江苏省江浦高级中学2020届高三数学调研试卷

江苏省江浦高级中学2020届高三次调研试卷数学试题必做题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上1若复数是纯虚数，则实数 2、已知是等差数列，其前5项和，则其公差 3、若直线和直线垂直，则的值是 4为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：）. 根据所得数据画出的样本频率分布直方图（如图），22主视图24左视图俯视图（第5题图）那么在这片树木中，底部周长小于110的株树大约是 0.040.020.01频率/组距O80 90 100 110 120 130周长（） （第4题）I1S0While Im SS+I II+3End whilePrint SEnd5、已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 6、下面求1+4+7+10+2020的值的伪代码中，正整数m的最大值为 7、一只蚂蚁在边长分别为的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为 8、已知函数在区间1，2上是减函数，则b+c的最大值是 9、已知,且,若恒成立,则实数的取值范围是 10、已知抛物线焦点恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线交点的连线过点，则该双曲线的离心率为 。11、数列a1，a2，an为n项正项数列，记n为其前n项的积，定义为它的“叠加积”如果有2020项的正项数列a1，a2，a2020的“叠加积”为22020，则2020项的数列2， a1，a2，a2020的“叠加积”为 12、如图，为椭圆上任意一点，为线段的中点， 的最小值 13若函数式表示的各位上的数字之和，如所以，记，则 14、已知函数（x-8，8）的最大值为M，最小值为m，则M+m= 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.）15、(本小题满分14分) 在中，分别是角A、B、C所对的边， 周长为，已知，且 （1）求边的长； （2）求角的最大值。DABCPMN16、(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，底面是边长为2的菱形，是中点，过、三点的平面交于 (1)求证：； (2)求证：是中点； (3)求证：平面平面。17、(本小题满分14分)DyxEBAO已知圆A：与轴负半轴交于B点，过B的弦BE与轴正半轴交于D点，且2BD=DE，曲线C是以A，B为焦点且过D点的椭圆 （1）求椭圆的方程；（2）点P在椭圆C上运动，点Q在圆A上运动，求PQ+PD的最大值。18、(本小题满分16分)某海滨城市坐落在一个三角形海域的顶点O处（如图），一条海岸线AO在城市O的正东方向，另一条海岸线OB在城市O北偏东方向，位于城市O北偏东方向15km的P处有一个美丽的小岛. 旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路：从城市O出发沿海岸线OA到达C处，再从海面直线航行，途经小岛P到达海岸线OB的D处，然后返回城市O. 为了节省开发成本，要求这条旅游观光线路所围成的三角形区域面积最小，问C处地应选址何处？并求这个三角形区域的最小面积。ACPBDO东北19、已知，（）,都在函数图象上，若数列是等差数列，求证是等比数列；若数列的前项和为，过点的直线与两坐标轴所围三角形的面积为，求最小的实数使对所有恒成立；若数列为与中对应的数列，在与之间插入个，得一新数列，问是否存在这样的正整数，使得数列的前项的和,如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由。20、设函数，其中为常数（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；（2）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（3）求证对任意不小于3的正整数，不等式都成立。江苏省江浦高级中学2020届高三数学模拟试题附加题21、选做题A选修4-1:几何证明选讲如图，在RtABC中，,BE平分ABC交AC于点E，点D在AB上，（） 求证：AC是BDE的外接圆的切线；（）若，求EC的长B选修4-2：矩阵与变换给定矩阵A=，B =（）求A的特征值，及对应特征向量，（）求C选修4-4：坐标系与参数方程求直线 （）被曲线所截的弦长D选修4-5：不等式选讲设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明22、甲、乙两人进行射击训练，命中率分别为与P，且乙射击2次均未命中的概率为，（I）求乙射击的命中率;（II）若甲射击2次，乙射击1次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望23、已知圆，设M为圆C与x轴负半轴的交点，过点M作圆C的弦MN，并使它的中点P恰好落在y轴上. （1）当时，求点N的轨迹E的方程； （2）若、是E上不同的点，且，求y0的取值范围。 