福建省宁德市高中同心顺联盟校2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）(1)

福建省宁德市高中同心顺联盟校2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）注意事项：1答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂1.直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由直线方程求出直线的斜率，再利用倾斜角的正切值等于斜率即可求得【详解】设直线的倾斜角是，直线化为，故选：C【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题2.当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ）A. 三点确定一平面B. 不共线三点确定一平面C. 两条相交直线确定一平面D. 两条平行直线确定一平面【答案】B【解析】【分析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定,此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上.【详解】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定.故选B项.【点睛】本题考查不共线三个点确定一个平面，属于简单题.3.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，与所成角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把正方体的平面展开图还原成正方体ADNECMFB，由此能求出AM与BN所成角的大小【详解】如图所示，把正方体的平面展开图还原成正方体ADNECMFB，CDBN，CDAM，AMBN，在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为90故选：B【点睛】本题考查异面直线所成角的大小的求法，也考查数形结合与数学转化思想方法，属于基础题4.已知点在圆外，则的取值范围（ ）A. B. 或C. D. 【答案】A【解析】分析】求出圆的标准方程，结合点与圆的位置关系建立不等式关系进行求解即可【详解】圆，圆的标准方程为，圆心坐标，半径，若在圆外，则满足 ，且，即且，即故选：【点睛】本题主要考查点和圆的位置关系的应用，求出圆的标准方程是解决本题的关键，属于基础题5.已知直线及平面，下列命题中错误的是（）A. 若m，ln，则mnB. 若，n，则nC. 若m，mn，则nD. 若，n，则n【答案】D【解析】【分析】在A中，由平行公理得mn；在B中，由线面垂直、线面平行的性质定理得n；在C中，平行线的性质定理得n；在D中，与n相交、平行或异面【详解】由直线，m，n及平面，知：在A中，若m，n，则由平行公理得mn，故A正确；在B中，若，n，则由线面垂直、线面平行的性质定理得n，故B正确；在C中，若m，mn，则平行线性质定理得n，故C正确；在D中，若，n，则与n相交、平行或异面，故D错误故选：D【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查化归与转化思想，属于中档题6.圆和圆的位置关系是( )A. 内切B. 外切C. 相交D. 外离【答案】C【解析】【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，求出两圆心的距离d，然后求出Rr和R+r的值，判断d与Rr及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系【详解】把圆x2+y22x0与圆x2+y2+4y0分别化为标准方程得：（x1）2+y21，x2+（y+2）24，故圆心坐标分别为（1，0）和（0，2），半径分别为R2和r1，圆心之间的距离，则R+r3，Rr1，RrdR+r，两圆的位置关系是相交故选：C【点睛】本题考查两圆的位置关系，比较两圆的圆心距，两圆的半径之和，之差的大小是关键，属于基础题.7.在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用直线斜率与截距的意义即可得出【详解】假设，则中的的截距与矛盾，同理也与矛盾假设，则中的斜率小于零，与斜率大于零相矛盾，故符合条件故选：【点睛】本题考查了直线斜率与截距的意义，考查了数形结合的思想方法，属于基础题8.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为（ ）A. 6B. 7C. 2D. 4【答案】A【解析】【分析】根据题意，当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积；当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，故水的体积可以用三角形的面积直接表示出，计算即可得答案【详解】根据题意，当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，设ABC的面积为S，则S梯形S，水的体积V水SAA16S，当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，则有V水Sh6S，故h6.故选：A【点睛】本题考点是棱柱的体积计算，考查用体积公式来求高，考查转化思想以及计算能力，属于基础题9.若圆上有个点到直线的距离为1，则等于（ ）A. 2B. 1C. 4D. 3【答案】B【解析】【分析】确定圆心和半径，求出圆心到直线的距离，与半径比较，即可得出结论【详解】圆C：（x5）2+（y+1）24是一个以（5，1）为圆心，以2为半径的圆圆心到4x+3y20的距离为，所以圆C：（x5）2+（y+1）24上有1个点到直线4x+3y20的距离为1.故选：B【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题10.在梯形中，将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】判断旋转后的几何体的形状，然后求解几何体的体积即可【详解】由题意可知旋转后的几何体如图所示：将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积：故选：D【点睛】本题考查旋转几何体的体积的求法，判断旋转后几何体的形状是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.11.如图所示：在正方体中，设直线与平面所成角为，二面角的大小为，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】连结BC1，交B1C于O，连结A1O，则BA1O是直线A1B与平面A1DCB1所成角1，由BCDC，B1CDC，知BCB1是二面角A1DCA的大小2，由此能求出结果【详解】连结BC1，交B1C于O，连结A1O，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BC1B1C，BC1DC，BO平面A1DCB1，BA1O是直线A1B与平面A1DCB1所成角1，BOA1B，130；BCDC，B1CDC，BCB1是二面角A1DCA的大小2，BB1BC，且BB1BC，245故选：A【点睛】本题考查线面角、二面角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题12.如图，四边形中，将沿折起，使平面平面，构成四面体，则在四面体中，下列结论正确的是（ ）A. 平面平面B. 平面平面C. 平面平面D. 