河北省石家庄市2020届高三数学毕业班模拟考试试题（一）（B卷）文（含解析）

河北省石家庄市2020届高三数学毕业班模拟考试试题（一）（B卷）文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出AB【详解】集合，1，0，-1，-2， ，故选：C【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，注意条件，属于易错题2.若复数（为虚数单位），则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简可得z，而计算模长即可【详解】，故选：B【点睛】本题考查复数的代数形式的运算，涉及模长的求解，属于基础题3.已知，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用诱导公式将已知化简求得，再利用两角和的正切公式把所求展开后，代入的值求得答案【详解】，,，故选B【点睛】本题主要考查了两角和与差的正切公式及诱导公式的应用，属于基础题4.下列说法中正确的是（）A. 若函数为奇函数，则；B. 若数列为常数列，则既是等差数列也是等比数列；C. 在中，是的充要条件；D. 若两个变量的相关系数为，则越大，与之间的相关性越强.【答案】C【解析】【分析】举特殊函数对A选项进行判断,根据等差数列与等比数列的定义判断B，根据正弦定理判断C，根据相关性系数的性质判断D.【详解】对A选项，若0不在奇函数的定义域内，则f（0）无意义，如为奇函数，但无意义，故错误；对B选项，若数列为各项为0的常数列，则是等差数列但不满足等比数列的定义，故错误；对C选项，在三角形中，根据正弦定理得ABabsinAsinB，ABC中，AB是sinAsinB的充要条件，正确；对 D选项，两个变量x，y的相关系数|r|越大，则变量x，y的相关性越强，故错误.故选C.【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点有：函数奇偶性的应用、数列的基本概念、正弦定理、相关性强弱等问题，属于基础题.5.已知平面向量与的夹角为，且，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算法则，将平方运算可得结果【详解】，cos=4，故选A.【点睛】本题考查了利用平面向量的数量积求模的应用问题，考查了数量积与模之间的转化，是基础题目6.已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，可得，据此可得f（）f（），由函数的解析式可得f（）的值，即可得答案【详解】根据题意，是定义在上的奇函数， 又，即，则f（）=f（）=，故选C.【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，考查了函数值的求法，属于基础题7.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】由约束条件作出可行域如图阴影部分，联立，解得A（-2，2），化目标函数zx+3y为y，由图可知，当直线y过A时，直线y在y轴上的截距最小，z有最小值为4故选：C【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题8.已知圆截两坐标轴所得弦长相等，且圆过点和，则圆的半径为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据圆C在两坐标轴上截得弦长相等，可得C在直线yx或yx上，分类讨论，利用点和在圆上，即可求得结论【详解】圆C在两坐标轴上截得弦长相等，C在直线yx或yx上当C在yx上时，设C（m，m），半径为R，则,解得：m1，5，R=；当C在yx上时，设C（m，m），半径为R，则，无解；圆的半径为，故选D.【点睛】本题考查圆的方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题9.已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设A（，），B（，），因为A、B在椭圆上将两式相减可得直线AB的斜率与直线OM的斜率的关系，建立关于a，b，c的方程，从而求出所求；【详解】设A（，），B（，），又的中点为，则又因为A、B在椭圆上所以两式相减，得：,，平方可得, =,，故选A.【点睛】本题主要考查了点差法求斜率，以及椭圆的几何性质，同时考查了运算求解的能力，属于中档题10.已知函数的部分函数图像如图所示，点，则函数图像的一条对称轴方程为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由条件确定函数的解析式，再根据余弦函数图象的对称性，可得结果【详解】由的图象知，f（0）2，又，或；又由五点作图可知，函数在A点附近呈上升趋势，应满足，当时，f（）2cos（）0，解得4；令k，kZ，求得x，kZ；k0时，得函数g（x）图象的一条对称轴方程为x故选：D【点睛】本题主要考查由图像及性质确定解析式，关键是的确定，考查了余弦函数图象的对称性问题，是中档题11.如图，某几何体的三视图都是边长为的正方形，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是棱长为1的正方体截去两个角所得的组合体，画出其直观图，并求出截去部分的体积，相减可得答案【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是棱长为1的正方体截去A-BGC和D-BEG两个角，所得的组合体，其直观图如下图所示：故组合体的体积V12（111），故选：D【点睛】本题考查了由三视图还原几何体并求体积问题，解决本题的关键是得到该几何体的形状，属于难题12.已知数列的前项和为，且，若，则取最小值时的值为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将已知中的n换为n-1后，两式作差得，分析可得，,可得结论.【详解】，两式作差得当n=10时，又，且，又=11-10=1，由选项可得：取最小值时的值为10，故选A.【点睛】本题考查了递推关系式的推导与应用，考查了数列中的最值问题，考查了分析问题的能力，属于较难题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数，则满足不等式的概率为_【答案】【解析】【分析】先利用不等式求出满足不等式成立的x的取值范围，然后利用几何概型的概率公式求解详解】由题意知由，解得，所以由几何概型的概率公式可得使不等成立的概率为故答案为【点睛】本题主要考查几何概型，将问题转化为长度问题是解题的关键，属于基础题14.