历年高考数学真题考点归纳 2020年 第九章 解析几何 第二节 圆锥曲线1

历年高考真题考点归纳历年高考真题考点归纳 20202020 年年 第九章第九章 解析几何解析几何 第二节第二节 圆锥曲线圆锥曲线 1 1 一、选择题一、选择题 1.1.（20202020 湖南文）湖南文）5. 设抛物线 2 8yx上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点 的距离是 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 2.2.（20202020 浙江理）浙江理） （8）设 1 F、 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点.若在 双曲线右支上存在点P，满足 212 PFFF，且 2 F到直线 1 PF的距离等于双曲线的实轴长， 则该双曲线的渐近线方程为 （A）340 xy （B）350 xy （C）430 xy （D）540 xy 解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出 a 与 b 之间的等量关系， 可知答案选 C，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知 识能力的考察，属中档题 3.3.（20202020 全国卷全国卷 2 2 理）理） （12）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，过右焦点 F且斜率为(0)k k的直线与C相交于AB、两点若3AFFB ，则k （A）1 （B）2 （C）3 （D）2 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义. 【解析】设直线 l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过 A，B 分别作 AA1，BB1垂直于 l，A1，B 为垂足，过 B 作 BE 垂直于 AA1与 E，由第二定义得，由 ，得， 即 k=，故选 B. 4.（2020 陕西文）9.已知抛物线y22px（p0）的准线与圆（x3）2y216 相切，则p 的值为 （A） 1 2 （B）1（C）2（D）4 【答案】 C 解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y22px（p0）的准线方程为 2 p x，因为抛物线y22px（p0）的准线与 圆（x3）2y216 相切，所以2, 4 2 3p p 法二：作图可知，抛物线y22px（p0）的准线与圆（x3）2y216 相切与点（- 1,0） 所以2, 1 2 p p 5.（2020 辽宁文） （9）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该 双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （A）2 （B）3 （C） 31 2 （D） 51 2 【答案】D 解析：选 D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为： 22 22 1(0,0) xy ab ab ， 则一个焦点为( ,0), (0, )F cBb 一条渐近线斜率为： b a ，直线FB的斜率为： b c ，()1 bb ac ， 2 bac 22 0caac，解得 51 2 c e a . 6.6.（20202020 辽宁文）辽宁文） （7）设抛物线 2 8yx的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点， PAl，A为垂足，如果直线AF斜率为3，那么PF （A）4 3 （B） 8 （C） 8 3 （D） 16 【答案】 B 解析：选 B.利用抛物线定义，易证PAF为正三角形，则 4 |8 sin30 PF 7.7.（20202020 辽宁理）辽宁理） (9)设双曲线的个焦点为 F；虚轴的个端点为 B，如果直线 FB 与该双 曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 (A) 2 (B)3 (C) 31 2 (D) 51 2 【答案】D 【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条 件，考查了方程思想。 【解析】设双曲线方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ，则 F（c,0）,B(0,b) 直线 FB：bx+cy-bc=0 与渐近线 y= b x a 垂直，所以1 b b c a A，即b2=ac 所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以 15 2 e 或 15 2 e （舍去） 8.8.（20202020 辽宁理）辽宁理）(7)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F，准线为 l,P 为抛物线上一点,PAl,A 为 垂足如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|= (A)4 3 (B)8 (C)8 3 (D) 16 【答案】B 【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系， 考查了等价转化的思想。 【解析】抛物线的焦点 F（2，0） ，直线 AF 的方程为3(2)yx ，所以点( 2,4 3)A 、 (6,4 3)P，从而|PF|=6+2=8 9.9.（20202020 全国卷全国卷 2 2 文）文） （12）已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab （ab0）的离心率为 3 2 ，过右焦点 F 且斜率为 k（k0）的直线于 C 相交于 A、B 两点，若3AFFB 。则 k = （A）1 （B）2 （C）3 （D）2 【答案】B B 【解析解析】 1122 ( ,), (,)A x yB xy ， 3AFFB ， 12 3yy ， 3 2 e ，设，设 2 ,3at ct ，b t ， 222 440 xyt ，直线，直线 ABAB 方程为方程为 3xsyt 。