天津市第一中学2020届高三数学上学期第三次月考试卷 理（含解析）

天津一中2020 高三年级第三次月考数学试卷（理）一、选择题：1.已知集合，则等于（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由 ，解得集合，集合，故 .考点：集合的运算.2.已知实数满足约束条件，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【详解】如图，作出不等式组表示的平面区域，由zx+4y可得：，平移直线，由图像可知：当直线过点B时，直线的截距最小，此时z最小。将代入目标函数得：，故选：C。【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法3.执行如图所示的程序框图,则输出的n值是（ ）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.【详解】执行程序框图，时，；时，；时，；时，满足循环终止条件，退出循环，输出的值是9，故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.下列判断正确的是（）A. “”是“” 的充分不必要条件B. 函数的最小值为2C. 当时，命题“若，则”的逆否命题为真命题D. 命题“”的否定是“”【答案】C【解析】【分析】利用特殊值判断；利用基本不等式的条件 “一正二定三相等”判断，利用原命题与逆否命题的等价性判断；利用全称命题的否定判断.【详解】当时，成立，不成立，所以不正确；对，当，即时等号成立，而，所以,即的最小值不为2，所以不正确；由三角函数的性质得 “若,则”正确，故其逆否命题为真命题，所以正确；命题“,”的否定是“,”，所以不正确，故选C.【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要考查充分条件与必要条件、基本不等式的性质、原命题与逆否命题的等价性、全称命题的否定，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、自己掌握熟练的知识点入手、结合特殊值的应用，最后集中精力突破较难的命题.5.已知函数，图象相邻两条对称轴的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，则函数的图象（）A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于点对称【答案】D【解析】【分析】由函数y=f（x）的图象与性质求出T、和，写出函数y=f（x）的解析式，再求f（x）的对称轴和对称中心【详解】由函数y=f（x）图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为4，所以=，所以f（x）=sin（x+）；将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin（x+）+图象因为得到的图象关于y轴对称，所以+=k+，kZ，即=k+，kZ；又|，所以=，所以f（x）=sin（x+），令x+=k，kZ，解得x=2k，kZ；令k=0时，得f（x）的图象关于点（-，0）对称故选：D【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查了函数y=Asin（x+）的图象变换，是基础题6.已知抛物线，直线倾斜角是且过抛物线的焦点，直线被抛物线截得的线段长是，双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则直线与轴的交点到双曲线的一条渐近线的距离是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】抛物线的焦点为,由弦长计算公式有 ,所以抛物线的标线方程为,准线方程为 ,故双曲线的一个焦点坐标为,即 ,所以 ,渐近线方程为,直线方程为,所以点,点P到双曲线的一条渐近线的距离为 ,选D.点睛: 本题主要考查了抛物线与双曲线的简单几何性质, 属于中档题. 先由直线过抛物线的焦点,求出弦长,由弦长求出的值,根据双曲线中的关系求出 ,渐近线方程等,由点到直线距离公式求出点P到双曲线的一条渐近线的距离.7.已知函数对于任意的满足，其中是函数的导函数，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】令，则，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即；故选B.点睛：处理本题的关键是合理利用的形式，恰当构造，这是导数在函数中应用中的常见题型，要在学习过程中积累构造方法.8.已知是半径为的圆上的三点，若且，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据向量加法几何意义以及向量垂直确定四边形形状，再根据向量数量积定义求结果.【详解】因为，所以平行四边形的对角线相互垂直，即四边形为菱形，因为，所以,因此选C.【点睛】本题考查向量加法几何意义以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题：9.已知为虚数单位，复数，则_.【答案】【解析】【分析】根据复数模的性质与定义求解.【详解】.【点睛】本题考查复数模的性质与定义，考查基本分析求解能力，属基础题.10.在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则_.【答案】2【解析】试题分析：直线过圆的圆心，因此【考点】极坐标方程【名师点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式即可将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程时，要灵活运用以及，同时要掌握必要的技巧.【此处有视频，请去附件查看】11.已知，且，则 的最小值是_ 【答案】【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以 的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12.如图，有个白色正方形方块排成一列，现将其中块涂上黑色，规定从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有 _ 种【答案】【解析】【分析】用黑白两种颜色随机地涂如图所示表格中7个格子，每个格子都有2种染色方法，利用分类讨论方法求出出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子个数。【详解】由题意可判断第一格涂黑色，则在后6格中有3个涂黑色，共有种涂法，满足从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总少于白色方块的有：（1）第2,3格涂白色共4种涂法，（2）第3,4,5格涂白色共1种涂法，（3）第2,4,5格涂白色共1种涂法。