江西省上饶市重点中学六校2020届高三数学第二次联考试题 理（含解析）

上饶市重点中学2020届高三六校第二次联考理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：由题意可得： .本题选择D选项.2.已知函数，则该函数在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用导数求出切线的斜率，利用函数求出切点的坐标，点斜式写出方程.【详解】，故所求切线方程为，即.故选A.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数求解曲线在某点处的切线时，切点处的导数值是切线的斜率，一般利用点斜式可得切线方程.3.已知，为第二象限角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据角所在象限及正弦，求出余弦，利用二倍角公式可得.【详解】因为，为第二象限角，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查倍角公式及同角的平方关系，利用平方关系时，注意符号的取舍.4.已知命题，命题.若命题是的必要不充分条件，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简两个命题成最简形式，结合命题是的必要不充分条件，可求a的范围.【详解】命题p表示的集合A为；命题q表示的集合B为；因为命题是的必要不充分条件，所以A是B的真子集，则，即.故选B.【点睛】本题主要考查充要条件，充要条件的判定及应用，一般是利用集合的包含与否来处理.5.已知，则二项式 展开式中的常数项为（ ）A. 8B. 28C. 56D. 120【答案】B【解析】【分析】先求出的值，再利用二项式定理的通项公式求解.【详解】，二项式的通项公式为,令可得，所以所求常数项为.故选B.【点睛】本题主要考查二项式定理，利用二项式定理求解特定项时，一般是利用通项公式，根据x的指数特征求出r.6.将函数的图像向左平移个单位后与原函数的图像重合，则实数的值可能是（ ）A. 6B. 10C. 12D. 16【答案】D【解析】【分析】先化简函数，结合题意平移后能与原图像重合，说明是它的一个周期.【详解】因为，由题意可得是的一个周期，所以，k为正整数即，结合选项可得D正确.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，一般是利用三角恒等变换化为标准型，再结合三角函数的性质求解.7.已知函数是定义域为上的偶函数，若在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先结合题意画出函数的简图，结合图像可得.【详解】根据题意作出函数的简图如下：结合图像可得或者，解之得或者,故选C.【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，数形结合是求解这类问题的“灵丹妙药”.8.在中，内角，所对的边分别是，已知，且面积为.现有一只蚂蚁在内自由爬行，则某一时刻该蚂蚁与的三个顶点的距离都不小于1的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先把三角形求解出来，结合几何概型可求.【详解】因为三角形的面积为，所以，即；又因为，所以，即，所以.蚂蚁到三个顶点距离小于等于1时，活动区域是以三个顶点为圆心半径为1的扇形区域，其面积为，三角形面积为，故所求概率为，故选A.【点睛】本题主要考查几何概型和解三角形.几何概型的求解一般是先求总的几何度量，再求事件包含的几何度量，从而可得概率.9.某校在“数学联赛”考试后选取了6名教师参加阅卷，试卷共4道解答题，要求将这6名教师分成4组，每组改一道解答题，其中2组各有2名教师，另外2组各有1名教师，则不同的分配方案的种数是（ ）A. 216B. 420C. 720D. 1080【答案】D【解析】【分析】先对6人分组，再进行分工安排.【详解】6人分成4组共有种不同的分组方案，所以共有种分配方案.【点睛】本题主要考查排列组合的实际应用，选派问题一般思路是：按照先分组，再分工的步骤进行求解.10.已知线段的长为6，以为直径的圆有一内接四边形，其中，则这个内接四边形的周长的最大值为（ ）A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】A【解析】分析】连接AC，用表示出周长来，利用二次函数求解.【详解】连接AC，过C作于E，设，如图，因为AB为直径且为6，所以.由题意可知ABCD为等腰梯形，故其周长为，所以当时，周长取到最大值15.【点睛】本题主要考查利用三角函数求解最值问题.根据题意构造目标式，结合目标式的特点选择合适的方法求解.11.如图所示的框图功能为“求出某函数精确到的零点”，则图中的空白处应依次填入的是（ ）A. ，B. ,C. ,D. ，【答案】C【解析】【分析】根据判断框的是和否来判断条件是什么.【详解】第一个判断框是在“否”时，运算，所以应该填；第二个判断框也是在“否”时，运算，所以应该填；故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的识别与完善.程序框图的补全既要从全局上来把控，还需要注意条件分支的条件.12.过的重心作直线，已知与、的交点分别为、，若，则实数的值为（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】利用面积之比，转化为方程，解方程即可.【详解】设,因为G为的重心，所以,即.由于三点共线，所以，即.因为，所以，即有，解之得或.故选B.【点睛】本题主要考查平面向量的应用，注意重心定理的使用及三点共线的结论，题目稍有难度.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.某志愿者协会组织50名志愿者参加服务活动，对活动次数统计如表，则平均每人参加活动的次数为_.次数2345人数2015105【答案】3【解析】【分析】求出总的活动次数，除以总人数可得.【详解】总的活动次数为：；总人数为50，所以平均每人参加活动的次数为3.【点睛】本题主要考查平均数的求解，题目较为简单.14.若变量，满足约束条件，则的最大值为_.【答案】2【解析】【分析】作出可行域，平移目标函数，得出最值.【详解】作出可行域及目标函数如图所示，由图可知在点A处取到最大值，联立可得A点坐标，代入可得的最大值为2.【点睛】本题主要考查线性规划的求解，作出可行域，平移目标函数，找到目标函数的最值点，求出最值点代入目标函数可得函数的最值.15.已知点，分别是椭圆 的右顶点、下顶点、左焦点和右焦点，点，是椭圆上任意两点，若的面积最大值为，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】利用的面积最大值为求出a的值，结合椭圆的定义可求.【详解】设，因为，所以直线AB的方程为.点M到直线AB的距离为.