山东省聊城市2020届高三数学二模考试试卷 文（含解析）

2020年聊城市高考模拟试题文科数学（二）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出集合，由此能求出【详解】集合，故选B.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.已知，则的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得，的值，则答案可求【详解】由，得，其共轭复数为，故选A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题3.已知实数，“”是“”（ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题中条件，分别判断由“”能否推出“”，以及由“”能否推出“”，结合充分条件与必要条件的概念即可得出结果.【详解】当时，若，则，不能推出“”；当，可得；故“”是“”的必要不充分条件.故选B【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的概念，熟记概念即可，属于基础题型.4.连续投掷一颗骰子两次，第一次向上的点数比第二次向上的点数小的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】基本事件总数，利用列举法能求出第一次向上的点数比第二次向上的点数小的概率【详解】连续投掷一颗骰子两次，基本事件总数，第一次向上的点数比第二次向上的点数小包含的基本事件有：，共15个，第一次向上的点数比第二次向上的点数小的概率是，故选C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5.已知函数，则（ ）A. -2B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得，进而求出的值，即可得答案【详解】根据题意，函数，则，又由，故选C【点睛】本题主要考查了分段函数的求值计算，函数周期性的应用，关键是分析函数的解析式，属于基础题6.在长方体中，分别为棱的中点，则下列结论中正确的是（ ）A. 平面B. C. D. 平面平面【答案】D【解析】【分析】在中，与相交，从而不平行于平面；在中，从而不可能平行于；在中，从而与不可能平行；在中，从而平面平面【详解】在长方体中，分别为棱，的中点，与相交，从而不平行于平面，故错误；在中，故不可能平行于，故B错误；在中，故与不可能平行，故错误；在中，平面平面，故D正确，故选D【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了空间想象能力，是中档题7.1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关.如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】A【解析】【分析】根据程序框图逐步进行模拟运算即可【详解】，不满足，是奇数满足，不满足，是奇数不满足，不满足，是奇数满足，不满足，是奇数不满足，不满足，是奇数不满足，不满足，. 是奇数不满足，不满足，是奇数不满足，满足，输出，故选A【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键，属于基础题8.某几何体的三视图如图所示，其中正视图，侧视图都是两个正方形，俯视图为一个圆及圆中互相垂直的半径，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由三视图可知该几何体为一个圆柱挖去了，再由圆柱的体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可知该几何体为一个圆柱挖去了，且圆柱的底面圆半径为1，高为2，因此，所求几何体的体积为.故选C【点睛】本题主要考查几何体的三视图以及几何体体积问题，熟记圆柱体积公式即可，属于常考题型.9.函数的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断函数奇偶性，可排除C，再由特殊值验证可排除D；最后对函数求导，得到函数的单调区间，即可得出结果.【详解】因为，所以，所以函数为奇函数，排除C；又，排除D；又，因为所以由可得，解得；由可得，解得或；所以函数上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；故选A【点睛】本题主要考查函数图像的识别，常使用排除法处理，需要考生熟记函数的奇偶性、单调性的判定等，属于常考题型.10.将函数的图像向右平移个单位后与的图像重合，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先写出函数向右平移个单位所得函数解析式，结合题意，以及三角函数的性质即可求出结果.【详解】因为将函数的图像向右平移个单位后，可得，由题意可得，所以，,因此，,又，所以的最小值为.故选D【点睛】本题主要考查三角函数图像变换问题，熟记三角函数的性质即可求解，属于基础题型.11.已知中，是边上一点，若，则的面积为（ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】设，则在中，由余弦定理可求，根据，解得，在中，由余弦定理可得，利用三角函数基本关系式可求的值，利用三角形的面积公式即可计算得解【详解】，设，则在中，由余弦定理可得：，在中，可得：，解得，即：，在中，由余弦定理可得：，可得：，故选B【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题12.已知为函数的导数，且，若，方程有且只有一个根，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知求得，把原函数求导后可得，求得函数解析式，代入化简，方程有且只有一个根，分，及三种情形，时转化为有且只有一个实数根，令，利用导数研究单调性，再数形结合得答案【详解】由，得，则，则，方程即，时方程显然无解；时，对于任意，函数与有一个交点，满足题意；时，则，令，则当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，又当时，当时，在时的图象如图：由图可知，时，方程有一根，综上，的取值范围为，故选D【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，将方程的根（函数零点）问题转化为函数图象交点问题是解题的关键，是中档题二、填空题。13.已知实数满足则的最小值_.【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，目标函数表示直线在轴截距，结合图像即可得出最小值.详解】由约束条件作出可行域如下：因为目标函数表示直线在轴截距，由图像可得，当直线过点时截距最小，即最小；由解得，故的最小值为.