山东省2020届高考数学 冲刺预测试题之解答题（3）

解答题（3）1、当地时间2020年3月11日下午2点46分左右，日本东北地区宫城县北部发生里氏8.9级特大地震，地震引发大海啸，导致福岛核电站发生爆炸，多座核反应堆泄漏辐射物质；为预防核辐射，某单位于2020年3月底投入10万元为各办公室购置了进口专用净化器该单位所有净化器每年的运转总费用是0.05万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为0.2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加0.2万元（1）求该单位使用专用净化器年的年平均费用（万元）；（2）为使该单位使用专用净化器的年平均费用最低，该单位几年后需要重新更换新的专用净化器？解：（1），即（）； （2）由均值不等式得：（万元）（当且仅当，即时取到等号）答：该单位10年后需要重新更换新的专用净化器2、从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升然后用水填满，再倒出1升混合溶液后又用水填满，这样继续进行；设前n次共倒出纯酒精升，第n次倒出纯酒精升；（1）试求，；（2）设等差数列的前n项和为，且，求数列的通项公式(3)若，其中、即为(1)、(2)中的数列、的第项，试求解：(1)由题意容易看出：前n次共倒出的纯酒精是在前n1次共倒出的纯酒精的基础上再加上第n次所倒的纯酒精，因为前n次共倒出纯酒精升，则前n1次共倒出纯酒精升；所以第n1次倒出并用水填满后，溶液的浓度为，再倒出1升混合溶液中所含纯酒精为升，所以，即；2是以为公比的等比数列，且首项为2121，即；所以第n次倒出的纯酒精，又；故.(2) 设等差数列的公差为d，则由已知的，得方程组 由得a1=d，由得8a1+13d=42；a1=d=2；综上得：.(3) 当 (N*)时，当 (N*)时，3如图，已知矩形ABCD中，AB=1,BC=，PA平面ABCD，且PA=1。(1)问BC边上是否存在点Q，使得PQQD?并说明理由； (2)若边上有且只有一个点Q，使得PQQD,求这时二面角Q的正切。3.解：(1)(如图)以A为原点建立空间直角坐标系,设，则Q,P(0,0,1),D得,由,有,得 若方程有解,必为正数解，且小于。由,得。(i)当时，BC上存在点Q,使PQQD；(ii)当时，BC上不存在点Q，使PQQD。(2)要使BC边上有且只有一个点Q,使PQQD,则方程有两个相等的实根,这时,，得,有。又平面APD的法向量，设平面PQD的法向量为而，由,得，解得有，则，则。所以二面角的正切为。4已知双曲线C1：(a0)，抛物线C2的顶点在原点O，C2的焦点是C1的左焦点F1。（1）求证：C1，C2总有两个不同的交点；（2）问：是否存在过C2的焦点F1的弦AB，使AOB的面积有最大值或最小值？若存在，求直线AB的方程与SAOB的最值，若不存在，说明理由。4.解析：（1）由双曲线方程得，所以F1(,0)，抛物线焦点到准线的距离，抛物线： 把代入C1方程得： =64a20，所以方程必有两个不同实根，设为x1,x2,由韦达定理得x1x2=-a20，设y1,y2分别为A，B的纵坐标，则y1+y2=,y1y2=-12a2.所以(y1-y2)2=48a2(m2+1).所以SAOB=|y1-y2|O