代入消去。代入消去x， 222 (4)2 30systyt ， 2 1212 22 2 3 , 44 stt yyy y ss ， 2 2 22 22 2 3 2, 3 44 stt yy ss ，解得，解得 2 1 2 s ， 2k 10.10.（20202020 浙江文）浙江文） （10）设 O 为坐标原点， 1 F, 2 F是双曲线 22 22 xy 1 ab （a0，b0）的焦 点，若在双曲线上存在点 P，满足 1 FP 2 F=60，OP=7a,则该双曲线的渐近线方程为 （A）x3y=0 （B）3xy=0 （C）x2y=0 （D）2xy=0 【答案】 D 解析：选 D，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几 何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题 11.11.（20202020 重庆理）重庆理） （10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平 行于另一条直线的平面内的轨迹是 A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 【答案】 D 解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除 A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除 B 12.12.（20202020 山东文）山东文） （9）已知抛物线 2 2(0)ypx p，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线 与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 （A）1x (B)1x (C)2x (D)2x 【答案】B 13.13.（20202020 四川理）四川理） （9）椭圆 22 22 1() xy ab ab 的右焦点F，其右准线与x轴的交点为 A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是 （A） 2 0, 2 （B） 1 0,2 （C） 2 1,1 （D） 1,1 2 解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F， 即F点到P点与A点的距离相等 而|FA| 22 ab c cc |PF|ac,ac 于是 2 b c ac,ac 即acc2b2acc2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又e(0,1) 故e 1,1 2 【答案】D 14.14.（20202020 天津理）天津理）(5)已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程是 y=3x,它 的一个焦点在抛物线 2 24yx的准线上，则双曲线的方程为 （A） 22 1 36108 xy （B） 22 1 927 xy （C） 22 1 10836 xy （D） 22 1 279 xy 【答案】B 【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题。 依题意知 22 222 3 69,27 b a cab ca b ，所以双曲线的方程为 22 1 927 xy 【温馨提示】选择、填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质，这部分内 容也是高考的热点内容之一，在每年的天津卷中三种软件曲线都会在题目中出现。 15.15.（20202020 广东文）广东文）7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的 离心率是 A. 5 4 B. 5 3 C. 5 2 D. 5 1 【答案】B 16.16.（20202020 福建文）福建文）11若点O和点F分别为椭圆 22 1 43 xy 的中心和左焦点，点 P 为椭圆 上的任意一点，则OP FP A的最大值为 A2 B3 C6 D8 【答案】C 【解析】由题意，F（-1，0） ，设点 P 00 (,)xy，则有 22 00 1 43 xy ,解得 2 2 0 0 3(1) 4 x y， 因为 00 (1,)FPxy ， 00 (,)OPxy ，所以 2 000 (1)OP FPx xy = 00 (1)OP FPx x 2 0 3(1) 4 x = 2 0 0 3 4 x x，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 0 2x ，因为 0 22x ，所以当 0 2x 时，OP FP 取得最大值 2 2 236 4 ，选 C。 【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的 单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。 17.17.（20202020 全国卷全国卷 1 1 文）文） （8）已知 1 F、 2 F为双曲线 C: 22 1xy的左、右焦点，点 P 在 C 上， 1 FP 2 F= 0 60，则 12 | |PFPF A (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 【答案】B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通 过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析 1】.由余弦定理得 cos 1 FP 2 F= 222 1212 12 | 2| PFPFFF PFPF 2 2 22 12 121212 0 1212 222 2 2 1 cos60 222 PF PF PFPFPF PFFF PF PFPF PF 12 | |PFPF A4 【解析 2】由焦点三角形面积公式得： 12 0 220 1212 60113 cot1 cot3sin60 22222 F PF SbPF PFPF PF 12 | |PFPF A4 18.18.