吉林省吉林市普通中学2020届高三数学第三次调研测试试题（含解析）

吉林省吉林市普通中学2020届高三数学第三次调研测试试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求出，则可求。【详解】由题意知，所以，所以，故选C【点睛】本题考查一元二次不等式的解法及集合的并集运算，属基础题。2.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据新定义，化简即可得出答案【详解】cosisini，i)=i，此复数在复平面中对应的点（，）位于第一象限，故选：A【点睛】本题考查了复数的除法运算及复数的几何意义，涉及三角函数求值，属于基础题3.已知角的终边经过点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出点P到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可【详解】角的终边经过点p（1，），其到原点的距离r2故sin，cossincos故选：B【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题4.“成等差数列”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，成等差数列 ,而 ,但1,3,3,5不成等差数列,所以“，成等差数列”是“”的充分不必要条件,选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件5.正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为，则底面积为，侧棱长为，则可求侧面积为，所以可得表面积.【详解】如图所示，底面正三角的高AD=3，所以，AB=AC=BC=，所以,又SH为侧视图中的高，所以SH=3，则,则在等腰中,所以侧面积为，所以表面积为，故选A.【点睛】本题考查已知三视图求几何体的表面积，准确的还原出立体图是解题的关键，属中档题.6.已知双曲线的焦点到渐近线距离与顶点到渐近线距离之比为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意知,由与相似（O为坐标原点）可得，再由，可得，进而可得渐近线方程.【详解】如图所示，双曲线顶点为A，焦点为F，过A,F作渐近线的垂线，垂足为B，C，所以与相似（O为坐标原点），又由题意知，所以，即，又因为，所以，即所以渐近线方程为：，故选A.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，需灵活运用三角形相似及之间的关系，属基础题.7.已知是圆内过点的最短弦，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可【详解】圆的标准方程为（x3）2+（y+1）210，则圆心坐标为C（3，1），半径为 ，过E的最短弦满足E恰好为C在弦上垂足，则CE，则|AB|，故选：D【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题8.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】模拟程序的运行，可得s3，i=1满足条件i，执行循环体s3+，i=2满足条件i，执行循环体s3+，i=3，满足条件i，执行循环体，s3+，i=4，不满足条件i退出循环，输出s的值为s故选：C【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题9.将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为，则函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意知，然后利用正弦函数的单调性即可得到单调区间。【详解】由题意知，故向右平移个周期，即向右平移 个单位，所以，令 ，所以 ，故选B。【点睛】本题考查三角函数的平移变换，求正弦型函数的单调区间，属基础题。10.已知，是上的两个随机数，则满足的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】因为，则由题意知，满足条件的区域为与x轴围成的图形,由积分求出该图形的面积，再根据几何概型的公式可求得概率.【详解】因为为在内随机数，所以点所有的取值构成了边长为的正方形，所以面积为,如图所示，做出满足题意的正方形及的图像，则满足的范围为与x轴围成的图形,所以面积，由几何概型的公式可得，满足的概率为，所以的概率为，故选B.【点睛】本题考查了与面积有关的几何概型，积分求面积，属基础题.11.已知抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长取最小值时，线段的长为（ ）A. 1B. C. 5D. 【答案】B【解析】【分析】求PAF周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义，可知|PF|PD|因此问题转化为求|PA|+|PD|的最小值，根据平面几何知识，当D、P、A三点共线时|PA|+|PD|最小，由此即可求出P的坐标，然后求解PF长度【详解】求PAF周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值，设点P在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|PF|PD|因此，|PA|+|PF|的最小值，即|PA|+|PD|的最小值根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，此时P（，3），F（1，0）的长为，故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键12.设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，若，则实数的最小值为（ ）A. -1B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】构造函数，因为，所以，在为单调递减函数,在根据，可得，即得为偶函数,再将，等价变形，可得，结合的单调性，即可求解.【详解】设，则，因为当时，则所以当时，为单调递减函数,因为，所以，又因为，所以，即为偶函数,将不等式，等价变形得，即,又因为为偶函数，且在单调递减，则在是单调递增，解得，所以的最小值为.【点睛】本题考查了构造函数，函数的单调性，奇偶性及绝对值不等式的解法，难点在于准确的构造新函数，再根据函数的性质进行求解，属中档题.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.展开式中含项的系数为_【答案】40【解析】的展开式的通项为 ，令 ，所以展开式中含的项为，因此的系数为40，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14.