高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数教材梳理素材 新人教A版必修1（通用）

2.3 幂函数疱丁巧解牛知识巧学升华一、幂函数 一般地，形如y=xa（aR）的函数称为幂函数，其中x是自变量，a是常数.其特征是以幂的底为自变量，指数为常数 要点提示 判断函数是否为幂函数时要根据定义，即xa的系数为1，指数位置的a为一个常数，且常数项要为，或者经过变形后满足条件的均可二、一些常见幂函数的图象与性质1.定义域、值域.幂函数的定义域和值域随a的变化而定.定义域分为xR；x0；x0；x0等四种情况.设幂函数y=xa，当a=0时，y=x0（xR且x0），即y=1.当a0时，若y=xa是偶函数，像y=x2，y=x4，y=等，xR，y0；若y=xa是奇函数，像y=x，y=x3，y=等，xR，yR；若y=xa是非奇非偶函数，像y=，y=等，x0，y0.当a0；若y=xa是奇函数，像y=x-1，y=x-3，y=等，xR且x0，yR且y0；若y=xa是非奇非偶函数，像y=，y=等，x0，y0. 方法点拨 注意此处空半格为准确判断幂函数的定义域和值域，常采取以下变形方式：（1）当幂指数是正分数时，可把幂函数转化成根式的形式；（2）当幂指数是负数时，可先化成正数，若是分数，可化成根式形式去判断.2.幂函数的图象 直线类：如y=x0，y=x，它们的图象是直线，其中y=x0上不含（0，1）点，如图；抛物线类：如y=x2，y=，y=等，如图；拐线类：如y=x3，y=，y=等，如图；双曲线类：如y=x-1，y=x-3等，如图；半支抛物线类：如y=，y=等，图象过点（0，0），（1，1），位于第一象限，如图；像y=，y=x-等，图象过点（1，1），位于第一象限，如图. 方法点拨 （1）幂指数大于零的幂函数图象，恒过点（0，0）、（1，1），没有渐近线；幂指数小于零的幂函数图象，恒过点（1，1），存在渐近线，它的图象要么是双曲线，要么是双曲线的一支；（2）在第一象限，作直线x=a（a1），它同各个图象相交，交点从上到下的排列顺序，正是按幂指数的降序排列的，以此可以判断不同幂函数图象的幂指数的大小. 幂函数的图象形状情况多又复杂，对此充分利用函数的单调性、互为反函数的图象的对称性及奇偶性图象的对称性来分析幂函数的图象，从而让学生掌握和利用这些转化的思想和处理问题的技巧来提高学生画幂函数图象草图的能力3.幂函数的性质(1)所有幂函数在（0，+）上都有定义，并且图象都过点（1，1）.(2)如果a0，则幂函数的图象过原点，并且在区间0，+）上是增函数.特别地，当a1时，幂函数的图象下凸；当0a1时，幂函数的图象上凸，如图.(3)如果a1），它同各个图象相交，交点从上到下的排列顺序，正是按幂指数的降序排列的，以此可以判断不同幂函数图象的幂指数的大小. 掌握幂函数的图象特征，有利于进一步理解和应用幂函数的性质；但想掌握好幂函数的概念及其图象和性质，须理解并利用好函数的单调性和奇偶性及互为反函数等函数的性质及图象特点来分析幂函数的图象和性质；同时注重结合指数函数和对数函数分析问题的思路及方法来渗透在幂函数的问题分析和研究其中幂函数的单调性是幂函数性质中应用最广的，运用此性质可以比较两个同指数不同底的幂的大小及求与幂函数有关的一般函数的值域、单调区间等；进一步加强和健全两个幂的大小比较的思路和方法问题思路探究问题1 满足怎样条件的函数才是幂函数？思路：根据幂函数的定义探究:只有形如y=xa，aR的函数才叫幂函数，像y=x2+a，y=3x2等都不叫幂函数.幂函数是单调函数，它的单调性可通过定义去证明.如课本中的例1，当在给定区间0，+上任取x1，x2且假定x1x2时，为使函数值f（x1）-f（x2）的差中出现x1-x2这样的因式，我们采取了分子有理化的变形手法，这种方法技巧性比较强，不容易想到.在证明过程中切忌利用“因为x1，x20,+，且x1x2，所以”这种循环论证的方法，因为我们不能用本题的结论去证明本题.此外，本题也可采用作商的方法去证明，即任取x1，x20,+)，且x10.，x2x10，01，01，f（x1）f（x2），即幂函数f（x）=x在0,+)上是增函数.问题2 利用描点法，在同一坐标系中画出函数y=x，y=，y=x2，y=x3，y=x-1的图象并探究它们的性质.思路：奇偶函数的定义域是关于原点对称的，奇函数的值域也是关于原点对称的.在关于原点对称的区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性正好相反 判断单调性：作差法与作商法是用定义证明函数单调性的两种基本方法，作差时，只需判断差的符号的正负即可；作商时，既要分清函数的符号又要判断商与“1”的大小，常见指数函数及幂函数都可用作商法去判断它的单调性.探究:（1）列表：x-3-2-10123y=x-3-2-10123y=011.411.73x-3-2-10123y=x29410149y=x3-27-8-101827y=x-1-11描点，连线: 由图象可知,五个函数的定义域、值域、奇偶性、单调性分别如（2）中表格所示.