（20202020 全国卷全国卷 1 1 理）理）(9)已知 1 F、 2 F为双曲线 C: 22 1xy的左、右焦点，点P在 C 上， 1 FP 2 F= 0 60，则P到x轴的距离为 (A) 3 2 (B) 6 2 (C) 3 (D) 6 【答案】 B 19.19.（20202020 四川文）四川文） （10）椭圆 22 22 10 xy a ab b的右焦点为F，其右准线与x轴的交点 为A在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是 （A） （0， 2 2 （B） （0， 1 2 （C）21，1） （D） 1 2 ，1） 【答案】D 【解析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F， 即F点到P点与A点的距离相等 而|FA| 22 ab c cc |PF|ac,ac 于是 2 b c ac,ac 即acc2b2acc2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又e(0,1) 故e 1,1 2 20.20.（20202020 四川文）四川文）(3)抛物线 2 8yx的焦点到准线的距离是 (A) 1 (B)2 (C)4 (D)8 【答案】C 【解析】由y22px8x知p4 又交点到准线的距离就是p 21.21.（20202020 湖北文）湖北文）9.若直线yxb与曲线 2 34yxx有公共点，则 b 的取值范围 是 A.1 2 2,12 2B.12,3 C.-1,12 2D.1 2 2,3 22.22.（20202020 山东理）山东理）(7)由曲线 y= 2 x,y= 3 x围成的封闭图形面积为 （A） 1 12 (B) 1 4 (C) 1 3 (D) 7 12 【答案】A 【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为 123 0 x -x )dx=（ 111 1-1= 3412 ,故选 A。 【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。 23.23.（20202020 安徽理）安徽理）5、双曲线方程为 22 21xy，则它的右焦点坐标为 A、 2 ,0 2 B、 5 ,0 2 C、 6 ,0 2 D、 3,0 【答案】C 【解析】双曲线的 22 1 1, 2 ab， 2 3 2 c ， 6 2 c ，所以右焦点为 6 ,0 2 . 【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用 222 cab求出 c 即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为 2 1b 或 2 2b ，从而得出错误结论. 24.24.（20202020 湖北理数）湖北理数）9.若直线 y=x+b 与曲线 2 34yxx有公共点，则 b 的取值范围 是 A. 1,12 2 B. 1 2 2,12 2 C. 1 2 2,3 D. 12,3 【答案】C 【解析】曲线方程可化简为 22 (2)(3)4(13)xyy，即表示圆心为（2，3）半径为 2 的半圆，依据数形结合，当直线yxb与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b 距离等于 2，解得12 212 2bb 或，因为是下半圆故可得12 2b （舍） ，当直线 过（0，3）时，解得 b=3,故12 23,b所以 C 正确. 25.25.（20202020 福建理）福建理） A B C D 【答案】C 【解析】经分析容易得出正确，故选 C。 【命题意图】本题属新题型，考查函数的相关知识。 26.26.（20202020 福建理）福建理）7若点 O 和点( 2,0)F 分别是双曲线 2 2 2 1(a0) a x y的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP 的取值范围为 ( ) A3-2 3,) B32 3,) C 7 -,) 4 D 7 ,) 4 【答案】B 【解析】因为( 2,0)F 是已知双曲线的左焦点，所以 2 14a ，即 2 3a ，所以双曲线方 程为 2 2 1 3 x y，设点 P 00 (,)xy，则有 2 2 0 00 1(3) 3 x yx，解得 2 2 0 00 1(3) 3 x yx，因为 00 (2,)FPxy ， 00 (,)OPxy ，所以 2 000 (2)OP FPx xy = 00 (2)x x 2 0 1 3 x 2 0 0 4 21 3 x x，此二次函数对应的抛物 线的对称轴为 0 3 4 x ，因为 0 3x ，所以当 0 3x 时，OP FP 取得最小值 4 32 31 3 32 3，故OP FP 的取值范围是32 3,)，选 B。 【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次 函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运 算能力。 27.27.（20202020 福建理数）福建理数）2以抛物线 2 4yx的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A 22 x +y +2x=0 B 22 x +y +x=0 C 22 x +y -x=0 D 22 x +y -2x=0 【答案】D 【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0） ，即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的 半径为r=1，故所求圆的方程为 22 x-1) +y =1（，即 22 x -2x+y =0，选 D。 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。 二、填空题二、填空题 1.1.