河南省焦作市2020届高三数学第三次模拟考试试题 理（含解析）VIP

河南省焦作市2020届高三数学第三次模拟考试试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再求即可.【详解】由，得 ，得 .故选：B【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算和复数的模长，属于基础题.2.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再由补集运算求出最后并集运算即可.【详解】集合 ，所以 ，且，所以 = ，故选：C【点睛】本题考查了集合的交并补运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.3.如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过的为（ ）A. 网易与搜狗的访问量所占比例之和B. 腾讯和百度的访问量所占比例之和C. 淘宝与论坛的访问量所占比例之和D. 新浪与小说的访问量所占比例之和【答案】A【解析】【分析】由访问网站的扇形比例图即可得答案.【详解】由访问网站的扇形比例图得，网易与搜狗的访问量所占比例分别为15和3，总和为18，不超过，满足题意.故选：A【点睛】本题考查的是扇形统计图部分占总体的百分比的大小，从图中得到必要的信息是关键，属于基础题.4.为了得到函数的图像，需对函数的图像所作的变换可以为（ ）A. 先将图像上所有的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位B. 先向左平移 个单位，再将图像上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变C. 先向左平移 个单位，再将图像上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变D. 先向右平移 个单位，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变【答案】B【解析】【分析】利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，即可得出结论【详解】先将函数上的点向左平行移动个单位，得到，再将图像上所有的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，得到.故选：B【点睛】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律：平移与伸缩，属于基础题5.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P，且P满足|PF1|PF2|2b，则C的离心率e满足（）A. e23e+10B. e43e2+10C. e2e10D. e4e210【答案】D【解析】【分析】可设|PF1|m，|PF2|n，运用直角三角形的勾股定理，渐近线方程与圆方程联立，求得P的坐标，再由直角三角形的面积公式，结合离心率公式，计算即可得到所求关系式【详解】可设|PF1|m，|PF2|n，可得mn2b，在直角三角形PF1F2中，m2+n24c2，由可得mn2c22b2，由渐近线方程yx和圆x2+y2c2，可得P（a，b），由三角形的面积公式可得：mn2cb，即c2b2cb，可得a2cb，即有a4c2（c2a2）c4c2a2，由离心率e可得1e4e2，即有e4e210故选：D【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查直角三角形的勾股定理和面积公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题6.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，得，化简 ，代入求值即可.【详解】由，得，则 故选：D【点睛】本题考查了三角函数的恒等变形，考查了三角函数的倍角公式和同角三角函数的基本关系等知识，也考查了计算能力，属于中档题7.已知抛物线E：y22px（p0）的准线为l，圆C：（x）2+y24，l与圆C交于A，B，圆C与E交于M，N若A，B，M，N为同一个矩形的四个顶点，则E的方程为（）A. y2xB. y2xC. y22xD. y22x【答案】C【解析】【分析】由A，B，M，N为同一个矩形的四个顶点，可得点A，N关于直线x 对称，即 ，可得|NA|=2p，由抛物线定义得2p2，可得E的方程【详解】如图，圆C：（x）2+y24的圆心C（，0）是抛物线E：y22px（p0）的焦点，圆C：（x）2+y24的半径为2，|NC|2，根据抛物线定义可得：|NA|NC|2A，B，M，N为同一个矩形的四个顶点，点A，N关于直线x对称，即，|NA|2，2p2，则E的方程为y22x故选：C【点睛】本题考查了抛物线的定义与圆的性质的应用，考查了转化思想，平面几何知识，属于中档题8.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的京地景物略一书中才正式出现，如图所示的网格纸中小正方形的边长均为，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图知该几何体是上部为圆锥，中部为圆柱体，下部为圆锥体的组合体，根据图中数据计算它的表面积即可【详解】由三视图知，该几何体是上部为圆锥，中部为圆柱体，下部为圆锥体的组合体，根据图中数据，计算该陀螺的表面积为S+14+4222故选：B【点睛】本题考查了三视图的还原和组合体的表面积的应用问题，属于中档题9.若，则实数的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，并且0.741，从而得出a，b，c的大小关系【详解】 ，；又 0.740.701；abc故选：A【点睛】本题考查利用对数和指数函数的单调性比较大小，属于基础题10.运行如图所示的程序框图，若输出的的值为1011，则判断框中可以填（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用程序框图的功能，进行模拟计算即可【详解】程序的功能是计算S1sin+3sin+5sin+13+57+9+，则10111+505213+57+9+则第1011个奇数为2101112021不成立，第1012个奇数为2101212023成立，故条件为i2022？，故选：C【点睛】本题主要考查程序框图的应用，利用程序框图的功能是解决本题的关键，属于基础题.11.在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1EEF，则|AF|的最大值为（）A. B. 1C. D. 2【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标，利用C1EEF，求出|AF|满足的关系式，然后求出最大值即可【详解】以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C1（4，4，4），设E（0，0，z），z0，4，F（x，0，0），x0，4，则|AF|x（4，4，4z），（x，0，z）因为C1EEF，所以 ，即：z2+4x4z0，xz当z2时，x取得最大值为1|AF|的最大值为1故选：B【点睛】本题考查直线与直线的垂直关系的应用，利用向量法得到|AF|的关系式是解题的关键，属于中档题12.已知函数f（x） ，若x1，x2R，且x1x2，使得f（x1）f（x2），则实数a的取值范围是（）A. 2，3（，5B. （，2）（3，5）C. 2，3D. 5，+）【答案】B【解析】【分析】分类讨论，利用二次函数的单调性，结合x1，x2R，且x1x2，使得f（x1）f（x2），即可求得实数a的取值范围.