周期性与抽象函数

函数的周期性和抽象函数,1.定义：若对任意的x，都有f(x+T)=f(x)(T0),则说函数f(x)是周期函数，T是它的周期；,2.若函数f(x)满足f(x+a)=f(x+b),(ab),则f(x)是以T=a-b为周期的周期函数；,3.若f(x+a)=-f(x),则f(x)是以T2a为周期的周期函数；,4.若f(x+a)=b/f(x),则f(x)是以T=2a为周期的周期函数,6.若函数f(x)图象关于直线x=a对称即f(a+x)=f(a-x),又关于直线x=b对称即f(b+x)=f(b-x)(ab),则f(x)是以T=2a-2b为周期的周期函数.,5.若f(x)满足f(x+a)=1-f(x)/1+f(x),则f(x)是以T2a为周期的周期函数,7.若f(x)满足f(a+x)=f(b-x)则f(x)的图象关于直线x=(a+b)/2对称；特别地，若有f(a+x)=f(a-x),则f(x)的图象关于直线x+a对称.,7.若函数f(x)的图像关于点M(a,0)和点N(b,0)都成中心对称，则f(x)是以T=2(a-b)为周期的周期函数.如f(x)=sinx点O(0,0)和点(,0)对称,它的周期为2(-0)=2,注：f(x)的图像关于点M(a,0)对称的条件是f(x)=-f(2a-x),9.熟记函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=Asin(x+)的周期.,8.若函数f(x)图象关于直线x=a对称即f(x)=f(2a-x),又关于点M(b,0)对称,即f(x)=-f(2b-x),则f(x)是以T=4(a-b)为周期的周期函数如f(x)=sinx关于x=/2对称，又关于点O(0,0)对称，它的周期为4(/2-0)=2,1.已知函数f(x)的周期为4，且等式f(2+x)=f(2-x)对xR均成立，求证：f(x)为偶函数；,2.已知函数f(x)满足:f(2+x)=f(2-x)对xR均成立，且f(x)为偶函数,求证f(x)是周期函数.,3.已知偶函数f(x)的周期为4，求证：f(x)的图象关于直线x=2对称,4.设f(x)是定义在R上以2为周期的函数，对kZ，用Ik表示区间(2k1，2k1，已知当xI0时，f(x)x2.求f(x)在Ik上的解析表达式,已知f(x)是定义在R上的周期为2的函数，且00,证明(1)f(x)是奇函数；(2)f(x)是增函数,3.若函数f(x)的定义域为(0,+)且满足f(x)+f(y)=f(xy),则此函数可以是f(x)=logax;,另：对数函数也可这样给出：f(x)-f(y)=f(x/y),例2.若函数f(x)的定义域为(0,+)且满足f(x)+f(y)=f(xy),且x1时y0,证明f(x)是增函数,4.若函数f(x)满足f(x)f(y)=f(x+y),且f(x)不恒为0,则此函数可以是f(x)=ax,5.若函数f(x)满足f(x)f(y)=f(xy),则此函数可以是f(x)=xn.,另：指数函数也可这样给出：f(x)/f(y)=f(x-y),例3.若函数f(x)满足f(x)f(y)=f(x+y),且f(x)不恒为0,且x1.证明f(x)是减函数,四、练习题二：,5.已知f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),（1）求证f(x)是奇函数;(2)若f(-3)=a,求f(24);（3）若x0时，f(x)1时，f(x)0;(1)证明f(1)=0;(2)求证:f(x/y)=f(x)-f(y);（3）求f(4)的值；(4)若f(x)+f(x-3)2,求x的取值范围.,f(4)=2,30时，f(x)1，且对任意实数x,都有f(x)f(y)=f(x+y),解不等式f(x2)f(4x-2)8,-5x2，f(3)=5，求不等式f(a2-2a-2)3的解集。,11.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)=f(4-x)且f(2-x)+f(x-2)=0，求f(2000)的值。,奇函数,T=8,f(2000)=f(0)=0,-10,且f(-1)=-2,求f(x)在-2,1上的值域。,13.设f(x)定义在R上且对任意的x有f(x)=f(x+1)-f(x+2)，求证：f(x)是周期函数，并找出它的一个周期。,-4,2,T=6,例2.函数f(x)的图象关于直线x=1对称，且