安徽省太和中学高三数学一轮复习 第8讲 空间向量的应用教案

第八讲 空间向量的应用一、考情分析在高考的立体几何试题中，平行或垂直的证明、空间角与空间距的求解是常考查的问题，其传统的“三步曲”解法：“作图、证明、解三角形”，作辅助线多、技巧性强，是复习的难点空间向量的引入有利于解决这些问题，为立体几何增添了活力，新思想、新方法与时俱进，很多较难的空间的证明或计算问题，就有了解决的通法，减少学生学习度量问题的困难本讲主要帮助考生理解并领悟向量工具的威力，运用向量方法简捷地解决这些问题 二、知识归纳及例析（一）平行的证明（1）两条直线平行的证明思路：（分别是的方向向量）（2）直线与平面平行的证明思路：法1：（分别是的方向向量、法向量）；法2：（分别是的方向向量，是平面的一个基底）（3）两个平面平行的证明思路：（分别是平面的法向量）例1：（04年湖南卷）在底面是菱形的四棱锥中，（1）证明：平面（2）在棱上是否存在一点，使平面？解析：（1）底面是菱形，在中，同理，故平面（2）建立直角坐标系，如图，设点是棱上一点，则：，令，解之得：，当点是棱的中点时，共面，又平面，当点是棱的中点时，平面（二）垂直的证明（1）两条直线垂直的证明思路（分别是的方向向量）（2）直线与平面垂直的证明思路法1：（分别是的方向向量、法向量）；法2：（分别是的方向向量，是平面的一个基底）（3）两个平面垂直的证明思路（分别是平面的法向量）例2：（05年湖北卷）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点 （）求直线与所成角的余弦值；（）在侧面内找一点，使平面，并求出点到和的距离解析：（）建立如图所示的空间直角坐标系，设的夹角为，则：，故AC与PB所成角的余弦值为（）由于点在侧面内，故可设，则：，平面，即；从而点到和的距离分别为例3：（05年浙江卷）如图，在三棱锥中，点分别是的中点，底面 （1）当时，求直线与平面所成角的大小； （2）当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心？解析：，；建立如图所示的空间直角坐标系，设，则：，设，则：；（1）当时，可求得平面PBC的法向量，设直线与平面所成角为，则：故直线与平面所成角为（2）的重心，又，此时，即；反之，当时，三棱锥为正三棱锥，在平面内的射影恰好为的重心（三）求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有六种距离，这里着重研究点面之距的求法，异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求（1）求点面距离设是平面的法向量，在内取一点， 则到的距离为（2）求异面直线的距离在上取一点, 在上取一点, 设分别为异面直线的方向向量，设异面直线的公共的垂直向量为，则异面直线的距离为：（此方法移植于点面距离的求法）例4：正方体的棱长为，求异面直线的距离解析：建立直角坐标系，如图，设异面直线的公共的垂直向量为，则：，在上的投影长为：异面直线的距离为（四）求空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角 （）求异面直线所成的角设分别为异面直线的方向向量，异面直线成角的范围是，而向量的夹角的范围是，则：例5：三棱柱中，平面平面，求异面直线所成的角解析：本题宜于运用向量法解决法1：设，则：，故异面直线所成的角法2：建立直角坐标系，如图所示，则：，故异面直线所成的角（2）求线面角问题设是斜线的方向向量，是平面的法向量，则斜线与平面所成的角例6：如图，正三棱柱中，求直线与平面所成的角解析：本题运用向量法有以下两种解法：法1：建立直角坐标系，如图所示，则即为所求； ，故直线与平面所成的角法2：显然平面的法向量为，则：故直线与平面所成的角（3）求二面角问题法一：设，在内，在内，其方向如图，则二面角的平面角法二：设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角的平面角例7：（05年江西卷）如图，在长方体中，点在棱上移动 （1）证明：； （2）等于何值时，二面角的大小为解析：建立直角坐标系，如图所示，（1），（2）设平面的法向量，则：，（不合，舍去），故当时，二面角的大小为例8：（05年北京卷）如图，在直四棱柱中，垂足为. （）求证：； （）求二面角的大小；（）求异面直线与所成角的大小解析：（I）在直四棱柱中，底面，是在平