江西省2020届高三第二轮复习数学专题二：三角函数与平面向量

江西省江西省 20202020 届高三第二轮复习数学专题二届高三第二轮复习数学专题二 三角函数与平面向量三角函数与平面向量 近几年高考三角题型趋于稳定，多属基础题，常规题，难度适中。但由于三 角函数除了具有一般函数的各种性质外，它的周期性和独特的对称性，加上系统 丰富的三角公式，使其产生的各种问题丰富多彩、层次分明、变化多端。向量的 基础知识，数量积是考查重点，运用向量的工具作用，与其他知识相结合进行综 合考查，以中低档题为主。 典例分析典例分析 题型一：三角函数式的化简、求值题型一：三角函数式的化简、求值 1已知ABC中，C BA sin 2 tan 。则C=（ D ） A 6 B 4 C 3 D 2 2.在ABC 中，若 sinAcosBcosC，则 tanCtanB 的值为( A ) A1 B1 C2 D2 3.已知 1 0,tan 2 222 且， 5 sin() 13 . （1）分别求cos与cos的值； （2）求tan的值. 解：（1）0 2 ， 1 tan 22 ，且0 24 2 cos 25 ， 1 sin 25 ， 2 3 cos2cos1 25 ， 4 sin 5 又 5 sin() 13 ， 3 22 ， 12 cos() 13 16 coscos()cos()cos 65 （2） 16 cos 65 ， 2 , 2 1663 sin1 () 6565 ， 63 tan 16 又 4 sin 5 ， 3 cos 5 ， 4 tan 3 463 tantan253 316 tan() 463 1tantan204 1 316 题型二：三角函数图像、性质题型二：三角函数图像、性质 4 （理）设( )cossinf xxx，把( )f x的图象按向量( ,0)(0)amm 平移后，图象恰 好为函数( )yfx 的图象，则 m 的值可以为 （ D ） A 4 B 3 4 C D. 2 (文)设( )cossinf xxx把( )f x的图象按向量( ,0)(0)amm 平移后，图象恰好为函数 ( )sincosf xxx的图象，则 m 的值可以为（ D ） A 4 B 3 4 C D 2 5已知) 2 | , 0)(sin()( xxf满足 2 1 )0(), 2 ()(fxfxf ，则 )cos()(xxg在区间0， 2 上的最大值和最小值之和为 （ C ） A 2 1 B 2 3 1C1 2 3 D 2 1 6已知函数 4 sin)( x xf，如果存在实数 1 x， 2 x，使得对任意的实数x，都有 )()()( 21 xfxfxf，则| 21 xx 的最小值是（ B ） A8 B4 C2 D 7（理）设函数，其中，则导数的 取值范围是 D A. B. C. D. 8.若将函数tan0 4 yx 的图像向右平移 6 个单位长度后，与函数 tan 6 yx 的图像重合，则的最小值为 D A 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 9.（理）当时10 x，不等式kx x 2 sin 成立，则实数k的取值范围是_. 答案 k1 10 （本小题满分 12 分）已知锐角ABC 三个内角为 A、B、C，向量 ()22sin,cossinpAAA=-+ 与向量()sincos ,1sinqAAA=-+ 是共线向量. （）求角 A. （）求函数 2 3 2sincos 2 CB yB - =+的最大值. 解：（） , p q 共线 22sin1 sincossincossinAAAAAA 2 3 sin 4 A 又A为锐角，所以 3 sin 2 A 3 A （） 2 3 2sincos 2 CB yB 2 3 3 2sincos 2 BB B 2 2sincos(2 ) 3 BB 13 1 cos2cos2sin2 22 BBB 31 sin2cos21 22 BBsin(2) 1 6 B 5 0,2, 2666 BB 2 623 BB 时， max 2y 11已知定义在区间 3 2 ,上的函数)(xfy 的图象关于直线 6 x对称，当 ) 22 , 0, 0)(sin()(, 3 2 , 6 AxAxfx函数时的图象如图. （1）求函数 3 2 ,)(在xfy上的表达式； （2）求方程 2 3 )(xf的解. 解：（1）由图象可知 A=1，, 22 , 0 有 , 3 2 , 26 解之得： . 3 , 1 ). 3 sin()(, 3 2 , 6 xxfx时 由 6 )( xxfy关于直线对称，可求得当.sin)(, 6 ,xxfx时 综上， ) 3 2 , 6 (), 3 sin( , 6 ,sin )( xx xx xf （2）因为 3 2 , 6 (, 2 3 )( 则在区间xf上有：, 3 2 333 xx或 . 3 , 0 21 xx又 6 )( xxfy关于对称, 3 2 , 3 43 xx也是方程的解. 3 , 0 , 3 , 3 2 2 3 )( xxf的解为 题型三：解三角形题型三：解三角形 12 已知如图，ABC的外接圆的圆心为O,2,3,7ABACBC, 则AO BC 等于（B ） A 3 2 B 5 2 C2D3 13已知 O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 ., 0), sin|sin| ( CAC AC BAB AB OAOP则 P 点的轨迹一定通过ABC 的 （ ） A重心B垂心 C内心D外心 14 （本小题满分 12 分）已知锐角三角形ABC内角 A、B、C 对应边分别为 a,b,c。 