=1，b3=已知的bn的公比为q=或q=q=时q=时。(2)()公比q、公差d、等比数列1、a1、a2、an、2、等差数列1、b1、b2、bn、2。A1=a1=1q A2=1q1q2 A3=1q1q21q3另外，an 2=1qn 1=2qn 1=2an=qq2qn=q (n=1，2，3)另外，bn2=1(n1) d=2- n1) d=1B1=B1=1DB2=B2 B1=1d12bn=1d1 nd=n()AnBn、n7时证明：如果n=7，则23.5=8=an bn=7，8756； anbn在n=k时设AnBn，则在n=k 1时Ak 1=且akbk8756； ak 1kAk 1-Bk 1另外，k=8，9，10AK1- bk1 0，如上所述，AnBn成立。(3)( )解：根据问题，设a3a4=10，a3、a4都是非负的整数，因此a3的可能值为1、2、5、10 .如果a3=1，则a4=10，a5=，与问题设定相矛盾。如果a3=5，则a4=2、a5=，与问题设定相矛盾。如果a3=10，则a4=1、a5=60、a6=，与问题设定矛盾.a3=2。(ii )用数学归纳法证明：当n=3、a3=a1 2时，式成立如果在n=k(k3 )时式成立、即假定为AK=AK-2，则根据问题设为ak 1ak=(ak-1 2)(ak-2 2 )，由于AK=AK-20，因此设为ak 1=ak-1 2即，在n=k 1时，式ak 1=ak-1 2成立.根据和，对于所有的n3，an 1=an-1 2。(iii )解： a2k-1=a2(k-1)-1 2，a1=0和a2k=a2(k-1) 2，a2=3到a2k-1=2(k-1 )，a2k=2k 1，k=1，2，3，即an=n (-1)n，n=1，2，3，Sn=评分：本小题主要考察数列和等差数列的前n项之和等基础知识和正确表达、分析和解决问题的能力。问题类型5 :等比数列的性质例9.(1)在各项目为正的等比数列an中，第1项a1=3，在第3项和第21项中，a3 a4 a5=()(A)33 (B)72 (C)84 (D)189(2)在(2000上海、12 )等差数列an中，a10=0，a1 a2 an=a1 a2 a19-n(n19，nN成立.解析： (1)答案：若设为c解：等比数列an的公比q(q0)，则由于题意为：a1 a2 a3=21，即3 3q 3q2=21，q2 q-6=0，求出q=2(q=-3舍去)，因此以a3 a4 a5=q2(a1 a2 a3)=4选择c。(2)答案： b1b2bn=b1b2b17-n(n17，nN* )；解：在等差数列an中，从a10=0开始，a1 a19=a2 a18=an a20-n=an1a19-n=2a10=0因此，a1 a2 an a19=0，即a1 a2 an=-a19-a18-an 1a1=-a19，a2=-a18，a19-n=-an 1a1 a2an=-a19-a18 - an1=a1 a2a19-n如果a9=0，则同样是a1 a2 an=a1 a2 a17-n相应地，在等比数列bn中，得到b1b2bn=b1b2b17-n(n17，nN* )。评价：本题考察了等比数列的相关概念及其计算能力。例10.(1)将第一个项设为正的等比数列，将其前n项之和设为80，前2n项之和设为6560，然后将前n项中数值最大的项设为54，求出该数列的第一项和公比q。(2)在和之间插入n个正数，将该数据顺序等比数列，求出插入的n个数据的积。(3)等比数列an的各项均为正，项数为偶数，其全部项之和为偶数项之和的4倍，且第2项与第4项之积为第3项与第4项之和的9倍，请问数列lgan的最初项与最大值？ (lg2=0. 3，lg3=0.4 )解析： (1)将等比数列an的前n项和设为Sn，按主题分别设为a10、Sn=80、S2n=6560。S2n2Sn，q1；因此=80，然后=6560。二进制除以1 qn=82，即qn=81。因为a1=q-10即q1，等比数列an是增加数列，所以前n项中数值最大的项是第n项。a1q