二次函数应用（第四课时）

21.4二次函数应用第四课时,王店中学丁保付2017.9.26,二次函数的应用最值问题,某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？,来到商场,活动,(1)解：设涨价x元，所得利润为y元,由题意可得：,y=(60+x-40)(300-10 x),(0X30),2、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？,a0,当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元,某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？,在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出答案。,(2)解：设降价x元，则每星期可多卖18x件，实际卖出（300+18x)件，每件利润为(60-x-40)元，因此，得利润,定价为元时，利润最大，最大利润为6050元,由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?,答：当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元,2、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？,分析:,调整价格包括涨价和降价两种情况,先来看涨价的情况：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖_件，实际卖出_件,销售额为_元，买进商品需付_元,因此，所得利润为_元.,10 x,(300-10 x),(60+x)(300-10 x),40(300-10 x),y=(60+x-40)(300-10 x),即,(0X30),一、自主探究,问题1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。据市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？,已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？,分析：没调价之前商场一周的利润为元；设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润可表示为元，每周的销售量可表示为件，一周的利润可表示为元，要想获得6090元利润可列方程。,6000,20+x,300-10 x,(20+x)(300-10 x),(20+x)(300-10 x)=6090,已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？,若设销售单价x元，那么每件商品的利润可表示为元，每周的销售量可表示为件，一周的利润可表示为元，要想获得6090元利润可列方程.,x-40,300-10(x-60),(x-40)300-10(x-60),(x-40)300-10(x-60)=6090,二、自主合作问题2.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？,解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.,y=(60-40+x)(300-10 x)=(20+x)(300-10 x)=-10 x2+100 x+6000=-10(x2-10 x-600)=-10(x-5)2-25-600=-10(x-5)2+6250,当x=5时，y的最大值是6250.,定价:60+5=65（元）,(0x30),怎样确定x的取值范围,所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元,也可以这样求极值,解:设每件降价x元时的总利润为y元.,y=(60-40-x)(300+20 x)=(20-x)(300+20 x)=-20 x2+100 x+6000=-20（x2-5x-300）=-20（x-2.5）2+6125所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元.,答:综合以上两种情况，定价为65元时可获得最大利润为6250元.,由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?,怎样确定x的取值范围,（0x20）,2.某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件,经市场调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可以近似看作一次函数的关系(如图).(1)根据图象,求y与x的函数关系式;(2)设公司获得的毛利润为s元,试求s与x的函数关系式;(3)试问:销售单价定为多少时,该公司可获得最大利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多少?,600,700,400,300,O,x,y,(3)当x=750时,s最大为62500元,销售量为250件.,归纳小结：,运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤:,求出函数解析式和自变量的取值范围,配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。,检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。,解这类题目的一般步骤,1.某产品每件的成本价是120元,试销阶段,每件产品的销售价格x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：,(1)则y与x的函数关系式为_；,y=-x+200(120x200),若销售量y是销售价格x的一次函数.,1.某产品每件的成本价是120元,试销阶段,每件产品的销售价格x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：,(2)若要获得最大的销售利润,每件产品的销售价格定为多少元？此时每日的销售利润是多少？,设销售利润为W,则,W=(x-120)y,=(x-120)(-x+200),=-x2+320 x-2400,W=1600,则:,若销售量y是销售价格x的一次函数.,2.某种粮大户去年种植优质水稻360亩,今年计划增加承租x(100x150)亩,预计,原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元,新增加地今年每亩的收益为(440-2x)元,试问:该种植大户要增加承租多少亩水稻,才能使总收益最大?最大收益是多少?,y=440360+(440-2x)x,=-2x2+440 x+158400,=-2(x-110)2+182600,所以,当x=110时,y有最大值182600,设该种粮大户的今年总收益为y元.,3.某旅社有客房120间,每间房间的日租金为50元,每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查,如果一间客房的日租金每增加5元,则客房每天出租会减少6间,不考虑其它因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金总收入最高？比装修前的日租金的总收入增加多少元？,设日租金提高x元，客房日租金总收入为y元,50+x=75,某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，市场调查发现：若每箱以50元销售,平均每天可销售100箱.价格每箱降低1元，平均每天多销售25箱;价格每箱升高1元，平均每天少销售4箱。如何定价才能使得利润最大？,练一练,若生产厂家要求每箱售价在4555元之间。如何定价才能使得利润最大？（为了便于计算，要求每箱的价格为整数）,解：设利润为y，每箱涨价x元，则每天可售出（1004x）箱，根据题意，得y=（10+x）（1004x）=4（x）2+1225（0x5）当x=时，y最大值=1225。设每箱降价z元，则每天可售出（100+25z）箱，根据题意，得y=（10z）（100+25z）=25（z2）2+1100（0z5）当z=2时，y最大值=1100。因为厂家要求售价在4555之间，所以应每箱涨价5元，即每箱定价为55元时，利润最大。,有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放养期间蟹的重量不变）.设x天后每千克活蟹市场价为P元，写出P关于x的函数关系式.如果放养x天将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式。该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，（利润=销售总额-收购成本-费用）？最大利润是多少？,思考,解：由题意知:P=30+x.由题意知：死蟹的销售额为200 x元，活蟹的销售额为（30+x）（1000-10 x)元。,驶向胜利的彼岸,Q=(30+x)(1000-10 x)+200 x=-10 x2+900 x+30000,设总利润为W=Q-30000-400 x=-10 x2+500 x=-10(x-25)2+6250当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元。,(2013年）22、某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示。(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？,（2010安徽）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天（1x20且x为整数）的捕捞与销售的相关信息如表：（1）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？（2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x天的收入y（元）与x（天）之间的函数关系式？（当天收入=日销售额日捕捞成本）（3）试说明（2）中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？,(2009年）23已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示（1）请说明图中、两段函数图象的实际意义（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大,23（1）解：图表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，可按5元/kg批发；3分图表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发3分（2）解：由题意得：，函数图象如图所示7分由图可知资金金额满足240w300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果8分,（3）解法一：设当日零售价为x元，由图可得日最高销量当m60时，x6.5由题意，销售利润为12分当x6时，此时m80即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元14分解法二：设日最高销售量为xkg（x60）则由图日零售价p满足：，于是销售利润12分当x8