222 3 tan acb bc A （）求 A 的大小； （）求CBcoscos的取值范围。 （）由余弦定理知，Abcacbcos2 222 2 3 sin cos2 3 tanA A A ) 2 , 0( A 3 A （）ABC为锐角三角形且 3 2 CB A B C O 23 2 6 CB ) 3 2 cos(coscoscosBBCB BBBsin 3 2 sincos 3 2 coscos BBsin 2 3 cos 2 1 ) 6 sin( B 3 2 63 B 1) 6 sin( 2 3 B 即CBcoscos的取值范围是 1 , 2 3 15已知ABC的内角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c，设向量 ) 2 cos),cos(1 ( BA BAm ， ) 2 cos, 8 5 ( BA n ，且 8 9 nm. （）求BA tantan的值； （）求 222 sin cba Cab 的最大值. 解：（）由 8 9 nm，得 8 9 2 cos)cos(1 8 5 2 BA BA 即 8 9 2 )cos(1 )cos(1 8 5 BA BA 也即 )cos(5)cos(4BABA BABABABAsinsin5coscos5sinsin4coscos4 BABAcoscossinsin9 9 1 tantanBA （）c cab cab cba cab tan 2 1 cos2 sinsin 222 )tan(tan 16 9 tantan1 tantan 2 1 )tan( 2 1 BA BA BA BA 8 3 tantan2 16 9 BA 222 sin cba cab 的最大值为 8 3 16.(本小题 12 分)已知ABC中，1|AC， 0 120ABC，BAC， 记 BCABf)(， （1）求)(f关于的表达式；（2）求)(f的值域； 解：（1）由正弦定理有： )60sin( | 120sin 1 sin | 00 ABBC sin 120sin 1 | 0 BC， 0 0 120sin )60sin( | AB； BCABf)( 2 1 )60sin(sin 3 4 0 sin)sin 2 1 cos 2 3 ( 3 2 ) 3 0( 6 1 ) 6 2sin( 3 1 （2）由 6 5 6 2 63 0 1) 6 2sin( 2 1 ；。 。 。 。 。 。 。 。 （分）)(f 6 1 , 0( 17.在ABC 中，AB=3，AC 边上的中线 . 5 ,5ABACBD （1）求 AC 的长； （2）求)2sin(BA的值. 解：（1）.2, 3, 5ADACABACAB 2 2 )(, 2 5 DBABDABDABDA ABAD 2 22 |2|DBABADABDA . 2 , 1ACAD （2）由（1）得. 6 11 sin, 6 5 cos 2 5 AAABAD 120 . 3 cos2, 222 BC AACABACABBCABC中在 在. 9 34 cos, 9 33 sin 11 36 sin 2 sinsin ,BB BA BC B AC ABC中 BABAA BABABA sin)sin21 (coscossin2 sin2coscos2sin)2sin( 2 162 3313 9 33 ) 36 11 21 ( 9 34 6 5 6 11 2 题型四：综合题型四：综合 18在ABC中，已知9,sincossin,6 ABC AB ACBAC S ，P为线段AB上的一 点， 且 11 , | CACB CPxy xyCACB 则的最小值为 （ C ） A. 7 6 B. 7 12 C. 73 123 D 73 63 19如图，半圆的直径6AB ，O为圆心，C为半圆 上不同于A B、的任意一点，若P为半径OC上的动点， 则()PAPBPC 的最小值是_ 9 2 20如图所示，在OAB 中，OAOB，OCOB，设a， OA b，若，则实数 的值为（B） OB AC AB A B a a(a ab b) |a ab b| | a a(a ab b) |a ab b| |2 C D a a2b b2 |a ab b| | a a2b b2 |a ab b| |2 21已知a 、b是不共线的ABab AC ab ( ,)R ，则A、B、C 三点 共线的充要条件是：（ D ） A1 B1 C1 D1 22已知5|AC,8|AB, DBAD 11 5 ,0 ABCD。 O P C BA 第 14 题图 A B C O a b （1）求|ACAB ； （2）设BAC，且已知 cos(+x) 4 5 ， 4 x ，求 sinx 解：（1）由已知 DBADDBDADBAB 11 16 , 2 11 | , 2 5 | 16 5 |, 16 5 11 5 , 16 11 DBABADABDBADABDB 0 ABCD CDAB，在 RtBCD 中 BC2=BD2+CD2, 又 CD2=AC2AD2, 所以 BC2=BD2+AC2AD2=49， 所以7|BCACAB （2）在ABC 中， 2 1 cosBAC 3 5 4 ) 3 cos(cosxx ）（ 5 3 3 sin ）（x 而 1233 2 , 4 xx 如果 123 0 x ， 则 5 3 2 1 6 sin 12 sin) 3 sin( x 5 3 ) 3 sin( x 10 343 3 ) 3 sin(sin xx 23在ABC中，已知CABACABsincossin, 9 ，又ABC的面积等于 6.