浙江省路桥中学2020学年高三数学第三次月考试卷（理科）

浙江省路桥中学2020学年高三年级第三次月考试卷 数学（理科） 2020.12一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）1定义集合运算：，且，则集合中的元素个数是（） A4 B5 C6 D9 2设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（）A B C D3直线绕原点逆时针旋转，再向右平移个单位，所得到的直线为（）A B CD4“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的（） A B C D5在中，若点满足，则（）A B CD6数列满足，是的前项和，则的值为（） A B C D7函数y=Asin（wx+j)(w 0，xR)的部分图象如右下图所示，则函数表达式为 （）A BC D已知球O面上的四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于（）A B C D 若圆上有且仅有两点到直线的距离等于，则半径的取值范围是（）A BC D10已知是定义在R上的奇函数，其图象关于对称且，则方程在（0，5）内解的个数的最小值是（）A4 B5 C6 D7二填空题: （本大题有7小题, 每小题4分, 共28分）. 11等比数列an中，a2a624，a3a564，则a4_12一物体在力的作用下，沿着与相同的方向，从处运动到处，力所做的功为_13设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为_14已知向量的夹角为，则_15函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为_16在中，如果点在边上的射影是，的三边的长依次是，则，类比这一结论，推广到空间：在四面体中，的面积依次为，二面角的度数依次为，则_17已知动点，则的最小值是_路桥中学2020学年高三年级第三次月考答题卷数学（理科） 2020.12题 号一二三总 分1819202122得 分一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）题 号12345678910答 案二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）. 11 12 13 14 15 16 17 三、解答题：（本大题共5小题，共72分）.18（本题满分14分）在中，角、的对边分别为、，,。（1）求角的大小；（2）求的面积。19（本题满分14分）椭圆的两个焦点为,点P在椭圆C上,且,(1) 求椭圆C的方程;(2) 若直线L过圆的圆心M,交椭圆C于A,B两点,且A,B关于点M对称,求直线L的方程。20（本小题满分14分）如图多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）。（1）求证：AE/平面DCF；（2）当AB的长为时,求二面角A-EF-C的余弦值。 21（本题满分15分）已知定义在R上的函数，其中a为常数。（1）若是函数的一个极值点，求a的值；（2）若函数在区间上是增函数，求a的取值范围；（3）若函数，在处取得最大值，求正数a的取值范围。22（本题满分15分）已知点，（为正整数）都在函数图像上。（1）若数列是等差数列，证明：数列是等比数列；（2）设（为正整数），过点，的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，试求最小的实数，使对一切正整数恒成立；（3）对（2）中的数列，对每个正整数，在与之间插入个，得到一个新的数列，设是数列的前项和，试探究是否数列中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明。浙江省路桥中学2020学年高三年级第三次月考答题卷数学（理科）参考答案及评分标准2020.12一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分题 号12345678910答 案ACBBCABDAD二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，满分28分. 11 8 12 40 13 14 15 16 17 三解答题：本大题共5小题，共72分.18：（本小题满分14分）在中，角、的对边分别为、，,.（1）求角的大小；（2）求的面积.解：（1）由,得，所以整理,得-4分解得：，（舍去） -7分（2）由余弦定理得：，即- 又，-，联立解得，- 12分-14分19.（本小题满分14分）椭圆的两个焦点为,点P在椭圆C上,且,（1）求椭圆C的方程;（2）若直线L过圆的圆心M,交椭圆C于A,B两点,且A,B关于点M对称,求直线L的方程.解:(1)因为点P在椭圆 C上,所以在中,故椭圆的半焦距,所以,则椭圆C的方程为: -6分(2)设，已知圆的方程为圆心,从而可设直线L的方程为代入椭圆C的方程得:因为A,B关于点M对称,所以,解得,此时成立.所以直线的方程为.-14分20 （本小题满分14分）如图多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）。（1）求证：AE/平面DCF；（2）当AB的长为时,求二面角A-EF-C的余弦值。 方法一：（1）（7分）证明：过点作交于，连结，可得四边形为矩形，又为矩形，DABEFCHG所以，从而四边形为平行四边形，故-4分因为平面，平面，所以平面-7分（2）（7分）解：过点作交的延长线于，连结由平面平面，得平面，从而所以为二面角的平面角在中，因为，所以，又因为，所以，DABEFCyzx从而 于是-11分因为，因为=时，所以二面角的余弦值-14分方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系设，则，（1）证明：，所以，从而，所以平面因为平面，所以平面平面故平面（2）解：因为，所以，从而解得所以，设与平面垂直，因为， 则，解得又因为平面，所以，所以当为时，二面角的余弦值为21（本小题满分15分）已知定义在R上的函数，其中a为常数.（1）若是函数的一个极值点，求a的值；（2）若函数在区间（1，0）上是增函数，求a的取值范围；（3）若函数，在处取得最大值，求正数a的取值范围.解：（1）的一个极值点，；3分 （2）当a=0时，在区间（1，0）上是增函数，符合题意；当；当a0时，对任意符合题意；当a0时，当符合题意；综上所述，8分 解法2：在区间（1，0）恒成立，在区间（1，0）恒成立，又， （3）10分令设方程（*）的两个根为式得，不妨设.当时，为极小值，所以在0，2上的最大值只能为或；当时，由于在0，2上是单调递减函数，所以最大值为，所以在0，2上的最大值只能为或，又已知在x=0处取得最大值，所以13分即15分22. （本小题满分15分）已知点，（为正整数）都在函数图像上（1）若数列是等差数列，证明：数列是等比数列；（2）设（为正整数），过点，的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，试求最小的实数，使对一切正整数恒成立；（3）对（）中的数列，对每个正整数，在与之间插入个，得到一个新的数列，设是数列的前项和，试探究是否数列中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明解：（1）设数列的公差为，由已知，1分所以，（常数），3分所以，