因为的面积最大值为，所以，即.由椭圆的定义可得,设，则且.=，令，则，易求时，；时，；所以y的最大值为.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及最值问题，椭圆的参数方程是解决椭圆最值问题的有效工具之一，还要注意椭圆上任何点都满足椭圆的定义式.16.已知函数若关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】作出函数的简图，结合图像可得.【详解】作出函数的图像如图：设，当时，有两个根；当时，有一个根；所以当关于的方程有三个不同的实根时，的两根一个比1大，一个比1小，所以，即.当时，或符合题意.综上可得.【点睛】本题主要考查函数与方程，方程根得到分布问题，注意数形结合的使用.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分.17.已知数列满足对任意的正整数，都有 ，且该数列前三项依次为，又已知数列的前项和为，且， （1）求，的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】(1)利用等差数列的通项公式求，利用可求；(2)利用错位相减法求和.【详解】（1）由题意数列为等差数列.故，解得，由 可知 ，两式相减得 当时，当时， （2）由题意当时，当时，得两式相减得： 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法和错位相减法求和，错位相减法求解数列的和时，注意项数和最后一项的符号.18.在四棱锥中，为梯形，.（1）在线段上有一个动点，满足且平面，求实数的值；（2）已知与的交点为，若，且平面，求二面角平面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）通过线面平行，得到线线平行，从而得到；（2）先利用面面垂直得出线面垂直，建立坐标系，利用向量求出二面角.【详解】（1）延长、交于点.连接，如图， ，平面，平面 平面,.在梯形中，所以,所以,即.（2）在梯形中, 所以,即.所以.因为,所以.因为所以 ，所以，由勾股定理.又因为.，同理.又因为.且平面平面 ，所以 平面.从而直线PM，直线，直线相互垂直，以为原点，分别以，,所在直线分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，易得，设平面的法向量为，易得，从而解得，令可得.易知平面的法向量为则，所以二面角平面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查空间位置关系的应用及二面角的求解，二面角求解时，构建坐标系是求解的关键，需要寻求线线垂直和线面垂直.19.微信作为一款社交软件已经在支付，理财，交通，运动等各方面给人的生活带来各种各样的便利.手机微信中的“微信运动”，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数. 先生朋友圈里有大量好友使用了“微信运动”这项功能.他随机选取了其中40名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：（1）以样本估计总体，视样本频率为概率，在先生的微信朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数不低于6000步的有名，求的分布列和数学期望；（2）如果某人一天的走路步数不低于8000步，此人将被“微信运动”评定为“运动达人”，否则为“运动鸟人”.根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先确定X的取值，再逐个求解概率，得到分布列和期望；（2）整合数据，计算卡方，得出结论.【详解】（1）在小明的男性好友中任意取1名.其中走路步数不低于6000的概率为可能取值分别为0，1，2，3. ，的分布列为0123则.（或者写成 ）（2）完成列联表运动达人运动鸟人总计男61420女41620总计103040的观测值 .据此判断没有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望及卡方检验，确定随机变量的取值，求出其取值的概率是求解的关键.20.如图所示己知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于，两点.且.（1）求抛物线方程；（2）若点在准线上的投影为，是上一点，且，求面积的最小值及此时直线的方程.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】(1)利用抛物线的定义可求方程；(2)根据条件求面积的表达式，结合表达式的特点求解最值.【详解】（1）依题意， 即.即.所以抛物线方程.(2）设，则，设，联立，所以可得因为，所以故直线.由，得，所以，.所以 设点到直线的距离为，则.所以 .当且仅当.即时，直线的方程为：. 时，直线的方程为：【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解和最值问题，直线与圆锥曲线的综合问题，通常结合韦达定理.最值问题一般是根据目标式的特征选择合适的方法求解.21.已知函数， （1）若函数在处取得极值，求实数的值；（2）若，且函数的图像恒在图像下方，求实数的取值范围；（3）证明：.【答案】（1）2；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据极值点处的导数值为0，可以求出a；（2）图像位置关系转化为恒成立问题可求；（3）构造新函数结合单调性可证【详解】（1）在处取得极值，即此时，又当时. 当时，1是的极小值点，即符合题意.综上所述：（2）两边同时取对数得：两边同时求导得： 由题意可得在上恒成立，即 即，又 在上恒成立构造函数 则令.得，在上为增函数；令.得.在上为减函数.（3）由（2）知在上为减函数.当时,必有.即不等式两边同乘以.即令，得.【点睛】本题主要考查导数的综合应用，函数图像之间的位置关系，一般是转化为恒成立问题，不等关系的证明，通常是构造函数来实现.22.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点，曲线的极坐标方程为，过点作直线 的垂线，分别交曲线于，两点.（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；（2）若，成等比数列，求实数的值.【答案】（1） ；（2）【解析】【分析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式来求解；（2）根据，成等比数列，建立等量关系，利用参数的几何意义求解.【详解】（1）由，得.得曲线的直角坐标方程为 的直角坐标为又直线的斜率为1.且过点.故直线的直角坐标方程为（2）在直角坐标系中，直线参数方程为（为参数）.代入得 ，即，解得，【点睛