高考资源网 （）求ABC的三边之长；高考资源网 （）设p是ABC（含边界）内一点，p到三边ABBC、C A的距离分别为 123 ddd、， 求 123 ddd的取值范围. （）设三角形三内角 A、B、C 对应的三边分别为 a, b, c， sincossinBAC， sin cos sin B A C ，由正弦定理有cos b A c , 又由余弦定理有 222 cos 2 bca A bc ， 222 2 bbca cbc ，即 222 abc， 所以ABC为 RtABC，且90C 又 2.6sin 2 1 1.9cos AACABS AACABACAB ABC （1）（2） ，得 4 tan 3 a A b 令a=4k, b=3k (k0) 则16 2 1 kabS ABC 三边长分别为 3，4，5 （）以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，则A、B坐标为（3，0） ， （0，4） ，直线AB方程为43120.xy 设P点坐标为（x, y） ，则由P到三边AB、BC、AB的距离为d1, d2和d3可知 123 | 4312| 5 xy dddxy ， 且 0, 0, 43120. x y xy 故123 212 . 5 xy ddd 令2mxy，由线性规划知识可知 0m8，故d1+d2+d3的取值范围是 12,4 5 24.在OAB 的边 OA、OB 上分别有一点 P、Q,已知|OP:| PA1:2, |OQ:|QB3:2,连 结 AQ、BP,设它们交于点 R,若OAa，OBb. （）用 a 与 b 表示OR； （）过 R 作 RHAB,垂足为 H,若| a|1, | b|2, a 与 b 的夹角 | | , 3 2 , 3 BA BH 求 的范围. 解：（1）由OAa，点 P 在边 OA 上且|OP:| PA1:2， 可得 2 1 OP(aOP), 3 1 OPa. 同理可得 5 2 OQb. 设),(,RBPBRAQAR, 则AQOAAROAORa 5 3 (ba)(1)a 5 3 b, BPOBBROBORb 3 1 (ab) 3 1 a(1)b. 向量 a 与 b 不共线, 2 1 , 6 5 1 5 3 3 1 1 解得 6 1 ORa 2 1 b. (2)设 | | BA BH ,则 BABH(ab), )(OBORBHBRBHRH(ab) ( 6 1 a 2 1 b)b ) 6 1 ( a() 2 1 b. BARH , 0 BARH,即) 6 1 ( a() 2 1 b(ab)0 ) 6 1 ( a2() 2 1 b2)2 3 2 (ab0 又|a|1, |b|2, ab|a|b|cos2cos, 0)cos2)(2 3 2 () 2 1 (4) 6 1 ( )2 cos45 3 ( 6 1 cos45 cos813 6 1 . 3 2 , 3 , 2 1 , 2 1 cos, 547,3cos ,来源:高考资源网 2 1 42 17 ),2 3 3 ( 6 1 )2 7 3 ( 6 1 即. 故 | | BA BH 的取值范围是 2 1 , 42 17 . 题型五：三角函数应用题型五：三角函数应用 25.如图，某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运 动赛道，赛道的前一部分为曲线段 OSM，该曲线段为函数 y=Asinx(A0, 0) x0,4的图象，且图象的最高点为 S(3，23)；赛道的后一部分为折线段 MNP，为保证参赛 运动员的安全，限定MNP=120 o （I）求 A , 的值和 M，P 两点间的距离； （II）应如何设计，才能使折线段赛道 MNP 最长？ .本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用 数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想， 解法一 （）依题意，有2 3A ，3 4 T ，又 2 T ， 6 。2 3sin 6 yx 当 4x 是， 2 2 3sin3 3 y (4,3)M 又(8,3)p 22 435MP （）在MNP 中MNP=120，MP=5， 设PMN=，则 060 由正弦定理得 00 sinsin120sin(60) MPNPMN 10 3 sin 3 NP, 0 10 3 sin(60) 3 MN 故 0 10 310 310 3 13 sinsin(60)(sincos ) 33323 NPMN 0 10 3 sin(60 ) 3 060，当=30时，折线段赛道 MNP 最长 亦即，将PMN 设计为 30时，折线段道 MNP 最长 解法二： （）同解法一 （）在MNP 中，MNP=120，MP=5， 由余弦定理得 22 2cosMNNPMN NPAAMNP= 2 MP 即 22 25MNNPMN NPA 故 22 ()25() 2 MNNP MNNPMN NP A 从而 2