北京市2020年高三数学调研测试（文）

北京市高三数学调研试卷（文科）2020年1月第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1在复平面内，复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限2已知命题：，那么命题为（A），（B），（C），（D），3已知圆的方程为，那么该圆的一条直径所在直线的方程为（A）（B）（C）（D）4已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为（A）（B）（C）（D）5在等比数列中，若，则等于（A）（B）（C）（D）132正(主)视图俯视图侧(左)视图6一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（A） （B） （C） （D）7的内角，的对边分别为，若，则的面积等于（A）（B）（C）（D） 8设集合，在上定义运算为：，其中，.那么满足条件（,）的有序数对共有（A）个（B）个（C）个（D） 个第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9甲、乙两名同学在次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如下，则平均成绩高的同学是 开始输出结束是否1899 82 1 03 8 9 9甲乙（第9题图） （第10题图）10执行如图所示的程序框图，输出的结果 11若向量，的夹角为，则 ； 12已知，那么 13设函数 若，则的取值范围是 14设等差数列的前项和为，若，则的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15（本小题满分13分）已知函数（）求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）求的最大值及单调递增区间ABB1CC1A1MN16（本小题满分13分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，分别是，的中点（）证明：；（）判断直线和平面的位置关系，并加以证明 17（本小题满分14分）设，函数 （）若，求曲线在点处的切线方程；（）求函数在上的最小值.18（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，设不等式组所表示的平面区域是，从区域中随机取点（）若，求点位于第一象限的概率；（）若，求的概率19（本小题满分13分）已知，两点，曲线上的动点满足.（）求曲线的方程；（）若直线经过点，交曲线于，两点，且，求直线的方程.20（本小题满分14分）数列满足，.（）若，求的值；（）当时，证明：；（）设数列的前项之积为.若对任意正整数，总有成立，求的取值范围.数学 （文科）评分参考一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1A 2C 3C 4B 5D 6B 7D 8A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 有两空的小题，第一空3分，第二空2分.9甲 10 11 12 13 14三、解答题：本大题共6小题，共80分.15解：（） 3分 2 5分所以 7分（）当（）时，的最大值是 9分由 ，得 ，所以的单调递增区间为， 13分DABB1CC1A1MN16证明：（）方法一：因为平面，所以是在平面内的射影 4分由条件可知，所以 6分方法二：因为平面，又平面，所以由条件，即，且，所以平面 4分又平面，所以 6分（）平面，证明如下： 8分设的中点为，连接，因为，分别是，的中点，所以又=，所以所以四边形是平行四边形所以 11分因为平面，平面，所以平面 13分17解：（） 3分当时，所以切线方程为，即 6分（）令，解得： ，则当时，函数在上单调递减，所以，当时，函数取得最小值，最小值为 8分 ，则当时，当变化时，的变化情况如下表：极小值所以，当时，函数取得最小值，最小值为 11分 ，则当时，函数在上单调递增，所以，当时，函数取得最小值，最小值为 13分综上，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为 14分18解：（）若，则点的个数共有个，列举如下：，当点的坐标为，时，点位于第一象限， OxyADCBE故点位于第一象限的概率为 5分（）这是一个几何概率模型如图，若，则区域的面积是满足的点构成的区域为，即图中的阴影部分 9分易知，所以扇形的面积是，的面积是，故的概率为 13分19解：（）由已知可得，故曲线是以，为焦点，长轴长为的椭圆，其方程为 5分 （）方法一：设，由条件可知为的中点，则有 9分将（3）、（4）代入（2）得，整理为将（1）代入上式得，再代入椭圆方程解得，故所求的直线方程为 13分方法二：依题意，直线的斜率存在，设其方程为 由 得 令，解得 设， 则 ， 8分因为，所以为的中点，从而将代入 、 ，得，消去得 ， 11分解得， 所以直线的方程为 13分20解：（）因为，所以，解得或（舍去）由的任意性知， 3分（）反证法：