所以满足从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有种。【点睛】本题考查计数原理，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用13.已知三棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球的表面积等于_【答案】【解析】【分析】先根据球体的性质判断当到所在面的距离为球的半径时，体积最大，再将最大体积用球半径表示，由棱锥的体积公式列方程求解即可.【详解】与球心在同一平面内，是的外心，设球半径为，则的边长，当到所在面的距离为球的半径时，体积最大，球表面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查球体的性质、棱锥的体积公式及立体几何求最值问题，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用立体几何和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.14.若函数，有三个不同的零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由于二次函数至多两个零点，单调函数至多一个零点，所以可列满足题意的条件，解得结果.【详解】由于二次函数至多两个零点，单调函数至多一个零点，所以有一个零点，有两个零点，因此且，解得.【点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.三、解答题：15.已知向量，函数.（）若，求的值；（）在中，角对边分别是，且满足，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】()利用三角恒等变换化简得出，通过配凑角的方法即可得出的值.()由，结合余弦定理即可得出从而，得出B的范围即可求得的取值范围.【详解】() ()由，得 , 从而得 故【点睛】本题考查了三角恒等变换、三角函数求值及解三角形，考查了学生的化简运算能力，通过配凑角进行求值是难点.16.一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的三种商品有购买意向已知该网民购买种商品的概率均为，购买种商品的概率均为，购买种商品的概率为假设该网民是否购买这三种商品相互独立（）求该网民至少购买种商品的概率；（）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望【答案】(1) .(2)分布列见解析，.【解析】试题分析：（1）记“该网民购买i种商品”为事件，由互斥事件概率加法公式能求出该网民至少购买2种商品的概率；（2）随机变量的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出的概率分布.试题解析：解：（1）记“该网民购买i种商品”为事件，则：,所以该网民至少购买2种商品的概率为.答：该网民至少购买2种商品的概率为.（2）随机变量的可能取值为,又,所以.所以随机变量的概率分布为：0123 考点：互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列.17.如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，平面 平面，点为棱的中点（）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；（）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（）取的中点，连结、，得到故且，进而得到，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.（）以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设，求得平面的法向量为，和平面的法向量，利用向量的夹角公式，求得，进而得到为直线与平面所成的角，即可求解.【详解】（）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点理由如下：取的中点，连结、，由题意，且，且，故且.所以，四边形为平行四边形.所以，又平面，平面，所以，平面.（）由题意知为正三角形，所以，亦即，又，所以，且平面平面，平面平面，所以平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设，则由题意知，设平面的法向量为，则由得，令，则，所以取，显然可取平面的法向量，由题意：，所以.由于平面，所以在平面内的射影为，所以为直线与平面所成的角，易知在中，从而，所以直线与平面所成的角为.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问题的能力.18.设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）.（1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：据题设可得，.（1），由等差数列的前项和公式可得.（2）首先可求出在处的切线为，令得，由此可求出，.所以，这个数列用错位相消法可得前项和.试题解答：.（1），所以.（2）将求导得，所以在处的切线为，令得，所以，.所以，其前项和两边乘以2得：得：，所以.【考点定位】等差数列与等比数列.【此处有视频，请去附件查看】19.在平面直角坐标系中，设椭圆的下顶点为，右焦点为，离心率为.已知点是椭圆上一点，当直线经过点时，原点到直线的距离为.（）求椭圆的方程；（）设直线与圆：相交于点（异于点），设点关于原点的对称点为，直线与椭圆相交于点（异于点）若，求的面积；设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：是定值【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）运用椭圆的离心率公式以及点到直线的距离公式，解方程可得，进而得到所求椭圆方程；（2）设直线的斜率为，则直线的方程为，联立椭圆方程可得的坐标，联立圆方程可得的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的坐标，由可得，求得，坐标，以及，由的面积为，计算可得；运用两点的斜率公式，分别计算线的斜率为，直线的斜率为，即可得证.【详解】（1）据题意，椭圆的离心率为，即.当直线经过点时，直线的方程为，即，由原点到直线的距离为，可知，即.联立可得，故.所以椭圆的方程为.（2）据题意，直线的斜率存在，且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为，联立，整理可得，所以或.所以点的坐标为，联立和，整理可得，所以或.所以点的坐标为.显然，