平面平面【答案】B【解析】【分析】由题意推出CDAB，ADAB，从而得到AB平面ADC，又AB平面ABC，可得平面ABC平面ADC【详解】在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面BCD. 故CD平面ABD，则CDAB，又ADAB，CDAD=D，AB平面ADC，又AB平面ABC，平面ABC平面ADC故选：B【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定和性质定理，考查逻辑思维能力，属于中档题二、填空题：每小题5分，共20分.13.在空间直角坐标系中，设，且，则_【答案】【解析】 .14.已知圆，点P在圆C上运动，则OP的中点M的轨迹方程_（为坐标原点）【答案】【解析】【分析】设，得代入已知圆的方程，能求出线段的中点的轨迹方程【详解】设，为坐标原点，且是线段的中点，得，当点在圆上运动时，把代入圆得：.整理得线段的中点的轨迹方程为：故答案为：【点睛】本题考查线段的中点的轨迹方程的求法，考查相关点法、中点坐标公式等基础知识，属于中档题15.一个直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为_【答案】【解析】【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为，则球心为线段的中点，利用勾股定理求出球的半径，由此能求出球的表面积【详解】一个直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的球面上，设此直三棱柱两底面的中心分别为，则球心为线段的中点，设球的半径为，则球的表面积 .故答案为：【点睛】本题考查球的表面积的求法，空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、属于中档题16.如图所示，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是_平面；平面平面；三棱锥的体积为定值；存在某个位置使得异面直线与成角【答案】【解析】【分析】在中，由EFBD，得EF平面ABCD；在中，连接BD，由ACBD，ACDD1，可知AC面BDD1B1，从而得到面ACF平面BEF；在中，三棱锥EABF的体积与三棱锥ABEF的体积相等，从而三棱锥EABF的体积为定值；在中，令上底面中心为O，得到存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30【详解】由正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且，知：在中，由EFBD，且EF平面ABCD，BD平面ABCD，得EF平面ABCD，故正确；在中，连接BD，由ACBD，ACDD1，可知AC面BDD1B1，而BE面BDD1B1，BF面BDD1B1，AC平面BEF，AC平面ACF，面ACF平面BEF，故正确；在中，三棱锥EABF的体积与三棱锥ABEF的体积相等，三棱锥ABEF的底面积和高都是定值，故三棱锥EABF的体积为定值，故正确；在中，令上底面中心为O，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是OBC1，可求解OBC1300，故存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30，故正确故答案为：【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题三、解答题：要求写出过程，共70分.17.已知三个顶点是（1）求边上的垂直平分线的直线方程；（2）求的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意可得BC的中点和BC的斜率，由垂直关系可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得方程，化为一般式即可；（2）由（1）得BC的方程，可得A到BC的距离，再求得BC的长度，代入三角形的面积公式可得答案【详解】（1），则所求直线的斜率为： 又的中点的坐标为，所以边的上的中垂线所在的直线方程为：；（2）直线的方程为：，则点到直线距离为：，.【点睛】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积，及点到直线的距离，属于基础题18.如图所示，在直三棱柱中，点D是AB的中点（1）求证：；（2）求证：平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用为直三棱柱，得，利用，说明，得平面，推出；（2）连接，设，得为的中点，证得，即可证明平面【详解】（1）直三棱柱中，底面三边长，且，又，平面，平面.平面 ，平面，；（2）连接，设，得为的中点，连接，且点D是AB的中点 ，平面平面，平面【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定定理，直线与直线垂直，直线与平面平行的判定定理，属于中档题19.已知圆C：（xa）2+（y2）24（a0）及直线l：xy+30当直线l被圆C截得的弦长为时，求（）a的值；（）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程【答案】（）a1；（）5x12y+450或x3【解析】【分析】（）根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，然后根据垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径成直角三角形，利用勾股对了列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后由a大于0，得到满足题意a的值；（）把（）求出a的值代入圆的方程中确定出圆的方程，即可得到圆心的坐标，并判断得到已知点在圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到x3为圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，由（3，5）和设出的k写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程综上，得到所有满足题意的切线的方程【详解】解：（）依题意可得圆心C（a，2），半径r2，则圆心到直线l：xy+30的距离，由勾股定理可知，代入化简得|a+1|2，解得a1或a3，又a0，所以a1；（）由（1）知圆C：（x1）2+（y2）24，圆心坐标为（1，2），圆的半径r2由（3，5）到圆心的距离为r2，得到（3，5）在圆外，当切线方程的斜率存在时，设方程为y5k（x3）由圆心到切线的距离dr2，化简得：12k5，可解得，切线方程为5x12y+450；当过（3，5）斜率不存在直线方程为x3与圆相切由可知切线方程为5x12y+450或x3【点睛】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题20.已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，面面，E为CD的中点(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）.【解析】分析：（1）首先利用勾股定理可求得，应用平行垂直关系得到，利用线面垂直的判定定理证得平面；（2）作出垂线段，求得结果，应用体积公式求得结果.详解：（1）证明：底面ABCD是正方形，AB/CD 又， ， 又 （2）且， 又， ， 为三棱锥的 高， = (另可以以为底，为高计算. )点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定以及椎体体积的求解，在解题的过程中，注意应用勾股定理也是证明线面垂直的方法，再者就是在求三棱锥的体积的时候可以应用顶点和底面转换达到简化求解的目的.21.如图，在四棱锥中， 平面