江苏省江浦高级中学2020届高三数学模拟试题必做题参考答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1、2 ；2、；3、或；4、7000；5、4；6、2020；7、 8、；9、；10、；11、22020；12、；13、5；14、2.15、解：（I）由得：， 4分由正弦定理可得：，又，可解得 7分（II）由（I），则：，故。13分 角的最大值是。14分。16. 证明：（1）连结，设，连结 DABCPMN 是的菱形 是中点，又是中点 又 4分（2）依题意有 平面 而平面平面 （或证平面） 又是中点 是中点8分（3）取AD中点E，连结,如右图为边长为2的菱形，且为等边三角形，又为的中点 又面ADPB 又，为的中点 平面而平面 平面平面 14分17、解：(1)椭圆方程为 7分（2）2所以P在DB延长线与椭圆交点处，Q在PA延长线与圆的交点处，得到最大值为。 14分18、解：以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系. 据题意，直线OB的倾斜角为 ，从而直线OB的方程为y=3x. .2分 由已知，|OP|=15，得点P的坐标为（9，12）.设点C的坐标为 (t ，0)，则直线PC的方程为 ：， 6分联立y=3x，得， t 5. 8分 = =120.上式当且仅当，即t=10时取等号. 12分而当时， 当t=10时，SOCD取最小值120.16分19、解（1）证明：数列是等差数列，设公差为，则对恒成立，依题意，所以是定值，从而数列是等比数列-4分（2）解：当时，当时，也适合此式，即数列的通项公式是由，数列的通项公式是，所以，过这两点的直线方程是：，7分可得与坐标轴的交点是和，由于即数列的各项依次单调递减，所以10分（3）数列中，（含项）前的所有项的和是估算知，当时，其和是，当时，其和是，13分又因为，是3的倍数，故存在这样的，使得，此时16分20设函数，其中为常数（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；（2）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（3）求证对任意不小于3的正整数，不等式都成立20、解：（1）由题意知，的定义域为， 当时， ，函数在定义域上单调递增 4分 （2）由（）得，当时，函数无极值点 时，有两个相同的解，时，时，函数在上无极值点 6分当时，有两个不同解， 时，,此时 ，随在定义域上的变化情况如下表：减极小值增由此表可知：时，有惟一极小值点， ii) 当时，01此时，随的变化情况如下表：增极大值减极小值增由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点； 综上所述：当且仅当时有极值点; 当时，有惟一最小值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点10分（3）由(2)可知当时，函数，此时有惟一极小值点且 13分令函数 16分江苏省江浦高级中学2020届高三数学模拟试题附加题参考答案21、选做题A选修4-1:几何证明选讲（1）取BD的中点O，连接OEBE平分ABC，CBE=OBE又OB=OE，OBE=BEO，CBE=BEO，BCOE3分C=90，OEAC，AC是BDE的外接圆的切线5分（2）设O的半径为r，则在AOE中，即，解得,7分OA=2OE，A=30，AOE=60CBE=OBE=30EC=10分B选修4-2：矩阵与变换）解：（I）设A的一个特征值为，由题意知：=0 （2）（3）=01=2，2=3 2分当1=2时，由=2，得A属于特征值2的特征向量1= 当2=3时，由=3，得A属于特征值3的特征向量2= 6分（II）由于=12 7分故=（24 1）（342）=161812= 10分C选修4-4：坐标系与参数方程解：把化为普通方程为， 3分把化为直角坐标系中的方程为，6分圆心到直线的距离为， 8分弦长为 10分D选修4-5：不等式选讲证明：由柯西不等式得，3分记为的面积，则6分故不等式成立10分22、解：（I）设“甲射击一次命中”为事件A，“乙射击一次命中”为事件B 由题意得3分 解得或（舍去）， 故乙射击的命中率为。5分(II)由题意和（I）知。