广东中山市桂山中学０７届高三理科１２月考数学卷

桂山中学2020届高三第5次月考试题（2020.01.04-05）数 学一选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1、在复平面中，复数（为虚数单位）所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知A=y|y=，B=y|y=，则为ABC0，D3、已知 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.34、函数，则集合元素的个数有 A2个 B 3个 C 4个 D 5个5、已知等比数列中，且，则 A B C D6、函数（xR，0，02的部分图象如图，则 A， B, C, D,7若不等式x210对于一切x（0，）成立，则a的最小值是（ ）A0 B. 2 C.- D.-38某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为： （ ） A B C D二填空题(本大题有6个小题，每小题5分，共30分；将答案填写在第II卷相应的题号后面的空格内.)9不等式的解集是_10已知，若，则_11、若展开式中的系数为，则常数_12、已知，与的夹角为，要使与垂直，则=_.13、从5名学生中选3人参加数学、物理、化学三科竞赛，每科只参加1人，若其中学生甲不能参加化学竞赛，则不同的参赛方案有_种.14设满足约束条件，则的取值范围是_三解答题 （本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程，把答案填在答卷相应题号的位置上，不能填在本卷内）15（本题满分13分）在ABC 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=（）求cos2+cos2A的值（7分）（）若a=，求ABC的面积S的最大值（6分） 16（本题满分分）在一个盒子中，放有标号分别为，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记（）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（6分）（）求随机变量的分布列和数学期望（7分）17（本题满分14分）如图，已知正三棱柱的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为 （）求此正三棱柱的侧棱长；（4分）（） 求二面角的大小；(5分)（）求点到平面的距离(5分)18（本题满分14分）已知数列为等差数列，且，（）求数列的通项公式；（7分）（）求的值（7分）19（本题满分14分）函数是定义域为R的偶函数，且对任意的，均有成立当时，（1）当时，求的表达式；(7分)（2）若的最大值为，解关于x的不等式(7分)20（本题满分12分）已知是定义在R上的函数，其图象交x轴于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且在和4，5上有相同的单调性，在0，2和4，5上有相反的单调性 （1）求c的值；（4分） （2）在函数的图象上是否存在一点M（x0，y0），使得在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（4分） （3）求的取值范围（4分）15解：（）原式=sin2+cos2A2分=+（2cos2A-1）4分=6分（）由余弦定理得3=b2+c2-2bc2bc-2bc=bc，所以bc，当且仅当b=c=时等号成立8分由cosA=，且A为三角形的内角得sinA=，10分所以ABC的面积S=bcsinA=bc所以当且仅当b=c=时，ABC的面积S取最大值12分17.解：（）、可能的取值为、， ，且当或时， 3分因此，随机变量的最大值为有放回抽两张卡片的所有情况有种， 答：随机变量的最大值为，事件“取得最大值”的概率为 5分（）的所有取值为时，只有这一种情况， 时，有或或或四种情况，时，有或两种情况 ， 11分则随机变量的分布列为：因此，数学期望 13分解：（）设正三棱柱的侧棱长为取中点，连是正三角形，又底面侧面，且交线为侧面连，则直线与侧面所成的角为 2分在中，解得 3分此正三棱柱的侧棱长为 4分（）解法2：如图，建立空间直角坐标系则设为平面的法向量由 得取 6分又平面的一个法向量 7分 8分结合图形可知，二面角的大小为 9分（）解法4：由（）解法2，10分点到平面的距离13分20.（1）当时，当时,当时，故当时，的表达式为（2）是以2为周期的周期函数，且为偶函数，的最大值就是当时，的最大值，在上是减函数，当时，由得或得是以2为周期的周期函数，的解集为20解： 在和上有相反单调性， x=0是的一个极值点，故，即有一个解为x=0，c=0 2分 交x轴于点B（2，0） 令，则 在和上有相反的单调性 ， 4分