（20202020 上海文）上海文）8.动点P到点(2,0)F的距离与它到直线20 x的距离相等，则P的轨 迹方程为 。 【答案】y28x 【解析】考查抛物线定义及标准方程 定义知P的轨迹是以(2,0)F为焦点的抛物线，p=2 所以其方程为y28x 2.2.（20202020 浙江理）浙江理） （13）设抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，点(0,2)A.若线段FA的中 点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_。 【解析】利用抛物线的定义结合题设条件可得出 p 的值为2，B 点坐标为（1 4 2 ，）所以点 B 到抛物线准线的距离为 3 2 4 ，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题 3.3.（20202020 全国卷全国卷 2 2 理）理） （15）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的准线为l，过(1,0)M且斜率 为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B若AMMB ，则p 【答案】2 【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质. 【解析】过 B 作 BE 垂直于准线l于 E，AMMB ，M 为中点， 1 BMAB 2 ，又斜 率为3， 0 BAE30， 1 BEAB 2 ，BMBE，M 为抛物线的焦点， p 2. 4.4.（20202020 全国卷全国卷 2 2 文）文）(15)已知抛物线 C：y2=2px（p0）的准线 l，过 M（1,0）且斜率为 的直线与 l 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若，则 p=_ 【解析解析】2】2：本题考查了抛物线的几何性质：本题考查了抛物线的几何性质 设直线设直线 ABAB： 33yx ，代入，代入 2 2ypx 得得 2 3( 62 )30 xp x ，又，又 AMMB ， 1 2 2 xp ，解得，解得 2 4120pP ，解得，解得 2,6pp （舍去）（舍去） 5.（2020江西理）15.15.点点 00 ()A xy，在双曲线在双曲线 22 1 432 xy 的右支上，若点的右支上，若点A A到右焦点的距离等于到右焦点的距离等于 0 2x，则，则 0 x= = 【答案】 2 【解析解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取a=2.c=6,a=2.c=6, r e d 3rd, , 2 000 23()2 a xxx c 6.6.（20202020 安徽文）安徽文）(12)抛物线 2 8yx的焦点坐标是 答案：(2,0) 【解析】抛物线 2 8yx，所以4p ，所以焦点(2,0). 【误区警示】本题考查抛物线的交点.部分学生因不会求p，或求出p后，误认为焦点 ( ,0)p，还有没有弄清楚焦点位置，从而得出错误结论. 7.7.（20202020 重庆文）重庆文）（13）已知过抛物线 2 4yx的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点， 2AF ，则BF _ . 【答案】 2 解析：由抛物线的定义可知 1 2AFAAKF ABx 轴 故AF BF 2 8.8.（20202020 重庆理）重庆理）(14)已知以 F 为焦点的抛物线 2 4yx上的两点 A、B 满足3AFFB ,则 弦 AB 的中点到准线的距离为_. 解析：设 BF=m,由抛物线的定义知 mBBmAA 11 ,3 ABC中，AC=2m,AB=4m,3 AB k 直线 AB 方程为) 1(3xy 与抛物线方程联立消 y 得03103 2 xx 所以 AB 中点到准线距离为 3 8 1 3 5 1 2 21 xx 9.9.（20202020 北京文）北京文） （13）已知双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率为 2，焦点与椭圆 22 1 259 xy 的焦 点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。 答案：(4,0) 30 xy 10.10.（20202020 北京理）北京理） （13）已知双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率为 2，焦点与椭圆 22 1 259 的 焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。 【答案】 （4，0） 30 xy 11.11.（20202020 天津文）天津文） （13）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程是 3yx，它的一个焦点与抛物线 2 16yx的焦点相同。则双曲线的方程为 。 【答案】 22 1 412 xy 【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。 由渐近线方程可知 3 b a 因为抛物线的焦点为（4，0） ，所以 c=4 又 222 cab 联立，解得 22 4,12ab，所以双曲线的方程为 22 1 412 xy 【温馨提示】求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解，注意双曲线中 c 最大。 12.12.（20202020 福建文数）福建文数）13 若双曲线 2 x 4 - 2 2 y b =1(b0)的渐近线方程式为 y= 1 x 2 ，则等于 。 【答案】1 【解析】由题意知 1 22 b ，解得 b=1。 【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。 13.13.（20202020 全国卷全国卷 1 1 文数）文数）(16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交C于点D， 且BF2FD uu ruur ，