广东省新会一中2020届高三数学二轮复习 函数压轴题精编解析 理 新人教A版

第二轮复习-函数压轴题精编解析1、（本小题满分14分）已知二次函数.（1）若，试判断函数零点个数；(2)若对且，试证明，使成立。(3)是否存在，使同时满足以下条件对，且；对,都有。若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。解（1） 1分，当时，函数有一个零点； 当时，函数有两个零点。3分（2）令，则 ，5分在内必有一个实根。即，使成立。8分（3） 假设存在，由知抛物线的对称轴为x1，且 10分由知对,都有令得由得， 12分当时，其顶点为（1，0）满足条件，又对,都有，满足条件。存在，使同时满足条件、。 14分2、已知函数(其中) ,点从左到右依次是函数图象上三点,且.() 证明: 函数在上是减函数；() 求证：是钝角三角形;() 试问,能否是等腰三角形?若能,求面积的最大值;若不能,请说明理由解：() 所以函数在上是单调减函数. 4分 () 证明:据题意且x1x2f (x2)f (x3), x2=6分8分即是钝角三角形.9分() 假设为等腰三角形，则只能是即 .12分而事实上, 由于,故(2)式等号不成立.这与式矛盾.所以不可能为等腰三角形. .14分3、（本小题满分14分）规定其中，为正整数，且这是排列数是正整数，且的一种推广（）求的值；（）排列数的两个性质：， (其中m,n是正整数)是否都能推广到是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；（）确定函数的单调区间解：（）； 2分（）性质、均可推广，推广的形式分别是：， 4分事实上，在中，当时,左边， 右边，等式成立；当时，左边 ， 因此,成立； 6分在中，当时,左边右边，等式成立；当时，左边右边，因此 成立。 8分（）先求导数，得.令0,解得x.因此，当时,函数为增函数,11分当时,函数也为增函数。令0,解得x.因此,当时,函数为减函数.13分所以，函数的增区间为， 函数的减区间为14分4、（本小题满分14分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意的，且当时，.()求证:函数f（x）为奇函数；()求证：()求函数在区间-n,n(n)上的最大值和最小值。()证明：对任意的 令得 1分令得2分 由得函数为奇函数3分()证明:（1）当n1时等式显然成立（2）假设当nk（k）时等式成立，即，4分则当nk1时有，由得6分 当nk1时，等式成立。综（1）、（2）知对任意的,成立。8分()解:设，因函数为奇函数，结合得，9分又当时，函数在R上单调递减12分 由（2）的结论得，2n函数为奇函数， ，2n。14分5、（本小题满分14分）已知函数f (x)=。（1）若函数f (x)在1，+）上为增函数，求正实数的取值范围；（2）当=1时，求f (x)在，2上的最大值和最小值。（3）求证：对于大于1的正整数n，。（1）f (x)= 依题0在1，+）上恒成立即a在1，+）上恒成立，a1（2）当a=1时，f (x)=，其中x,2， 而x,1)时，f (x)0， x=1是f (x)在，2上唯一的极小值点， f (x)min=f (1)=0又f ()-f (2)=-2ln2=0，f ()f (2)， f (x)max=f ()=1-ln2综上，a=1时，f (x)在，2上的最大值和最小值分别为1-ln2和0（3）若a=1时，由（1）知f (x)=在1，+）上为增函数，当n1时，令x=，则x1，故f (x)f (1)=0， 即f ()=+ln=-+ln0，ln6、我们用和分别表示实数中的最小者和最大者.（1）设，函数的值域为，函数的值域为，求；（2）提出下面的问题：设，为实数，求函数（）的最小值或最大值为了方便探究，遵循从特殊到一般的原则，先解决两个特例：求函数和的最值。得出的结论是：，且无最大值；，且无最小值请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其成立的理由；（3）试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明（如果结论是分类的，请选择一种情况加以证明）解：（1）， （2）若选择学生甲的结论，则说明如下， ，于是在区间上是减函数，在上是减函数，在上是增函数，在上是增函数，所以函数的最小值是，且函数没有最大值 若选择学生乙的结论，则说明如下， ，于是在区间上是增函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数 所以函数的最大值是，且函数没有最小值（3）结论：若，则；若，则；若，则， 以第一个结论为例证明如下： ， 当时，是减函数，当时，是增函数当时，函数的图像是以点，为端点的一系列互相连接的折线所组成，所以有7、设函数.()当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;()对任意的实数x,证明()是否存在,使得a恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.（）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（）证法一：因证法二：因而故只需对和进行比较。令，有，由，得因为当时，单调递减；当时，单调递增，所以在处有极小值故当时，从而有，亦即故有恒成立。所以，原不等式成立。（）对，且有又因，故，从而有成立，即存在，使得恒成立。已知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证:（）（）（）若则当n2时,.点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。 分类讨论的思想方法解析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。答案：解: ()先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0x1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在上连续,所以f(0)f()f(1),即0. 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.又由, 得,从而.综上可知()构造函数g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0.因为,所以,即0,从而() 因为 ,所以, , 所以 , 由()知:, 所以= ,因为, n2, 所以 = .由 两式可知: .8、已知函数 （1）若且函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：，解（1）因为， x 0，则， 当时，；当时，.所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，所以函数在处取得极大值；（最好列表略）因为函数在区间（其中）上存在极值，所以 解得；4分（2）不等式，又，则 ， 则；5分 令，则，在上单调递增，从而， 故在上也单调递增， 所以，所以. ；10分（3）由（2）知：当时，恒成立，即， 令 ，则；10分所以 ，n个不等式相加得即15分9、已知（）已知对于给定区间，存在使得成立，求证：唯一；（）若，当时，比较和大小，并说明理由； （）设A、B、C是函数图象上三个不同的点， 求证：ABC是钝角三角形 解：（）证明：假设存在 ， ，即 . 1分，上的单调增函数（