已知双曲线，过点的直线与有唯一公共点，则直线的方程为_【答案】或【解析】【分析】易知点P位于双曲线内部，则直线与渐近线平行时，直线与有唯一公共点，据此确定直线方程即可.【详解】如图所示，点P位于双曲线内部，由双曲线几何性质可知，当直线与渐近线平行时，直线与有唯一公共点，由于双曲线的渐近线为，故直线的方程为或.【点睛】本题主要考查双曲线的性质及其应用，属于中等题.15.已知正方体的棱长为分别为底面和的中心，记四棱锥和的公共部分的体积为，则体积的值为_【答案】【解析】【分析】画出图形，找到公共部分，利用中位线求得底面边长，进而求得四棱锥的体积.【详解】画出图形：可知四棱锥和的公共部分为两个如图放置的正四棱锥,底面为正方形EFGH，在三角形中，F、G分别为的中点，所以FG=，所以体积为,故答案为.【点睛】本题考查四棱锥的体积的求法，考查了空间想象能力，画出公共部分的图形是关键，是中档题16.已知函数，当时，函数仅在处取得最大值，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先由，将a缩小在范围内，再求导分析导函数的单调性及极值，分，两种情况进行讨论，从而求解【详解】函数仅在处取得最大值，, ；又，当时，在时单增，满足函数仅在处取得最大值；当时，在（0，）单减，在（）单增，且，满足函数仅在处取得最大值，综上，a故答案为【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及最值问题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用本题考查二次函数的图象和性质，解题时要注意分类讨论思想的合理运用，属于中档题三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知的面积为，且内角依次成等差数列.（1）若，求边的长；（2）设为边的中点，求线段长的最小值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得，结合面积公式得.利用正弦定理角化边，据此可得a,c的值，最后由余弦定理可得的长.（2）由题意可得，利用向量的运算法则和均值不等式的结论可得长的最小值.【详解】（1）三内角依次成等差数列，设所对的边分别为,由可得.，由正弦定理知.中，由余弦定理可得.即的长为（2）是边上的中线，当且仅当时取“”,即长的最小值为.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围18.已知三棱锥中，是边长为的正三角形，；（1）证明：平面平面；（2）设为棱的中点，在上取点，使得，求三棱锥与四棱锥的体积之比.【答案】（1）见解析（2）.【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理求得，利用勾股定理得到，结合已知，可证平面，从而得到平面平面；（2）利用线段的比例求得三棱锥的体积与三棱锥的体积的比值，进而得到结果.【详解】（1）在中，由余弦定理可得， ， 又，平面，平面，平面平面. （2）设三棱锥的高为，三棱锥的高为， = ，所以三棱锥与四棱锥的体积之比为.【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题.19.东方商店欲购进某种食品（保质期一天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产）.根据市场调查，该食品每份进价元，售价元，如果一天内无法售出，则食品过期作废，现统计该产品天的销售量如下表：（1）根据该产品天的销售量统计表，求平均每天销售多少份？ （2）视样本频率为概率，以一天内该产品所获得的利润的平均值为决策依据，东方商店一次性购进或份，哪一种得到的利润更大？【答案】（1） （2）见解析【解析】【分析】（1）由已知天的销售量统计表，利用平均数公式求出平均每天销售的份数.（2）分别求得17与18时的利润，比较可得结论.【详解】（1） （2）当购进份时，利润为=，当购进份时，利润为 ，因为可见，当购进份时，利润更高.【点睛】本题考查平均数的求法，考查了统计中的实际应用问题，考查了分析问题解决问题的能力，解题时要认真审题，是中档题20.已知抛物线上一点到焦点的距离.（1）求抛物线的方程；（2）过点引圆的两条切线，切线与抛物线的另一交点分别为，线段中点的横坐标记为，求的取值范围.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意确定p的值即可确定抛物线方程；（2）很明显切线斜率存在，由圆心到直线的距离等于半径可得是方程的两根，联立直线方程与抛物线方程可得点的横坐标 .结合韦达定理将原问题转化为求解函数的值域的问题即可.【详解】（1）由抛物线定义,得，由题意得：解得所以，抛物线的方程为.（2）由题意知，过引圆的切线斜率存在，设切线的方程为，则圆心到切线的距离，整理得，.设切线的方程为,同理可得.所以，是方程的两根，.设，由得，由韦达定理知，所以，同理可得.设点的横坐标为，则 .设，则，所以，对称轴，所以【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解，直线与抛物线的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.已知函数 .（1）若，求的单调区间；（2）若，求证：.【答案】（1）单调减区间（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，然后分析导函数的正负，求得原函数的单调区间.（2）通过导数求得的最大值，只需证，令，构造函数=，由（1）可得，即可证得结论.【详解】（1）由，（），令，故在递增，在递减， 从而当时，恒成立，故的单调减区间为 （2） 由，令，得，故在递增，递减所以，只需证明 令，即证（*）由（1）易知（*）式成立，原不等式成立.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的最值问题，考查了运算能力，属于中档题22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）当时，若曲线与射线交于两点，求的取值范围.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得曲线的普通方程为：,然后将其化为极坐标方程即可.（2）把，利用参数的几何意义可得，据此可得的取值范围.【详解】（1）曲线的普通方程为：,令，化简得；（2）把令方程的解分别为点的极径，.【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化，参数方程与极坐标方程的几何意义 等知识，意在考查学生的转化