甘肃省兰州市第一中学2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）

兰州一中2020-1学期期中考试试题高一数学说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第卷（选择题，共60分）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则满足集合的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 4个D. 8个【答案】C【解析】试题分析：根据题意，分析可得，该问题可转化为求集合A=1，2的子集个数问题，再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A=1，2的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个考点：并集及其运算2.对于映射，且，则与中的元素对应的中的元素为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知中映射，得到，即可求解【详解】由题意，且映射，令，解得，所以与中的元素对应的中的元素为故选：A【点睛】本题主要考查了映射的定义及应用，其中解答中熟记映射的概念与对应关系，列出方程组是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题3. 下列函数中表示同一函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：的定义域为R，的定义域是，故A不正确；的定义是R，的定义域是，故B不正确；的定义域是，解得，的定义域是，解得，所以两个函数的定义域不同，故C不正确；和的定义域都是，并且化简后就是，故D正确考点：函数的定义【方法点睛】考察了函数的表示以及函数的三个要素，属于基础题型，函数的三个要素包含定义域，对应关系和值域，只有两个函数的定义域相同，对应法则也相同，才是同一函数，当两个函数的定义域相同时，再看两个函数能否变形为同一个函数解析式4.函数的定义域是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足，即，解得，所以函数的定义域是，应选D考点：求函数的定义域【方法点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、对数式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性，特别是解对数不等式时，注意真数一定大于0，这时易错点，解决此类问题应从以下几个方面入手1、真数大于0；2、分母不为0；3、被开方数有意义；4、有意义5.已知是定义在上的奇函数，对任意，都有，若，则等于（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据，求得函数的周期，再利用函数的周期性和奇偶性，即可求解【详解】由题意，函数满足，所以函数是以4为周期的周期函数，则，又由函数上在上的奇函数，且，所以，即，故选：B【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的周期性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性和周期性，合理利用奇偶性和周期性转化求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题6.已知函数（是常数，且）在区间上有最大值3，最小值，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过换元令，然后由单调递减，结合的范围可列方程解得.【详解】令，最大值为0，最小值为.则当时，单调递减.所以，解得，有，故选A.【点睛】本题主要考查了指数型复合函数的最值问题，通常的解题的方法为换元，解题时注意新变元的范围，属于常考题型.7.若，当1时，的大小关系是A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：因为，那么当x1时，则利用指数函数和对数函数的值域可知，0a1,c0,因此选B8.已知函数,且，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的解析式，求得，进而可求解的值，得到答案【详解】由题意，函数，当时，令，即，此时不成立；当时，令，解得，所以故选：A【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答涉及到对数的运算性质和指数幂的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题9.若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图像是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由函数的图象为减函数可知，且，可得函数的图象递减，且，从而可得结果.【详解】由函数的图象为减函数可知，再由图象的平移知，的图象由向左平移可知，故函数的图象递减，且，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.10.若函数在上的最大值为，最小值，且函数在上是增函数，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用在上的最大值为，先确定的值，再利用函数在区间上是增函数，即可求得实数的值，得到答案【详解】由题意，当时，函数在为单调递增函数，所以，即，解得，此时最小值；当时，函数在为单调递减函数，所以，即，解得，此时最小值，又由函数在上是增函数，则，解答，综上可得，故选：C.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和幂函数的性质，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及计算能力，属于基础题11.函数=且),在上是增函数,则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为在上是增函数,即当时,=单增,即,解得;当时,单增,即且,解得;所以,即实数的取值范围是.选C.点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.12.若对于定义在上的函数，其图象是连续不断的，且存在常数使得对任意实数都成立，则称是一个“特征函数”下列结论中正确的个数为（）是常数函数中唯一的“特征函数”；不是“特征函数”；“特征函数”至少有一个零点；是一个“特征函数”A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】利用新定义“特征函数”，对选项逐个进行判定，即可求解，得到答案【详解】对于中，设，当时，函数是一个“特征函数”，所以不是唯一的一个常值的“特征函数”，所以不正确；对于中，函数，则，即，当时，当时，方程由唯一的解，所以不存在常数使得对任意实数都成立，所以函数不是“特征函数”，所以正确对于中，令，可得，所以，若，显然有实数根，若，又因为的函数图象是连续的，所以在上必由实数根，因此任意的“特征函数”必有实根，即任意“特征函数”至少有一个零点，所以是正确；对于中，假设是一个“特征函数”，则对任意的实数成立，则有，而此式有解，所以是“特征函数”，所以正确的，所以正确命题共有故选：C【点睛】本题主要考查了函数的基本概念及其应用，其中解答中熟记函数的零点，以及正确理解“特征函数”，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题二填空题（共3小题）13.