（2）综合（1）中的各种情况可得，如下结论：y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域RRR0，+（-，0）（0，+）值 域R0，+R0，+（-，0）（0，+）奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增（0，+）（-，0）增增（0，+）（-,0）定 点（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（1，1）典题热题新题例1 幂函数f（x）的图象过点（4，），那么f-1（8）的值是( )A.2 B.64 C. D.思路解析：因为f(x)为幂函数，可先设出该函数，将点代入所设函数中，再根据原函数与其反函数的关系解：设f（x）=xa，将（4，）点代入得=4a，a=-，f（x）=.令x2=8，得x=8-2=.答案：D 深化升华 注意此处空半格（1）由=4a求a可化成同底2-1=22a，由2a=-1，得a=-.（2）联系互为反函数的x、y之间的对应关系求解，事半功倍.此类题是没有必要求y=f-1（x）的.例2 已知幂函数f（x）=（mZ）的图象关于y轴对称且与x轴、y轴无交点.（1）求函数f（x）的解析式，并画出它的图象；（2）讨论函数g（x）=的奇偶性（a、bR）.思路解析：求解本题的关键是先确定m的值，写出f（x）的解析式，再把f（x）代入g（x），判断g（x）的奇偶性.解：（1）由幂函数的图象与x、y轴无公共点，m2-2m-30，即-1m3. 又mZ，得m=0，1，2.又幂函数的图象关于y轴对称，它是偶函数. 把m=0，1，2分别代入得f（x）=x-3，f（x）=x-4，f（x）=x-3， 只有f（x）=x-4符合条件，故m只能取1,f（x）=x-4. 其图象如下图所示.（2）把f（x）=x-4代入g（x）的解析式，得g（x）=a-bx3（x0），g（-x）=-b(-x)3=+bx3，当a0，b0时，g（x）为非奇非偶函数； 当a=0，b0时，g（x）为奇函数； 当a0，b=0时，g（x）为偶函数； 当a=b=0时，g（x）既为奇函数又为偶函数. 拓展延伸求函数解析式常见的方法（1）待定系数法，即已知条件告诉了曲线的种类和方程的整体形式，可先设出方程，再求出待定系数；（2）拼凑法或换元法，即已知fg（x），求f（x）.但应注意，此时x的定义域是g（x）的值域.例3 求出函数f（x）=的单调区间，并比较f（-）与f（-）的大小.思路解析：要写出f（x）的单调区间，可通过化简把f（x）转化成我们熟悉的基本初等函数的形式，利用基本初等函数的单调区间，表示出f（x）的单调区间.解：f（x）=4=1+（x+2）-2， 它是由g（x）=x-2向左平移2个单位，再向上平移1个单位而得到的.g（x）的单调增区间是（-，0），单调减区间是（0，+），f（x）=的单调增区间是（-，-2）， 单调减区间是（-2，+），f（x）的图象关于直线x=-2对称.-（-，-2），-（-2，+），-关于x=-2对称的点的横坐标是-4，又-4-，f（-4）f（-），即f（-）f（-）. 拓展延伸 拓展延伸：求函数的单调区间必须在函数的定义域内进行.常见的方法（1）借助于函数图象；（2）设法把f（x）转化成基本初等函数的形式；（3）搞清函数的复合过程，按复合函数单调性的判定法则写出单调区间.例4 已知f（x）=（m2+m），当m取什么值时，（1）f（x）是正比例函数；（2）f（x）是反比例函数；（3）在第一象限内它的图象是上升曲线？思路解析：据相关函数的定义及性质去处理.解：（1）令m2-2m-1=1，得m2-2m-2=0.m=1，此时m2+m0.（2）令m2-2m-1=-1，得m2-2m=0.m1=0，m2=2. 当m=0时，m2+m=0，不合题意.m=2.（3）由题意，得m-1，或m1+. 误区警示 注意此处空半格要考虑系数对问题的影响，对问题作合理的结论.本题极易误认为还包括：即1-m0，为什么是错误的呢？是因为没有注意到“在第一象限内”这一要求.例5 求证：函数y=x3在R上为奇函数且为增函数.思路解析：根据奇函数的定义以及判断函数单调性的方法去证明解：显然f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函数； 令x1x2，则f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22), 其中，显然x1-x20.从而f(x1)-f(x2)0.所以该函数为增函数. 深化升华 注意此处空半格判断函数奇偶性的时候，要先观察它的定义域是否关于原点对称，再判断 f(-x)与f(x)的关系本题中已给定义域为R，故只需判断 f(-x)与 f(x)的关系判断单调性时要严格按照单调函数的定义去证明例6 求函数y=log24xlog22x在x4的最值，并给出取