立体几何复习课

【知识要点】,1.空间几何体三视图与直观图由空间几何体画三视图由三视图还原实物图斜二测画法及面积计算2.空间几何体的表面积与体积锥、柱、台、球体表面积、体积计算割补法、等体积法计算几何体的体积画空间几何体的展开图及面积计算,常见几何体的三视图,1.长方体、正方体2.圆柱、圆锥、圆台、球3.棱柱、棱锥4.组合体,直观图,斜二测画法,例1.如图1所求，四边形是上底为2，下底为6，底角为450的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图，在直观图中梯形的高为（）AB1CD,例2.一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，如图3则原平面图形的面积为（）ABCD,体积与表面积,3.点、线、面之间的位置关系（1）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号表示：。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示：。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示：,例3.如图2，已知空间四边形ABCD,E,F分别是AB,AD的中点，G,H分别是BC,CD上的点，且BG=2GC，DH=2HC求证：EG,FH,AC相交于同一点,（2）直线之间的位置关系：（1）平行：在同一平面内，且没有交点。（2）相交：在同一平面内，有且只有一个交点。（3）异面：不同在任何一个平面内，没有公共点定理：空间中如果有两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。（3）直线与平面之间的位置关系（1）直线在平面内-有无数个公共点（2）直线与平面相交-有且只有一个公共点（3）直线与平面平行-没有公共点,（1）两个平面平行-没有公共点（2）两个平面相交-有一条公共直线,平面与平面之间的位置关系,4.直线、平面平行的判定与性质(1)直线与平面平行（1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。符号表示：.性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号表示：.(2)平面与平面平行（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：。,5.直线、平面垂直的判定与性质直线与平面垂直判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。符号表示：。性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行。符号表示：。平面与平面垂直判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。符号表示：。性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。符号表示：。,空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线aa,bb,则a和b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围：090.(3)求解方法根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角；解含有的三角形，求出角的大小.,11.直线和平面所成的角(1)定义直线和平面所成的角有三种：(i)斜线与平面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0的角.(2)取值范围090(3)求解方法作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角.解含的三角形，求出其大小.最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.,12.二面角及二面角的平面角(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角的取值范围是0180(3)二面角的平面角以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，PCD是二面角-AB-的平面角.平面角PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.,二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD，平面PCD.找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法(ii)垂面法(iii)三垂线法()根据特殊图形的性质(4)求二面角大小的常见方法先找(或作)出二面角的平面角，再通过解三角形求得的值.利用面积射影定理S=Scos其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，为二面角的大小.利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.,体积法其步骤是：,在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；由V=Sh，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.,如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是正三角形，且侧面PAB底面ABCD证明BC侧面PAB；证明侧面PAD侧面PAB；求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小；求平面PAB与平面PCD所成二面角余弦值,如图8，在矩形ABCD中，AB=2,AD=1，E是CD边上的中点，以AE为折痕将向上折起，使D为D（1）求证：；（2）求直线AC与平面所成角的正弦值,在四面体ABCD中，平面ABC平ACD，ABBC，AD=CD，CAD=30O.（）若AD=2，AB=2BC,求四面体ABCD的体积；()若二面角C-AB-D为600，求异面直线AD与BC所成角的余弦值.,四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.()证明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。,在三棱柱中，H是正方形的中心，平面,且（）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（）求二面角的正弦值；（）设N为棱的中点，点M在平面内，且平面，求线段BM的长,在四棱锥中P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，.()求证：BD平面P