【详解】当a0时，当x1时，f（x）x2，当x1时，f（x）14，此时存在当x1，1时，满足条件若a0，则当x1时，f（x）为增函数，且f（x）a27a+14，当x1时，f（x）x2+ax（x）2+，对称轴为x，若1即a2时，则满足条件，若1，即a2时，函数在（，1上单调递增，要使条件成立则f（x）在（，1上的最大值f（1）1+aa27a+14，即a28a+150，即3a5，a2，3a5，综上3a5或a2，故选：B【点睛】本题考查分段函数的应用，结合一元二次函数的单调性以及对称性是解决本题的关键，注意分类讨论的数学思想，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.若向量，且，则实数_【答案】【解析】【分析】由向量垂直与向量数量积的关系可得，若，得，解x的值即可【详解】由，得 且，得 ，解得.故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题14.设x，y满足约束条件 ，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，由数形结合进行求解即可【详解】作出不等式组对应的平面区域如图所示：则的几何意义是区域内的点到定点P（6，4）的斜率，由得x1，y1，即A（1，1），则AP的斜率k 1，由得x5，y7，即B（5，7），则BP的斜率k3，则的取值范围是3，1故答案为：3，1【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键，属于中档题.15.在 的展开式中，x1的系数是_（用数字填写答案）【答案】-280【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的指数等于1，求出r的值，即可求得x1的系数【详解】的展开式的通项公式为Tr+1（2）r，令1，求得r3，可得x1的系数为（8）280，故答案为：280【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题16.如图所示，点，分别在菱形的边，上，则的面积的最小值为_【答案】【解析】【分析】设,，在中，且由正弦定理得，在中，由正弦定理得，在中， 计算即可.【详解】在菱形中，所以=，在中，=，设,则,且由正弦定理得 ，在中， ,则,由正弦定理 ，得 ，在中， 因为，所以，即 ，所以 ，所以故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理在三角形的应用，也考查了直角三角形的面积公式，三角函数求最值得问题，属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知等差数列的前项和为，且，.（）证明：是等差数列；（）设，求数列的前项和.【答案】（）详见解析；（）.【解析】【分析】（）设等差数列的公差为， ，由，得，求出，利用定义法即可判断；（II）由得，由数列的乘公比错位相减法求和即可.【详解】设等差数列的公差为，则，解得.所以，解得，所以.所以.所以.因为当时，,当时，,故是首项为，公差为的等差数列.（II）由可知，故.故. 两式相减可得 .故.【点睛】本题考查了利用定义法证明数列是等差数列，也考查了利用乘公比错位相减法求数列和，考查了学生的计算能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥中，与交于点，.（）在线段上找一点，使得平面，并证明你的结论；（）若，求二面角的余弦值.【答案】（）见解析；（）.【解析】【分析】（I）取线段上靠近的三等分点，连接，因为，所以，由，得，所以，即可证明结论成立.（II）以为坐标原点，以直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，平面的个法向量为，由向量法即可求出二面角的平面角.【详解】（I）取线段上靠近的三等分点，连接.因为，所以,所以.而，所以，所以.而平面.平面，故平面.（II）易知 为等边三角形，所以.又，故，所以有.由已知可得，又，所以平面.以为坐标原点，以直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，所以，则，.设平面的一个法向量为，则有即设，则，所以.设平面的个法向量为，则有即令，则，所以.所以.因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.【点睛】本题考查空间线面平行的判定定理和利用向量法求二面角，也考查了计算能力，属于中档题.19.2020年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范.社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图.（）求得分在上的频率；（）求社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（）以频率估计概率，若在全部参与学习的居民中随机抽取5人参加问卷调查，记得分在间的人数为，求的分布列以及数学期望.【答案】（）0.3 ；（）70.5；（）详见解析.【解析】【分析】（I）由频率分布直方图可得所求的频率；（II）由频率分布直方图的平均值公式计算即可；（III）人数服从，即可得出P（Xk），k0，1，2，3，4，5，及其分布列与数学期望E（X）【详解】（I）依题意，所求频率.（II）由（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表：即问卷调查的平均得分的估计值为.（III）依题意，.故,.,.故的分布列为：故.【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望、频率分布直方图的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20.已知椭圆：，点，.（）若直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，求直线的斜率；（）若直线：与椭圆交于，两点，求的面积的最大值.【答案】（）-1；（）【解析】【分析】（I）因为在椭圆上，设，且为线段的中点，得，由点差法即可计算直线的斜率；（II）联立，得，由可得，,由弦长公式可得点到直线的距离由计算即可.【详解】（I）设，故，将两式相减，可得，即因为为线段的中点，所以得即故直线的斜率（II）联立可得，由可得，解得.设由根与系数的关系可得 又点到直线的距离 当且仅当，即时取等号.故的面积的最大值为.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离，也考查了点差法在弦中点的应用，计算能力和均值不等式，属于中档题.21.已知函数.（）讨论函数的单调性.（）若时，存在两个正实数满足，求证：【答案】（）详见解析；（）详见解析.【解析】【分析】（I）对 求导，得，令，对，进行分类讨论，得的单调性即可；（II）存在两个正数m，n使得成立，转化为，令对求导，得在上单调递减，在上单调递增；所以在取得最小值为 ，得出，计算即可得出结论.【详解】（I）依题意，可知对于函数，当，即时，此时函数在上单调递增.当，即时，函数有两个零点，且，其中 若，则，当时，；当时，当时，若，则，当时，；当时，.综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（II） 当a=4时，存在两个正数m，n使得成立，则，所以，即令则当时，所以函数在上单调递减； 当时，所以函数在上单调递增； 所以函数在取得最小值，最小值为.所以，即，解得或因为，所以.【点睛