故答案为【点睛】本题主要考查简单的线性规划，根据可行域，结合目标函数的几何意义即可求解，属于基础题型.14.已知向量，则_.【答案】2【解析】【分析】先由题意得到，再由，即可求出结果.【详解】因为，所以，又，所以，解得.故答案为2【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于常考题型.15.已知为坐标原点，为椭圆的右焦点，过点的直线在第一象限与椭圆交与点，且为正三角形，则椭圆的离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据过点的直线在第一象限与椭圆交与点，且为正三角形，求出点坐标，再代入椭圆方程，即可求出结果.【详解】因为为椭圆：的右焦点，所以，又点的直线在第一象限与椭圆交与点，且为正三角形，边长为，所以，代入可得：，又，所以，所以，解得，因为，所以，故.故答案为【点睛】本题主要考查椭圆离心率，熟记椭圆的性质即可，属于常考题型.16.已知函数的最大值是，则_.【答案】【解析】【分析】首先利用两角和的正弦以及降幂公式化为，利用三角函数的性质易得，结合三角恒等式即可得结果.【详解】又的最大值为，得，所以，又因为，所以，所以，故答案为【点睛】本题主要考查了两角和的正弦，降幂公式以及三角函数的最值，三角恒等式等，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列是等比数列，且；（1）证明：数列是等差数列，并求出其通项公式； （2）求数列的前项和.【答案】（1）见证明；（2） 【解析】【分析】（1）数列是公比为的等比数列，运用等比数列的定义和通项公式可得数列是首项为3，公差为2的等差数列，可得所求通项公式；（2）求得，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和【详解】（1）证明：数列是公比为的等比数列，且，可得，解得，即有，即，可得数列是首项为3，公差为2的等差数列，可得；（2），所以.【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.18.如图，四边形是边长为的正方形，为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）求证：平面平面； （2）若三棱锥的体积为，求该三棱锥的表面积.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）折起后，且，从而是正三角形，推导出，从而平面，由此能证明平面平面；（2）由三棱锥的体积为可求出正方形的边长为2，由此能求出该三棱锥的表面积【详解】（1）因为四边形是正方形，所以折起后，且，因为，所以是正三角形，所以，因为正方形中，为的中点，所以，所以，所以，所以，又因为，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）设正方形的边长为，由（1）知面，且为边长为的正三角形，所以，解得.所以三棱锥的表面积为：.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19.已知点是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于两点. （1）若，求直线的方程； （2）点是点关于轴的对称点，为坐标原点，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由，【答案】（1）或；（2）见解析【解析】【分析】由，得，得抛物线方程为，设出直线代入抛物线，根据韦达定理得，（1）根据抛物线的定义以及可求得，可得直线的方程；（2）根据的对称点以及向量数量积公式可得【详解】解：由点是抛物线的焦点，得，所以抛物线的方程为.设直线的方程为，与联立消，得.设，则，（1），解得或.即直线的方程为或；（2）点是点关于轴的对称点，所以，所以. ，即为定值.【点睛】本题主要考查了抛物线定义的理解，直线与抛物线的位置关系，向量的数量积等基本知识，属于中档题20.某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如图）： 质量指标值分组频数520402510销售时质量指标值在的产品每件亏损1元，在的产品每件盈利3元，在 产品每件盈利5元. （1）求每件产品的平均销售利润； （2）该企业为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年年营销费用和年销售量数据做了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值. 16.3023.200.811.62表中根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程. 求关于的回归方程； 用所求的回归方程估计该企业应投人多少年营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益=销售利润营销费用，取）附：对于一组数据其回归直线均斜率和截距的最小二乘估计分别为.【答案】（1）3元（2） 见解析【解析】【分析】（1）由频率分布表结合已知数据即可求解；（2）由得，令，则，结合表中数据求得与的值，得到，进一步求得关于的回归方程；设年收益为万元，则，然后利用换元法求解【详解】（1）抽取的100件产品平均一件的利润为，即可估计该企业生产的产品平均一件的利润为3元.（2）由得，令，则，由表中数据可得，则，所以，即，因为，所以，故所求的回归方程为；设年收益为万元，则，令，则，所以当，即时，有最大值900，即该企业应该投入900万元营销费，能使得该企业的年收益的预报值达到最大900万元.【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题21.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若时，求的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，递减区间为.（2）【解析】【分析】（1）求出原函数的导函数，分别由导函数大于0和小于0求解原函数的增区间与减区间；（2）当时，不等式等价于，设，利用两次求导求解的取值范围【详解】解：（1）因为，所以函数的定义域为，且，令得，解得；令得，解得，所以函数的单调递增区间为，递减区间为.（2）当时，等价于，设，则，设，则，因为当时，所以在上单调递增，即在上单调递增.因此，当时，在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，符合题意.当时，存在，使得当时，从而在上单调递减，又因为，所以当时，不合题意，综上，的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，属中档题22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线（为参数）.以原点为极点，轴