如果，则当且时，_【答案】【解析】【分析】根据函数，利用换元法，即可求得函数的解析式，得到答案【详解】由题意，令，则且，因为，所以，其中且，所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解，其中解答中熟练应用换元法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题14.若函数的零点为，满足且，则_【答案】【解析】【分析】根据题意，得到函数为减函数，进而求得的值，利用零点的存在定理，即可求解【详解】由题意，函数，分析可得函数为减函数，又由，则，根据零点的存在定理，可得函数的零点在区间上，所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中熟记函数零点的概念，以及熟练应用零点的存在定理进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题15.设函数,，则函数的递减区间是_【答案】【解析】,如图所示，其递减区间是16.下列几个命题：函数偶函数，但不是奇函数；方程的有一个正实根，一个负实根，；是定义在上的奇函数，当时，则 时，函数的值域是其中正确命题的序号是_（把所有正确命题的序号都写上）【答案】【解析】【分析】中，函数既是奇函数又是偶函数，即可判定；中，方程有一个正实根，一个负实根，得到，即可判定；中，是定义在上的奇函数，则必有，即可判定；中，令，原函数可化为，即可判定，得到答案【详解】由题意，对于中，函数的定义域为，即，所以函数既是奇函数又是偶函数，所以不正确；对于中，方程的有一个正实根，一个负实根，则满足且，解得，所以是正确的；对于中，是定义在上的奇函数，则必有，而当时，所以不正确；对于中，令，原函数可化为，因为，所以，即原函数的值域为，所以是正确的综上，正确命题的序号为故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及应用，以及一元二次方程的性质，指数函数的性质和函数的值域的求解等知识点的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题三解答题（共6小题）17.计算下列各式的值：（1）；（2）【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由实数指数幂的运算性质，即可求解；（2）由对数的运算性质和对数的运算公式，即可求解【详解】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得：（2）根据对数的运算性质，可得【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的化简、求值问题，其中解答中熟记指数幂和对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题18.己知集合，（1）若为非空集合，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）若，那么，求解；（2）若，分，或是两种情况讨论当时，即，当时，即或，求解试题解析：解：（1）作出数轴可知若则有，解得：可得实数的取值范围为（2）则有如下三种情况：1），即，解得：；2），则有解得：无解；3），则有解得：综上可得时实数的取值范围为考点：集合的关系运算【易错点睛】本题主要考察了两个集合的关系，属于基础题型，第一问容易出错在有等号函数没等号上面，这就要求我们做题时要细心，第二问当时，易忽略的情况，以及时，或是一种或的关系，而不是且的关系，做题时切记或是求并集，且求交集19.已知幂函数在（0，）上是增函数（1）求的解析式（2）若，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由幂函数的性质可得，再由在上为增函数，则2m+10，然后，根据以上条件，求解即可.(2)由为R上的增函数，可得，求出a的范围，然后根据单调递增的特性，即可求出的取值范围.【详解】（1）因为是幂函数，所以即或 因为在上是增函数，所以2m+10，即m-，则m=1故=.（2）因为为R上的增函数. 所以， 解得. 故的取值范围为.【点睛】本题考查幂函数的性质和单调性，注意幂函数的系数为1，难点在于利用函数的单调性转化成不等式求解，属于中等题.20.函数f（x）=是定义在R上奇函数，且f（1）=1（1）求a，b的值；（2）判断并用定义证明f（x）在（+）的单调性【答案】（1）a=5，b=0； （2）见解析.【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数，可利用f（1）=1和f（-1）=-1，解方程组可得a、b值，然后进行验证即可；（2）根据函数单调性定义利用作差法进行证明【详解】（1）根据题意，f（x）=是定义在R上的奇函数，且f（1）=1，则f（-1）=-f（1）=-1，则有，解可得a=5，b=0；经检验，满足题意.（2）由（1）的结论，f（x）=，设x1x2，f（x1）-f（x2）=-=，又由x1x2，则（1-4x1x2）0，（x1-x2）0，则f（x1）-f（x2）0，则函数f（x）在（，+）上单调递减【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题21.已知函数 （1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；（2）是否存在这样的实数，使得函数f（x）在区间上为减函数，并且最大值为？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由【答案】（1）； （2）不存在.【解析】【分析】（1）结合题意得到关于实数的不等式组，求解不等式，即可求解，得到答案；（2）由题意结合对数函数的图象与性质，即可求得是否存在满足题意的实数的值，得到答案【详解】（1）由题意，函数且，设，因为当时，函数恒有意义，即对任意时恒成立，又由，可得函数在上为单调递减函数，则满足，解得，所以实数的取值范围是（2）不存在，理由如下：假设存在这样的实数，使得函数f（x）在区间上为减函数，并且最大值为，可得，即，即，解得，即，又由当时，此时函数为意义，所以这样的实数不存在【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及复数函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理求解函数的最值，列出方程求解是解答的关键，着重考查了对基础概念的理解和计算能力，属于中档试题22.已知指数函数满足，定义域为的函数是奇函数.（1）求函数的解析式；（2）若函数在上有零点，求的取值范围；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（），；（）（3，+）；（） 9，+）【解析】试题分析：（1）根据指数函数利用待定系数法求，利用奇函数用特值法求m,n，可得到解析式；（2）根据函数零点的存在性定理求k的取值范围；（3）分析函数的单调性，转化为关于t恒成立问题，利用分离参数法求k的取值范围试题解析：（）设,则，a=3, ，因为是奇函数，