明德中学2020届高三数学理科第二次模拟考试卷

明德中学2020届高三数学理科第二次模拟考试卷本试卷分选择题和非选择题两部分满分150分 考试用时120分钟 一、 选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=（x+1）4+b1（x+1）3+b2（x+1）2+b3（x+1）+b4，定义映射f:（a1，a2，a3，a4）（b1，b2，b3，b4），则f（4，3，2，1）等于A （1，2，3，4） B （0，3，4，0）C （1，0，2，2） D （0，3，4，1）2 给出下列命题：，其中正确的判断是A B C D 3 已知f（cosx）=cos3x，则f（sin30）的值是A 1B C 0D 14 已知y=f（x）是偶函数，当x0时，f（x）=x+，当x3，1时，记f（x）的最大值为m，最小值为n，则mn等于A 2B 1 C 3 D 5 某村有旱地与水田若干，现在需要估计平均亩产量，用按5%比例分层抽样的方法抽取了15亩旱地45亩水田进行调查，则这个村的旱地与水田的亩数分别为A 150，450B 300，900 C 600，600D 75，2256 已知两点A（1，0），B（0，2），点P是椭圆=1上的动点，则PAB面积的最大值为A 4+B 4+ C 2+D 2+7 设向量=（x1，y1），=（x2，y2），则下列为与共线的充要条件的有存在一个实数，使得=或= ；|=|；（+）（） A 1个B 2个 C 3个D 4个8 点P是球O的直径AB上的动点，PA=x，过点P且与AB垂直的截面面积记为y，则y=f（x）的大致图象是 9 三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中， 则不同的传球方式共有A 6种 B 10种 C 8种 D 16种10 已知点F1 F2分别是双曲线=1的左 右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A B两点，若ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是A （1，+）B （1，）C （1，1+） D （1，1+）二 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分 把答案填在答卷横线上）11设复数和分别对应复平面内的点P1P2，O为原点，定义运算：若，则OP1P2一定是_ _三角形 12 方程log2|x|=x22的实根的个数为_ 13 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家 C60是由60个C原子组成的分子，它的结构为简单多面体形状 这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种，则C60分子中形状为五边形的面有_个，形状为六边形的面有_个 14 在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，两球的球心距离为13，若作一个平面与两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为_ 15 定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=f（x），且在1，0上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：f（x）是周期函数；f（x）关于直线x=1对称；f（x）在0，1上是增函数；f（x）在1，2上是减函数；f（2）=f（0），其中正确判断的序号为_（写出所有正确判断的序号） 三 解答题（本大题共6小题，共75分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）16 （本小题满分12分）袋内装有35个球，每个球上都记有从1到35的一个号码，设号码n的球重5n+15克，这些球以等可能性从袋里取出（不受重量 号码的影响） （1）如果任意取出1球，试求其重量大于号码数的概率；（2）如果任意取出2球，试求它们重量相等的概率 17 （本小题满分12分）如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，侧棱B1B与底面ABC所成的角为，且侧面ABB1A1垂直于底面ABC （1）证明ABCB1；（2）求三棱锥B1ABC的体积；（3）求二面角CAB1B的大小 18 （本小题满分12分）如图为河岸一段的示意图 一游泳者站在河岸的A点处，欲前往河对岸的C点处 若河宽BC为100 m，A B相距100 m 他希望尽快到达C，准备从A步行到E（E为河岸AB上的点），再从E游到C 已知此人步行速度为v，游泳速度为0 5v （1）设BEC=，试将此人按上述路线从A到C所需时间T表示为的函数；并求自变量的取值范围；（2）为何值时，此人从A经E游到C所需时间T最小，其最小值是多少？19（本小题满分12分）已知等差数列的公差大于0，且 是方程的两根，数列的前项和为，且 （1）求数列 的通项公式；（2）设数列的前项和为，试比较与的大小 20（本小题满分13分）定义：离心率 的椭圆为“黄金椭圆”已知椭圆：的一个焦点为，为椭圆上的任意一点(I) 试证：若不是等比数列，则一定不是“黄金椭圆”；(II) 设E为黄金椭圆，问：是否存在过点FP的直线L，使L与y轴的交点R满足？若存在，求直线L的斜率k；若不存在，说明理由(III) 已知椭圆E的短轴长是2，点S (0, 2 )，求使取最大值时点P的坐标21（本小题满分14分）已知函数=，在处取得极值2 （1）求函数的解析式；（2）满足什么条件时，区间为函数的单调增区间？（3）若为=图象上的任意一点，直线与=的图象切于点，求直线的斜率的取值范围 参考答案1-10 DBDBA BCACD11直角12 4 13 12 20 14 13 15 16（1）由不等式5n+15n，得n15，或n3 由题意，知n=1，2或n=16，17，35 于是所求概率为 6分（2）设第n号与第m号的两个球的重量相等，其中n0,所以=3，=9，从而，（3分）在已知中，令n=1，得当时，两式相减得， （6分）（2）当n=1时，当n=2时，当n=3时，当n=4时，猜想：时，（8分）以下用数学归纳法证明：（i）n=4时，已证，（ii）设n=k（时，即，则n=k+1时，时，成立 由（i） （ii）知时，综上所述，当n=1，2，3时， ，当时， （12分）解法二：当n=1，2，3时，同解法一；（8分）当时，=，综上所述，当n=1，2，3时， ，当时， （12分）20 (I)证明：假设E为黄金椭圆，则即与已知矛盾，故椭圆一定不是“黄金椭圆” (II)解：依题假设直线L的方程为 令 点P在椭圆上,故，与矛盾所以，满足题意的直线不存在 （III）依题有，由点P在E上知 。（）故时取得最大值，此时点P的坐标是（0