已知向量，若，则实数_【答案】-1【解析】【分析】由条件得到与共线反向，求出m的值即可【详解】因为向量， 若，则与共线反向，所以m-1，故答案为：-1【点睛】本题考查向量的减法的几何意义及向量共线的应用，考查计算能力15.某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：（i）若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号；（ii）若开启2号或4号，则关闭1号；（iii）禁止同时关闭5号和1号.现要开启3号，则同时开启的另两个阀门是_【答案】4号5号【解析】【分析】3，4同时开启，且关闭1，2号， 又1，5不能同时关闭，则5开启。【详解】开启3号，则必须开启4号，同时关闭2号。因为4号开启，所以1号必须关闭。因为禁止同时关闭1号和5号，此时1号关闭，则5号必然开启，所以另外开启的两个阀门是4号和5号。【点睛】本题考查逻辑推理，属基础题。16.已知函数，若函数恰有2个不同的零点，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】因为，所以，画出的图像，通过分析图像与x轴交点，结合分段函数的性质，可求出a的范围。【详解】由题意得，即，如图所示，因为恰有两个不同的零点，即的图像与x轴有两个交点。若当时，有两个零点，则令，解得或， 则当时，没有零点，所以。若当时，有一个零点，则当时，必有一个零点，即，综上【点睛】本题考查了函数的零点与方程，应用数形结合的方法，将方程求根问题，转换成图像与x轴交点的问题，再结合零点个数，进行分析判断，属中档题。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.锐角中，角的对边分别为，的面积为，（1）求的值；（2）若，求的最大值.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）由三角形面积公式得，化简整理得。（2）由（1）结论及，可得，可求得，由余弦定理可得，结合均值定理可得，即。【详解】依题意，得，即由正弦定理得：，（2），为锐角，由余弦定理得，即，整理得：，即，当且仅当时取等号故的最大值为6.【点睛】本题考查了三角形的面积公式，正弦定理，余弦定理及均值定理，解题时需注意面积公式的选择，考查综合运用知识解题的能力，属中档题。18.2020年11月15日，我市召开全市创建全国文明城市动员大会，会议向全市人民发出动员令，吹响了集结号.为了了解哪些人更关注此活动，某机构随机抽取了年龄在1575岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，其分组区间为：，.把年龄落在和内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”，经统计“青少年人”与“中老年人”的人数之比为.（1）求图中的值，若以每个小区间的中点值代替该区间的平均值，估计这100人年龄的平均值；（2）若“青少年人”中有15人关注此活动，根据已知条件完成题中的列联表，根据此统计结果，问能否有的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注此活动？关注不关注合计青少年人15中老年人合计50501000.0500.0100.0013.8416.63510.828附参考公式：，其中.【答案】（1） ， （2）见解析【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中前两个小矩形的面积和为，后四个小矩形的面积和为求出a,b，再利用频率分布直方图中平均数的计算公式直接求；（2）依题意完成22列联表，计算K2，对照临界值得出结论【详解】（1）依题意，青少年人，中老年人的频率分别为，由得， （2）由题意可知，“青少年人”共有，“中老年人”共有人完成列联表如下：关注不关注合计青少年人152540中老年人352560合计5050100结合列联表故没有把握认为“中老年人”比青少年人“更加关注此活动.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用与独立性检验的应用问题，考查了频率分布直方图中平均数的计算公式及的运算，是中档题19.如图所示，四棱锥中，平面，为的中点.（1）证明：平面；（2）设二面角为，求四棱锥的体积.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）取PC中点F，连接EF，BF，则可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理即可得证.（2）设，则，进而可表示出任意点的坐标。由题意知平面，故平面的一个法向量为，又，设平面的法向量，则其中一条法向量，结合二面角为，可求出，所以即可求出.【详解】解：（1）证明：取中点，连，则，四边形为平行四边形平面，平面平面.（2）以为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系设，则，平面，故平面的一个法向量为，设平面的法向量，由得.令得，即依题意，解得 .【点睛】本题考查线面平行的判定定理，二面角的求法及四棱锥的体积公式，突破点在于根据二面角求出AB的长度，进而根据体积公式求解，属基础题.20.已知为椭圆：的上、下顶点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若点为直线上任意一点，交椭圆于两点，求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意，则，结合，可得，带入方程即可求解。（2）设，则直线的方程为，带入椭圆方程化简得，解得，同理可解，所以 ，带入数据，结合均值定理，即可求得。【详解】解：（1）依题意，则又由，解得，故椭圆的方程为（2）设，（不妨设），则直线的方程为，代入椭圆方程化简得，解得，同理， 令，则四边形面积又在上单调递减，【点睛】本题考查椭圆的几何性质及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，属中档题。椭圆方程的求法，需根据条件得到的关系，解出，得到方程。解决直线与椭圆的位置关系问题，常规思路是直线方程与椭圆方程联立，消元，化简，应用韦达定理建立关系，再进行求解。21.已知函数.（1）若在处的切线方程为，求的值；（2）若为区间上的任意实数，且对任意，总有成立，求实数的最小值.【答案】（1），（2）3【解析】【分析】（1）由题意得，即，又，即可解得n.（2）根据，可得，故在上单调递增,假设，可得且，即可去掉绝对值，令，依题意，应满足在上单调递减，在上恒成立. 即在上恒成立，令，讨论可得若，若，分析可得的最小值.【详解】解：（1） ，即，解得.（2）依题意，故在上单调递增，不妨设，则且，原不等式即为.令，依题意，应满足在上单调递减，即在上恒成立.即在上恒成立，令，则（i）若，此时在上单调递增，故此时（ii）若，时，单调递增；时，单调递减；故此时，故对于任意，满足题设条件的最小值为3.【点睛】本题考查导数应用：已知切线方程求参数，恒成立求最值，考查分类讨论和构造函数法，考查计算，推理，方程转化的能